2025届新高三第一次月考联合测评

2025届新高三第一次月考联合测评数学试卷注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则集合的真子集个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．162．若，则复数z的虚部（

）A．4 B． C． D．3．已知，，，则的最大值是（

）A． B． C． D．14．在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（

）A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线5．已知等差数列前项和为，若，则（

）A． B． C． D．6．已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若，，，则事件与的关系是（

）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立8．已知定义在R上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（

）A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知的最小正周期是，下列说法正确的是（

）A．在是单调递增B．是偶函数C．的最大值是D．是的对称中心10．已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（

）A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线C．若点在线段上运动，则始终有D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值11．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（

）

A．B．若，则C．若，则的最小值为2D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为.13．已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是.14．已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题13分）已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.16.（本小题15分）古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：如图，在凸四边形中，(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．17.（本小题15分）在中，把，，…，称为三项式系数.(1)当时，写出三项式系数，，，，的值；(2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；(3)求的值（用组合数作答）.18.（本小题17分）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题17分）已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

(1)求椭圆的方程及离心