2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{1,2}2.已知复数z满足2z−iz=2，则复数z的虚部为(

)A.25i B.45i C.3.已知向量a=(0,2)，b=(3,1)，(A.−1 B.0 C.1 D.−1或14.已知2sinα−sinβ=3，2cosα−cosβ=1，则cos(α−β)=A.−18 B.−78 C.5.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为(

)A.23π

B.4296.已知函数f(x)=ax−sinx,x≤0x2+2ax−a+3,x>0，在R上单调递增，则aA.[1,3) B.(1,3] C.[1,3] D.(1,3)7.函数f(x)=2sinπx−3x−x2A.6 B.7.5 C.9 D.128.已知定义在R上的函数y=f(2x+2)为奇函数，且对∀x∈R，都有f(x+12)=f(32−x)，定义在R上的函数f′(x)A.f(x+2)为奇函数 B.f(72)=f(32)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知三个密度函数fi(x)=1σiA.μ1=μ2>μ3

B.σ1=σ2<σ3

C.若X∼N(1,10.设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则A.x=1是f(x)的极小值点

B.f(2+x)+f(2−x)=−4

C.不等式−4<f(2x−1)<0的解集为{x|1<x<2}

D.当0<x<π211.如图，心形曲线L：x2+(y−|x|)2=1与y轴交于A，B两点，点P是L上的一个动点，A.点(22,0)和(−1,1)均在L上

B.点P的纵坐标的最大值为2

C.|OP|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左右两支分别交于13.已知函数f(x)=ex−2，g(x)=ex+1−1，若直线y=kx+b是曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线，则14.数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数…以此类推，一共10行，设xk是从上往下数第k行中的最大数，则x1<x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质.如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB=BC=CD=2，AD=23．

(1)当BD长度变化时，3cosA−cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．

(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S16.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BB1=2BC=2，∠CBB1=2∠CAB=π3，且平面ABC⊥平面B1C1CB．

(1)求证：平面18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(x+1)．

(1)讨论函数F(x)=ax−f(x)(a∈R)的单调性；

(2)设函数g(x)=(x+1)f(1x)−f(1x+1)．

(ⅰ)求g(1)−g(−2)的值；

(ⅱ)证明：存在实数19.(本小题17分)

对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an−k+an−k+1+…+an−1+an+1+…an+k−1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{a参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.BCD

10.BD

11.ABD

12.513.1314.21015.解：(1)法一：在△ABD中，由余弦定理cosA=AD2+AB2−BD22AD⋅AB，

得cosA=(23)2+22−BD22×23×2，即3cosA=16−BD28①，

同理，在△BCD中，cosC=22+22−BD22×2×2，

即cosC=8−BD28②，

①−②得3cosA−cosC=1，

所以当BD长度变化时，3cosA−cosC为定值，定值为1；

法二：在△ABD中，由余弦定理BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcosA，

得BD216.解：(1)因为e=32，知ca=32，

所以c=32a．

因为△AF1F2的周长是4+23，所以2a+2c=4+23，

所以a=2，c=3，故b2=a2−c2=1，

所以椭圆C的方程为：x24+y2=1；

(2)分析知直线的斜率存在，且不为0，设1的方程为：x=my+3，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

与椭匮方程联立x17.解：(1)证明：因为AC=2BC=2，所以BC=1，

因为2∠CAB=π3，所以∠CAB=π6．

在△ABC中，BCsinA=ACsinB，即1sinπ6=2sinB，

所以sinB=1，即AB⊥BC．

又因为平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB=BC，AB⊂平面ABC，

所以AB⊥平面B1C1CB．

又B1C⊂平面B1C1CB，所以AB⊥B1C，

在△B1BC中，B1B=2，BC=1，∠CBB1=π3，

所以B1C2=B1B2+BC2−2B1B⋅BC⋅cosπ3=3，即B1C=3，

所以B1C⊥BC．

而AB⊥B1C，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AB∩BC=B，

所以B1C⊥平面ABC．

又B1C⊂平面ACB118.(1)解：由题意可知F(x)=ax−ln(x+1)，则F(x)的定义域为(−1,+∞)，

F′(x)=a−1x+1=ax+a−1x+1，x∈(−1,+∞)，

当a≤0时，F′(x)=a−1x+1<0，则F(x)在(−1,+∞)上单调递减；

当a>0时，令F′(x)=0，即ax+a−1=0，解得x=1a−1，

若−1<x≤1−aa=1a−1，F′(x)=ax+a−1x+1≤0；

若x>1a−1，F′(x)=ax+a−1x+1>0，

则F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时，F(x)在(−1,+∞)上单调递减；

当a>0时，F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增．

(2)(ⅰ)解：函数g(x)=(x+1)ln(1+1x)−ln(2+1x)，19.解：(1)证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+(n−1)d