爱提分中考复习 4一轮-图形的性质-第09讲 圆（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱圆（2）知识精讲知识精讲一．圆的相关概念与性质1．圆的相关概念（1）圆的概念①描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径；②集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（2）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．（3）弦与弧的相关概念：①弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；②直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍；③弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；④弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作；⑤等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；⑥半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；⑦优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．（4）圆心角与圆周角①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；②圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；③将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧；④圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．3．圆周角定理（1）圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（2）圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意：推论3不可以直接利用，需要证明．二．与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设的半径为，点到圆心的距离为，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．2．直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与相离；直线与相切；直线与相交．3．圆与圆的位置关系设两个圆为、，半径分别为、，且，与间距离为，则有和与相离；与相切；与相交；与内切；与内含．三．圆中有关的计算1．弧长与面积问题（1）弧长公式：①圆的周长：；②弧长公式：．（其中，为弧长，为此弧所对圆心角度数，为半径）（2）扇形面积公式：①圆的面积公式：；②扇形面积公式：．（为扇形圆心角度数值，为半径）2．圆锥相关计算（1）圆锥的侧面积：；（2）圆锥的全面积：；（3）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：；（4）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有．方法点拨一．切线的证明方法思路一：证明直线与圆有且只有一个公共点．思路二：若已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长（）等于半径（）．思路三：若已知直线与圆的公共点，则连接这点与圆心的半径，证明此半径垂直于直线．二．切线长1．切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．如图，由可得：①②，即：是的平分线．三．扇形与圆锥问题此类问题的关键是抓住扇形与圆锥“量”的关系，即扇形弧长等于圆锥底面圆周长，扇形面积等于圆锥侧面积，扇形半径等于圆锥母线长度，大胆设未知数建立方程即可求解．四．圆与新定义此类属于中考压轴题，比较综合，难度较大，与其他新定义题目比较起来，圆的新定义问题在求最值和参数范围的时候更难讨论一些，但是同样可以参照其他新定义题目的做法，紧抓定义，围绕定义作答，取特殊状态找到参数的范围两个临界值，在此介绍一下圆的方程，利用代数方法可在时间紧迫下求解：1．设圆心为，坐标为，半径为，则此圆的方程为（即圆上任意一点坐标代入次方程均满足方程成立）；2．平面直角坐标系中常见结论：（1），；（2），；（3）说明：这里面为直线与轴正半轴夹角，当夹角为锐角时，我们正常取正值，当夹角为钝角时，我们取；（4）两点间距离公式：．三点剖析一．考点：圆的相关概念与性质；与圆有关的位置关系；圆中有关的计算；与圆有关的新定义问题二．重难点：垂径定理与圆周角定理；切线的性质与判定；扇形与圆锥相关计算三．易错点：1．圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2．题目中没有明确某一条弦所对弧为劣弧或优弧时，需要进行分类讨论；3．同圆、等圆、同心圆的联系与区别与圆有关的位置关系例题例题1、在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以为半径的圆，那么点（）A.在⊙O内B.在⊙O外C.在⊙O上D.不能确定【答案】C【解析】本题中，点到圆心的距离，即到原点的距离等于，而圆的半径也为，故点在圆上例题2、9．（3分）（2015•六合区一模）如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y=x的图象相切时，点A的坐标变为（）A.（﹣2，0）B.（﹣，0）或（，0）C.（﹣，0）D.（﹣2，0）或（2，0）【答案】D【解析】①当圆A在x轴的负半轴和直线y=x相切时，由题意得，直线与x轴的交点为30°，点A到直线的距离为1，则OA=2，点A的坐标为（﹣2，0）；②当圆A在x轴的正半轴和直线y=x相切时，由①得，点A的坐标为（2，0）；例题3、如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A.6cmB.3cmC.2cmD.0.5cm【答案】D【解析】∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D．例题4、如图，已知直线交于、两点，为的直径，为上一点，且平分，过点作于．（1）求证：是的切线；（2）若，，求长．【答案】（1）见解析；（2）6【解析】（1）连接，通过平行线的性质以及角分线的性质即可证明第一问；（2）过作于，设，，，利用勾股定理建立方程求解，即可求出长,从而求出的长．随练随练1、在Rt△ABC中，，，，CP、CM分别是AB上的高和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（）A.点P，M均在圆A内B.点P、M均在圆A外C.点P在圆A内，点M在圆A外D.点P在圆A外，点M在圆A内【答案】C【解析】∵在Rt△ABC中，，，，∴∵CP、CM分别是AB上的高和中线，∴，∴∴∵，，∴点P在圆A内、点M在圆A外随练2、如图，圆与圆之间不同的位置关系有（）A.2种B.3种C.4种D.5种【答案】C【解析】考查了两圆的位置关系，熟悉两圆的位置关系的定义．两圆之间有5种位置关系：无公共点的，且每一个圆上的点都在另一圆的外部叫外离；其中一个圆上的点在另一个圆内叫内含；有唯一公共点的，除这个点外，每一个圆上的点都在另一圆之外叫外切；其中一个圆上的点在另一个圆内叫内切；有两个公共点的叫相交．根据所给图形，不难看出有：内含、外切、内切、外离4种．故选C．随练3、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，∴NM=，∴DM=3=，故选A．随练4、已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．随练5、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．（1）若a=1，求m和b的值；（2）求的值；（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1）m=；b=1+（2）1+（3）相切，理由见解析【解析】（1）∵a=1，∴正方形ABCD的边长为2，∵坐标原点O为AD的中点，∴C（2，1）．∵抛物线y=mx2过C点，∴1=4m，解得m=，∴抛物线解析式为y=x2，将F（2b，2b+1）代入y=x2，得2b+1=×（2b）2，b=1±（负值舍去）．故m=，b=1+；（2）∵正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，∴C（2a，a）．∵抛物线y=mx2过C点，∴a=m•4a2，解得m=，∴抛物线解析式为y=x2，将F（2b，2b+a）代入y=x2，得2b+a=×（2b）2，整理得b2﹣2ab﹣a2=0，解得b=（1±）a（负值舍去），∴=1+；（3）以FM为直径的圆与AB所在直线相切．理由如下：∵D（0，a），∴可设直线FD的解析式为y=kx+a，∵F（2b，2b+a），∴2b+a=k•2b+a，解得k=1，∴直线FD的解析式为y=x+a．将y=x+a代入y=x2，得x+a=x2，解得x=2a±2a（正值舍去），∴M点坐标为（2a﹣2a，3a﹣2a）．∵F（2b，2b+a），b=（1+）a，∴F（2a+2a，3a+2a），∴以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），∴O′到直线AB（y=﹣a）的距离d=3a﹣（﹣a）=4a，∵以FM为直径的圆的半径r=O′F==4a，∴d=r，∴以FM为直径的圆与AB所在直线相切．圆中的有关计算例题例题1、如图，在中，，，，分别以、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设半圆与底边的交点是，连接．是直径，．又，，则．阴影部分的面积的一半=以为直径的半圆的面积—的面积=以为直径的半圆的面积—的面积，阴影部分的面积=以为直径的圆的面积—的面积=．例题2、如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是___________．【答案】4π．【解析】弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．例题3、如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC=____度，∠BPC=____度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．【答案】（1）60，60（2）见解析（3）【解析】（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）证明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠PAC+∠PBC=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP；（3）作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP

AM=BP，又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=，∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH=(2+3)×=．随练随练1、如图，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO=65cm，CO=15cm，当AC绕点O旋转90°时，则刮雨刷AC扫过的面积为____cm2．【答案】1000π【解析】刮雨刷AC扫过的面积==1000πcm2．随练2、如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】连接OB，AC，BO与AC相交于点F，∵在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，又∵扇形DOE的半径为3，边长为，∴FO=BF=1.5，cos∠FOC===，∴∠FOC=30°，∴∠EOD=2×30°=60°，∴==π，底面圆的周长为：2πr=π，解得：r=，圆锥母线为：3，则此圆锥的高为：=，故选：D．随练3、如图，△ABC中，∠A=30°，AB=AC，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E（1）求∠ABD的度数；（2）当BC=时，求线段AE，AD与围成阴影部分的面积．【答案】（1）∠ABD=45°；（2）S阴影=．【解析】（1）∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=75°，∴∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°；（2）过点D作DF⊥AB与F，在RT△BDF中，∠FBD=45°，BD=BC=，∴BF=DF=BDsin45°=×=1，在RT△BDF中，∠A=30°，∴AD=2DF=2，AF=，∴AB=AF+BF=+1，∴S阴影=S△ABD﹣S扇形BDE=AB•DF﹣=．拓展拓展1、已知矩形ABCD的边，，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】在直角△BCD中，，则由图可知，拓展2、如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=-1，则△ABC的周长为（）A.4+2B.6C.2+2D.4【答案】A【解析】连接OD，OE，∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD=CE=OE，∵∠A=∠B=45°，∴△OEB是等腰直角三角形，设OE=r，∴BE=OE=OG=r，∴OB=OG+BG=-1+r，∵OB=OE=r，∴-1+r=r，∴r=1，∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（1+-1）=2．∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=4+2．故选A．拓展3、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（）A.rB.rC.2rD.r【答案】C【解析】连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，