应用数值分析-线性代数方程组数值解法

线性代数方程组数值解法——直接法一、阶线性代数方程组二、上（下）方程组与回代（前推）过程1、上三角方程组2、回代过程3、下三角方程组4、前推过程三、顺序消去法1、消元过程（1）阶方程组经次消元后，得到的新的系数矩阵具有如下形式：（2）在第次，计算乘数，则元素的计算公式为：（3）完成次消元后：2、回代过程3、计算量估计（1）第次消元需要进行次乘法和次除法：（2）回代过程乘除法次数：（3）乘数法总次数：（4）加减法总次数：4、要求：系数矩阵的所有顺序主子式四、列主元消去法1、对于非奇异矩阵，在第一步消元时，即使的第一个元素为零，但是的第一列元素中至少有一个不为零，把这个不为零的元素所在的行与第一行交换位置，即可进行消元。也就说，只要是非奇异的，必要时加上换行步骤，消去过程总是可以进行下去的。2、主元素：消去过程中的元素和回代过程中的元素均起着关键作用，称为主元素。3、列主元素法：在消元过程的每一步之前，不管主元素是否为零，均从该元素及其所在列的下方元素中选出绝对值最大的元素，然后将该行与主元素所在行进行交换，再开始消元计算。新的主元素满足：4、要求：系数矩阵非奇异五、直接三角法1、矩阵的三角分解（分解）：（1）分解：设为阶非奇异矩阵，如果的顺序主子式，则可分解为一个单位下三角阵和一个上三角阵的乘积，且这种分解是唯一的（的第一行与的第一行是相同的）。（2）分解：设为阶非奇异矩阵，如果的顺序主子式，则可分解为一个下三角阵和一个单位上三角阵的乘积，且这种分解是唯一的。（3）分解：设为阶非奇异矩阵，如果的顺序主子式，则可分解为一个单位下三角阵、一个对角矩阵和一个单位上三角阵的乘积，且这种分解是唯一的。2、解法步骤：（1）令已知，通过的元素直接计算出和的元素；（2）由已知的和解出（下三角方程组，前推过程）中的；（3）由已知的和解出（上三角方程组，回代过程）中的。3、要求：系数矩阵非奇异，顺序主子式六、追赶法1、三对角方程组：系数矩阵除了对角线的“三斜行”以外的元素均为零。2、采用分解：把三对角方程组的系数矩阵分解为，其中为单位下三角矩阵，两斜行，主对角元素为1，其下方的斜行元素待定；为上三角矩阵，两斜行，主对角元素待定，其上方斜行元素与的对应的斜行元素相同。3、解三对角方程组追赶法（算法）步骤：（1）利用矩阵乘法规则求出和：（2）求解，得：（3）求解，得：（4）要求：三对角矩阵非奇异，顺序主子式4、（1）严格对角占优矩阵：矩阵的每个对角元素的绝对值都比所在行的非对角元素的绝对值的和要大，即对角占优的三对角矩阵无零元素时能实现追赶法计算。（充分非必要）（2）弱对角占优矩阵：至少有一个不等式取等号成立。七、平方根法1、设系数矩阵对称正定，则存在一个实的下三角矩阵，使得当的元素只取正时，此分解是唯一的。2、解三对角方程组平方根法（算法）步骤：（1）由矩阵乘法规则求出（2）由，求出（3）由，求出3、要求：八、消去法1、在消去法把方程组系数矩阵约化为上三角方程组的基础上，再把所在这一列的除的其它元素都消为0，并约化。2、求逆矩阵的计算机算法：为求阶可逆矩阵的逆矩阵，作阶矩阵（其中为阶单位矩阵），作初等行变换，当的左一半化为时，右一半就是。3、计算量：（1）乘数法总次数：（2）加减法总次数：九、改进的平方根算法1、设系数矩阵对称且顺序主子式，则存在一个单位下三角矩阵和对角矩阵，使得且此分解是唯一的。2、改进平方根算法步骤：（1）将直接分解为，根据矩阵乘法规则，求出和（2）由，求出（3）由，求出3、要求：系数矩阵对称且顺序主子式十、直接法误差分析1、扰动误差分析：对于方程组，(),设有误差，有误差，因此引起解有误差，即：（1）与分别有扰动和时：（2）精确（），有扰动时：（3）精确（），有扰动时：当很小时，2、条件数：（1）设为非奇异阵，称为矩阵的条件数。（2）如果矩阵的条件数相对大，就称是坏条件的或是病态矩