广东省广州市2024年中考数学试卷

广东省广州市2024年中考数学试卷阅卷人一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）得分1．四个数−10，−1，0，10中，最小的数是（）A．−10 B．−1 C．0 D．102．下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（）A．B．C． D．3．若a≠0，则下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．4．若a<b，则（）A．a+3>b+3 B．a−2>b−2 C．−a<−b D．2a<2b5．为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0<x≤4，4<x≤8，8<x≤12，12<x≤16，16<x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（）A．a的值为20B．用地面积在8<x≤12这一组的公园个数最多C．用地面积在4<x≤8这一组的公园个数最少D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷6．某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（）A．1.2x+1100=35060 C．1.2(7．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（）A．18 B．92 C．9 D．68．函数y1=ax2+bx+c与y2=A．x<−1 B．−1<x<0 C．0<x<2 D．x>19．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙OA．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定10．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（）A．3118π B．118π C．阅卷人二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）得分11．如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1=71°，则∠2的度数为．12．如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3．当R13．如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE=．14．若a2−2a−5=0，则215．定义新运算：a⊗b=a2−b(a≤0)−a+b(a>0)例如：−2⊗4=(−2)2−4=016．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y=kx(x>0)①k=2；

②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；③A'E的最小值是④∠B'BD=∠BB'O．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）阅卷人三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）得分17．解方程：12x−518．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．19．如图，Rt△ABC中，∠B=90°．（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．20．关于x的方程x2（1）求m的取值范围；（2）化简：1−m21．善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：A组75788282848687889395B组75778083858688889296（1）求A组同学得分的中位数和众数；（2）现从A、B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．22．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，（1）求CD的长；（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：sin36.87°≈0.6023．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：脚长x…232425262728…身高y…156163170177184191…（1）在图1中描出表中数据对应的点(x（2）根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y=（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.24．如图，在菱形ABCD中，∠C=120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．（1）当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；（2）若AB=6+63，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r①求r的取值范围；②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．25．已知抛物线G:y=ax2−6ax−a3+2a2+1(a>0)过点A(x1,2)和点B(x（1）求抛物线G的对称轴；（2）求m的值；（3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线l'，当l'∥AB时，直线l'交抛物线①求t的值；②设△AEF的面积为S，若对于任意的a>0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵|-10|=10，|-1|=1，10＞1＞0，

∴-10＜-1＜0＜10，

∴四个数-10，-1，0，10中，最小的数是-10.故答案为：A.【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、此选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意.故答案为：C.【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵a2+a3=12a+13a=12+13a=5a6≠a5，故此选项计算错误，不符合题意；故答案为：B.【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据分式的乘法法则“ab4．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故此选项错误，不符合题意；

B、∵a＜b，∴a-2＜b-2，故此选项错误，不符合题意；

C、∵a＜b，∴-a＞-b，故此选项错误，不符合题意；

D、∵a＜b，∴2a＜2b，故此选项正确，符合题意.故答案为：D.【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、由题意可得，a=50-4-16-12-8=10，故选项A不符合题意；

B、由频数分布直方图可知，用地面积在8<x≤12这一组的公园个数最多，故选项B符合题意；

C、由频数分布直方图可知，用地面积在0<x≤4这一组的公园个数最少，故选项C不符合题意；

D、由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公烦，没有达到一半，故选项D不符合题意.故答案为：B.【分析】用样本容量50分别减去其它四组的频数可得a的值；根据频数分布直方图可知用地面积在8<x≤12这一组的公园个数最多，用地面积在0<x≤4这一组的公园个数最少，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，从而即可逐项判断得出答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.故答案为：A.【分析】根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接AD，∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，

又∵AE=CF，

∴△AED≌△CFD，

∴S△AED=S△CFD，

∵S四边形AEDF=S△AED+S△ADF，

∴S四边形AEDF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=12S△ABC=12×12【分析】连接AD，由等腰直角三角形性质得AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，从而用SAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的面积相等得S△AED=S△CFD，进而利用割补法及等量代换，根据S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=12S△ABC8．【答案】D【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小；y2位于一、三象限内，且在每一象限内y2均随着x的增大而减小，

∴当x>1时，y1、y2均随着x的增大而减小.故答案为：D.【分析】由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小；y2图象的两支分别位于在一、三象限内，在每一个象限内y2均随着x的增大而减小，据此即可得到答案.9．【答案】C【解析】【解答】解：如图，

∵∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°，

∵OC⊥AB，且AB=43，

∴∠ADO=90°，且AD=1∵sin∠AOC=sin60°=ADAO，

∴AO=ADsin60°=2332【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的2倍得∠AOC=2∠ABC=60°，由垂径定理得∠ADO=90°，且AD=12AB=210．【答案】D【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，由题意得2πr=72π×5180，

解得r=1，

∴该圆锥的高为：故答案为：D.【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长列方程可求出底面圆得半径，进而根据底面圆的半径、高及母线长构成一个直角三角形可算出圆锥的高，最后根据圆锥的体积公式V=111．【答案】109°【解析】【解答】解：如图，∵a∥b，∠1=71°，

∴∠3=∠1=71°，

∴∠2=180°-∠3=109°.

故答案为：109°.【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠3=∠1=71°，然后根据邻补角可求出∠2的度数.12．【答案】220【解析】【解答】解：∵R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2，

∴U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)=2.2(20.3+31.9+47.8)=220故答案为：220.【分析】将待求等式右边利用提取公因式法分解因式后，将R1、R2、R3及I的值代入计算即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=2，AD∥BC，

∴∠CBA=∠BAE，

∵BA平分∠CBE，

∴∠CBA=∠EBA，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE=BE=3，

∴DE=AE+AD=3+2=5.故答案为：5.【分析】由平行四边形的性质得AD=BC=2，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠CBA=∠BAE，结合角平分线的定义得∠ABE=∠BAE，由等角对等边得AE=BE=3，最后根据DE=AE+AD可算出答案.14．【答案】11【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，

∴a2-2a=5，

∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.故答案为：11.【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.15．【答案】74或【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=-34，

∴x2=14，

解得x1=12(舍去)，x2=-12；

当x＞0时，由新运算可得-x+1=-34，

解得x=故答案为：74或-【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.16．【答案】①②④【解析】【解答】解：如图，设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，

∵矩形ABCO，

∴BC=OA，OC=AB

∵点A（1，0），点C（0，2），

∴OA=BC=1，OC=AB=2，

∴点B（1，2）

∵矩形OABC的顶点B在函数y=kx(x>0)的图象上，

∴k=1×2=2，故①正确；

∵将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'），A'B'交函数y=kx(x>0)的图象于点D，DE⊥y轴，

∴S△AOB=S△ODA'，

∴S△OBF=S四边形AA'DF，

∴S△BOF+S△BDF=S四边形AA'DF+S△BDF即S△OBD=S四边形ABDA'，故②正确；

∵当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，G(1，1)，AE的最小值是2，

∴A'E的最小值大于2

∴将AB逐渐向右平移，点E向点O移动，与反比例函数的交点D也逐渐下移，向点A'靠近，

∴A'E的长逐渐趋于OA的长度，故③错误；

由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，

∴向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，

∴OB=OB'，【分析】设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，利用矩形的性质和点A、C的坐标，可求出BC，AB的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式求出k的值，可对①作出判断；利用反比例函数的几何意义可知S△AOB=S△ODA'，可推出S△OBF=S四边形AA'DF，据此可得到△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，可对②作出判断；当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，可得到点G(1，1)，利用勾股定理可得到AE的最小值是2，可推出A'E的最小值大于2，利用平移可知A'E的长逐渐趋于OA的长度，可对③作出判断；由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，利用矩形的性质可知OB=OB'，利用等边对等角可证得∠B'BD=∠BB'O，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.17．【答案】解：原方程去分母得：x=6x−15，

解得：x=3，

检验：当x=3时，x(2x−5)≠0，

故原方程的解为x=3．【解析】【分析】根据比例性质“两内项之积等于两外项之积”将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.18．【答案】证明：∵BE=3，EC=6，

∴BC=3+6=9，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°，

∵ABCE=96=32，BECF【解析】【分析】首先根据线段的和差求出BC=9，然后由正方形的性质得AB=BC=9，∠B=∠C=90°，进而根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断出△ABE∽△ECF.19．【答案】（1）解：如图所示，线段BO为AC边上的中线；

.（2）证明：∵点O是AC的中点，

AO=CO，

∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，

∴BO=DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形．【解析】【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于12AC的长度为半径画弧，两弧在AC的两侧分别相交，过两弧的交点作直线交AC于点O，点O就是AC的中点，再连接BO即可；

20．【答案】（1）解：∵关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根，

∴Δ=(−2)2−4(4−m)>0，

（2）解：∵m＞3，

∴m−3>0，

∴1−m2|m−3|÷【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母m的不等式，求解即可；

（2）首先根据m的取值判断出m-3＞0，然后根据绝对值的性质将第一个分式的分母去绝对值符号，同时将分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简即可.21．【答案】（1）解：将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩为84，86，

∴A组同学得分的中位数为（84=86）÷2=85（分）；

由表格可知，A组同学得分的众数为82分；（2）解：将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，

∴这2名同学恰好来自同一组的概率为412=【解析】【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；

（2）此题是抽取不放回类型，将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，从而根据概率公式计算即可.22．【答案】（1）解：如图：

由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，

∴∠EBD=∠BDC=36.87°，

在Rt△BCD中，BD=10米，

∴CD=BD⋅cos36.87°≈10×0.80=8(米)，

∴CD的长约为8米；（2）解：在Rt△BCD中，BD=10米，∠BDC=36.87°，

∴BC=BD⋅sin36.87°≈10×0.6=6(米)，

在Rt△ACD中，AD=17米，CD=8米，

∴AC=AD2−CD2=172−82=15（米），

∴AB=AC−BC=15−6=9(米)，

∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，

∴模拟装置从A点下降到B点的时间【解析】【分析】（1）由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，由二直线平行内错角相等，得∠EBD=∠BDC=36.87°，在Rt△BCD中，由∠BDC的余弦函数可求出CD的长；

（2）在Rt△BCD中，由∠BDC的正弦函数可求出BC的长，在Rt△ACD中，由勾股定理可算出AC的长，进而根据AB=AC-BC算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系可求出点A下降到点B的时间.23．【答案】（1）解：描点如图示：

（2）解：∵y=kx(k≠0)转化为k=xy=23×156≠24×163≠25×170≠⋅⋅⋅，

∴y与x的函数不可能是y=kx，

故选一次函数y=ax+b(a≠0)，

将点(23,156)、(24,163)代入解析式得：

23a+b=15624a+b=163（3）解：当x=25.8时，y=7×25.8−5=175.6(cm)．

答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm．【解析】【分析】（1）将表格中脚长x的值作为点的横坐标，身高y的值作为点的纵坐标，在坐标平面内描出各点即可；

（2）根据反比例函数y=kx图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于常数k，可判断出身高和脚长的函数关系不是反比例函数关系，是一次函数关系，进而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式即可；24．【答案】（1）解：AF=AD，AF⊥AD，理由如下，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠BAD=∠C=120°，

∵△ABE和△AFE关于AE轴对称，

∴AB=AF，

∴AF=AD，

∵∠BAF=30°，

∴∠DAF=∠BAD−∠BAF=90°，

∴AF⊥AD，

综上，AF=AD，AF⊥AD．

​​​（2）解：（2）①如图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE于点G，作AH⊥BC于点H．

∵四边形ABCD是菱形，且∠C=120°，

∴∠B=180°-∠C=60°，

∵△ABE与△AFE关于AE轴对称，

∴∠AFE=∠ABE=60°，

∴∠AOE=120°，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=30°，

∴OA=AGcos30∘=233AG，

∵r=OA=233AG=233⋅12AE=33AE，

在Rt△ABH中，AH=AB⋅sin60°=9+33，

∵AE≥AH，且点E不与B、C重合，

∴AE≥9+33，且AE≠6+63，

∴r≥33+3，且r≠23+6．

②能相切，此时BE=12，理由如下：

假设存在，如图画出示意图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OF，作EH⊥AB于点H，

设∠AFD=α，则∠AEF=∠AEB=α(弦切角)，

∴∠CEF=180°−∠AEB−∠AEF=180°−2α，

∵AF=AD，

∴∠ADF=∠AFD=α，

∴∠DAF=180°−2α，

∵∠CEF=∠CAF，

∴∠CAF=180°−2α=∠DAF，

∵∠CAD=12∠BAD=60°，

∴∠CAF=180°−2α=∠DAF=30°，

∴α=75°，即∠AEB=75°，【解析】【分析】（1）AF