初中数学校本教材《生活中的数学》

中老，•耳秋数学联埼谓程

数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。创新教

学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问

题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了

培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应

该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材

料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取

材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴

趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价

值观的目标。

数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和

培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践

体验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个

学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析

问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴

趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发

展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。

课程纲要

一、课程目标：

以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特

点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能

力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学

生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生

能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得

到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。

二、课程概况：

本课程由八年数学教师具体负责实施。本课程在八年实施。

三、课程内容与活动安排：

让学生体会数学史可发生在我们的周围，我们的生活空间是无

穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，让他们充

分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过

程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能

力，形成正确的人生观、价值观。

授课对象：八年学生

授课时间：周四下午第6节

授课地点：各班教室

2

目录

生活中的数学问题

几何就在你身边

归纳与发现

勾股定理（一）

勾股定理（二）

生活中的纳税问题

生活中的节能问题

镜子改变了什么

3

第一节生活中的数学问题

数学来源于生活，同时又服务于生活，例如下面几个问题：

1、钟面上有1、2、3、4、...11、12共十二个数。

（1）试在某些数的前面添加负号，使它们的代数和为零。

（2）能否改变钟面上的数，比如只剩下六个偶数，仍按第⑴小题的要求来做;

（3）请试着改变第⑴小题，使它更加有趣一些。如：哪些时间里分针与时针

所夹的那些数的前面添加负号，钟面上的各数的代数和就为零；

（4）在解上述各题的过程中，你能总结出一些什么规律？

2、1）每位同学发一张8开的白纸，然后叫同学沿纸的长边对折成16开的纸，

再将16开纸对折成32开纸，通过测量和计算回答下列问题

A.8开纸和16开纸的形状相关相似吗？

B.16开纸和32开纸的形状相似吗？

C.猜想：如果将纸的对折操作继续进行下去，那么得到的16开、32开、

64开……、2长开（K为自然数）,纸都相似吗？

（2）要使一个矩形纸沿长边对折后仍同原来纸的形状相似，那么该纸的长

和宽之比为多少？

（3）翻开你手中教材的第一页或最后一页，找出纸张的开数，如“开本787

X10241/16”或“开本850X11681/32”计算纸的长和宽之比，试问

A.纸的长和宽之比是否同1.414很接近？并解释误差的原因。

B.试讨论如此设计纸张大小的好处是什么？进而，造纸厂生产纸时，如

何设计纸的大小为最优？

3、某顾客有10元钱，第一次在商店买X件小商品花去Y元，第二次再去

买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10

件，花去2元。问他第一次买的小商品是多少件？（设X、Y为整数）。

4、百货公司的一页帐簿上沾了墨，关于1月13日出售气压热水瓶。只知

道单价及金额后面的三个数码是7.28,数量与金额前面的三个数码都看不清

7,请你帮助查清这笔帐。

月日摘要数量单价金额

（只）（元）（元）

113气压热水瓶49.36■17.28

5、有一块长4厘米宽3厘米的园地，现要在园地辟一个花坛，使花坛的

面积是原园地面积的一半，问如何设计？

4

6、缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾，现

在他手中只有--把剪刀，问他应该如何剪？

7、小王年初向建设银行贷款2万元用于购房，商定年利率为10%,按复

利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），若这笔借款分15次等额归还，

每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少钱（精确

到1元）？8、一张纸片，第一次将其撕成四片，以后，每次将其中的一片撕

成更小的四片，

如此进行下去，试问（10撕5次，共有多少张纸片？（2）撕8次、10次各有

多少张纸片？（3）撕n次，共有多少张纸片？（4）撕成22张，需撕儿次？

（5）能否将纸片撕成1993片?为什么？

9、在一条直线的流水线上，依次在A1、A2、A3、&、As有5个机器人在

工作，现欲设一零件供应点，问应设于何处，可使5个机器人与它的距离总和

为最小。如果是6个机器人，则怎样？一般地，n个机器人的情况下，又应如

何设置？

A\A]A3A4A5

10、2006年暑假，小明每天在家都看电视，周一至周五每天看3小时，周

六、周日每天看5小时。（暑假是从7月21日正式开始。）

（1）请问小明八月份这个月里共看了多少时间的电视？（大家都知道新学

期上学的这一天9月1日是星期五，八月份有31天。）

（2）如果小明每天睡觉时间为8小时，并且睡觉比看电视所多出来的时间

正好是小明在八月里学习所用的时间。小明在假期里学习，有时一天4小时，

有时一天5小时，请问小明一天学5小时的天数共有多少天？

（3）请同学们结合上面的问题再编写出其它问题。

5

第二节儿何就在你的身边

初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂

非懂；有的知识则似乎很“玄.”，离我们很远!其实，日常生活中有几何，几何

就在你的身边。

当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋

形”的呢?因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有

小，可供人们选择；两个轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。这说

明：物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是儿何

这门学科所要研究的。

当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有儿何知识吗？

图1图2图3

儿何中叫“比较线段的大小；把阴影部分裁去，可以看成在“长”上截取

一段，使它等于“宽”，这就是几何中的“线段作图”；长方形的长与宽相等

时，就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。

如果把正方形折成相等的两部分，除了图2中所示的四种折法外，你还能

想到其他的折法吗?不妨试试：过四条折痕相交的那个点“•”，任意地折一

条线，看看这样把正方形分成的两部分也一样吗？

当你走进用砖块铺地的房间时，你注意到这些砖块的形状吗？有的是等边

三角形的，有的是长方形或正方形的。

其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3o

这又将告诉我们儿何中的一个重要结论（四边形的四个角的大小之和恰好等

于360度），这个结论，与小学数学里学过的“三角形的三个角之和等于180

度。又有着紧密的联系。

如果有兴趣的话，请你剪两块同样的直角三角形纸片，然后把两块纸片拼

合成一个图形，你能拼出6种不同的图形吗？这里又包含了许许多多的几何知

识。比如，当你拼成一个等腰三角形时，就不难知道：等腰三角形可以分成两

6

个同样的直角三角形，中间的那条线位置很特殊，今后研究等腰三角形时常常

要用到它！

7

第三节归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方

法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段.这里的

归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简

单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些

经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般

途径或新的命题的思考方法.下面举几个例题，以见一般.

例1如图2-99,有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作

第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边

有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？

这个点阵共有多少个点？

分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵

共有的点数.第一层有点数：1；

8

第二层有点数：1X6；

第三层有点数：2X6；

第四层有点数：3X6；

第n层有点数：(n-1)X6.

因此，这个点阵的第n层有点(n-1)X6个.n层共有点数为

l+lX6+2X6+3X6+-+(n-l)X6

=1+6[1+2+…+(n-1)]

[l+(n-l)]x(-l)

=1+6x------------------n-----

2

=1+3(n-l)n.

例2在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆，其中任

何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么

试问：

图2-100

9

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

(2)这n个圆共有多少个交点？

分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1,2,

3,4,5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区

域有多少个？为此，我们列出表18.1.

表18.1

圆的个数n12345•••n

平面区域数Sn2471116.・・?

由表18.1易知

S2_SI=2,

$362=3,

S4-S3-4»

$564=5,

由此，不难推测

10

Sn-Sn-1=D.

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1=2+3+4+-+n,

因为Si=2,所以

Sn=2+2+3+-+n=l+(l+2+3+-+n)

.n(n+1)n2+n+2

=H----------=------------.

22

这就证明了当n个圆过P点时，可把平面划分为止詈个平面区域.十

2卜

面对Sn-Se=n,即Sn=Sn.i+n的正确性略作说明.

因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，

即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所

以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Se上，所以有Sn=Se

+n.

(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此，

可列出表18.2.

11

表18.2

回的个数k12345.・・n

圆的交点数ak124711・・.%=?

由表18.2容易发现

=1,

a2-9i=1，

23七2=2,

24七3=3,

25臼4=4,

an-ran-2=n-2，

an-ae=n-1・

n个式子相加

%=1+[1+2+3+…+(n-1)]

2

(=n]-+l-)-n--_--n--=--n--+--2------

22

12

所以，当有满足条件的n个圆过P点时，这n个圆共有汨整个交点.

注意请读者说明an=ae+(n-1)的正确性.

例3设a,b,c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中

aWbWc,如果b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

分析与解我们先来研究一些特殊情况：

⑴设b=n=1,这时b=1,因为aWbWc,所以a=1,c可取1,

2,3,….若c=1,则得到一个三边都为1的等边三角形；若c>

2,由于a+b=2,那么a+b不大于第三边c,这时不可能由a,

b,c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一

个.

⑵设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表18.3.

表18.3

aC三角形个数

22,32

121

这时满足条件的三角形总数为：1+2=3.

(3)设b=n=3,类似地可得表18.4.

13

表18.4

aC三角形个数

33,4,53

23.42

131

这时满足条件的三角形总数为：1+2+3=6.

通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总

数为：

l+2+3+…+n=^^

2

这个猜想是正确的.因为当b=n时，a可取n个值(1,2,

3,n),对应于a的每个值，不妨设a=k(1WkWn).由于bWc

<a+b,即nWc<n+k,所以c可能取的值恰好有k个(n,n+1,

n+2,…，n+k-1).所以，当b=n时-，满足条件的三角形总数为：

-cn(n+1)

1+2+3+-+n=一.

2

例4设1X2X3X…Xn缩写为n!(称作n的阶乘)，试化简：

1!X1+2!X2+3!X3H-----bn!Xn.

分析与解先观察特殊情况：

14

⑴当n=1时，原式=1=(1+1)!-1；

⑵当n=2时，原式=5=(2+1)!-1；

(3)当n=3时,>^=23=(3+1)!-1；

(4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1.

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)!-1.

下面我们证明这个猜想的正确性.

1+原式=1+(1!X1+2!X2+3!X3+--+n!Xn)

=1!X2+2!X2+3!X3+…+n!Xn

=2!+2!X2+3!X3+-+n!Xn

=2!X3+3!X3+-+n!Xn

=3!+3!X3+-+n!Xn=-

=n!+n!Xn=(n+1)l,

所以原式=(n+1)!-1.

例5设x>0,试比较代数式x3和X2+X+2的值的大小.

15

分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设X等于

某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思

路.为此，设x=0,显然有

X3<X2+X+2.①

设x=10,则有x3=1000,X2+X+2=112,所以

X3>X2+X+2.②

设x=100,贝U有X3>X?+X+2.

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当X值较小

时，X3<X2+X+2；当x值较大时，X3>X2+X+2.

那么自然会想到：当x=?时，x3=x?+x+2呢？如果这个方程得

解，则它很可能就是本题得解的“临界点”.为此，设x3=x?+x+

2,则

X3-X2-X-2=0,

(X3-X2-2X)+(X-2)=0,

(X-2)(X2+X+1)=0.

16

因为x>0,所以x2+x+1>0,所以x-2=0,所以x=2.这样

(1)当x=2时，X3=X2+X+2；

(2)当0<xV2时，因为

X-2V0,X2+X+2>0,

所以(X-2)(X2+X+2)<0,

即

X3-(X2+X+2)<0,

所以X3<X2+X+2.

(3)当x>2时-，因为

x-2>0,X2+X+2>0,

所以(X-2)(X2+X+2)>0,

即

X3-(X2+X+2)>0,

所以X3>X2+X+2.

17

综合归纳(1),(2),(3),就得到本题的解答.

练习七

1.试证明例7中：

p_n2+1

q(n+1)2'

2.平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条

直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点.试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

3.求适合x5=656356768的整数X.

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505<

656356768<605,502<x<602.)

18

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像

上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以面积

相等.即

a1+b2+4x—ab-c2+4x—ah

22，整理得。2+/=C”.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每

个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形

状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上,

C、G、D三点在一条直线上.

Rt△HAERt△EBF,

ZAHE=ZBEF.

19

ZAEH+ZAHE=90°,

ZAEH+ZBEF=90°.

ZHEF=180°-90°=90°.

...四边形EFGH是一个边长为c的

正方形.它的面积等于CL

RtAGDHRtAHAE,

•.ZHGD=ZEHA.

ZZHGD+ZGHD=90°,

ZEHA+ZGHD=90°.

又ZZGHE=90°,

*.ZDHA=90°+90°=180°.

•.ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于（。+。）2.

22

.(a+/?)=4x—tz/?+C

♦2a2+h2=c2

【证法3］（赵爽证明）

以a、b为直角边（b>a）,以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角A

1h

三角形的面积等于2"'.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

RtADAHgRt△ABE,

20

ZHDA=ZEAB.

ZHAD+ZHAD=90°,

ZEAB+ZHAD=90°,

ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于cL

,ZEF=FG=GH=HE=b-a,

ZHEF=90°.

...EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于

.4x.^ab+(b-a)2=c2

a2+b2=c2.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则

每个直角三角形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示

形状，使A、E、B三点在一条直线上.

,ZRtAEADgRtACBE,

ZADE=ZBEC.

ZAED+ZADE=90°,

ZAED+ZBEC=90°.

二.ZDEC=180°-90°=90°.

/.△DEC是一个等腰直角三角形,

21

1.2

它的面积等于5,.

又•:ZDAE=90°,ZEBC=90°,

二.AD〃BC.

/.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于+"

...+*[

a2+b2=c2

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、

b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在

一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

D、E、F在一条直线上，且RtAGEFgRtAEBD,

二.ZEGF=ZBED,

ZEGF+ZGEF=90°,

二.ZBED+ZGEF=90°,

...ZBEG=180°-90°=90°.

又•:AB=BE=EG=GA=c,

...ABEG是一个边长为c的正方形.

二.ZABC+ZCBE=90°.

,ZRtAABCRtAEBD,

22

ZABC=ZEBD.

ZEBD+ZCBE=90°.

即ZCBD=90°.

又：ZBDE=90°,ZBCP=90°,

BC=BD=a.

/.BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则

,1

7+/7-=S+2x—ab,

2

,1,

c~=S+2x—uh

2,

a1+b2=c2.

【证法6】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b

(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图

所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP〃BC,交AC于点P.

过点B作BM_LPQ,垂足为M；再过点

F作FNLPQ,垂足为N.

ZBCA=90°,QP〃BC,

，ZMPC=90°,

23

BM±PQ,

ZBMP=90°,

BCPM是一个矩形，即NMBC=90°.

ZQBM+ZMBA=ZQBA=90°,

ZABC+ZMBA=ZMBC=90°,

ZQBM=ZABC,

又•:ZBMP=90°,ZBCA=90°,BQ=BA=c,

RtABMQZRtABCA.

同理可证RtAQNFZRtAAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7］（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形

状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CSDE,

交AB于点M,交DE于点

AF=AC,AB=AD,

ZFAB=ZGAD,

，AFABAGAD,

DcE

24

12

△FAB的面积等于5",

△GAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

...矩形ADLM的面积=/.

同理可证，矩形MLEB的面积=/.

,/正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

c2=a2+b2,即a2+b2=c\

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、

b,斜边AB的长为c,过点C作CDJLAB,垂足是D.

在AADC和AACB中,

ZADC=ZACB=90°,

ZCAD=ZBAC,

二.AADCsAACB.

AD：AC=AC：AB,

即AC2=AD»AB.

同理可证，ACDBsAACB,从而有BC?=BO・A8.

22222

AC+BC=(AD+DB)»AB=AB\g|ja+b=c

25

【证法9】(杨作玫证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b

(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所

示的多边形.过A作AFLAC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B

作BP_LAF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E,

DE交AF于H.

ZBAD=90°,ZPAC=90°,

：.ZDAH=ZBAC.

所以Rt△APBgRt△BCA.即PB=

CA=b,AP=a,从而PH=b-a.

,ZRtADGT也RtABCA,

RtADHARtABCA.

二.RtADGTRtADHA.

二.DH=DG=a,ZGDT=ZHDA.

26

又：ZDGT=90°,ZDHF=90°,

ZGDH=ZGDT+ZTDH=ZHDA+ZTDH=90°,

DGFH是一个边长为a的正方形.

二.GF=FH=a.TF±AF,TF=GT-GF=b-a.

TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP=b,高

FP=a+(b—a).

用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积

为

c"=S]+$2+S3+S4+S5①

2

..+S3+S4=1[/?+(&-a)]»[a+(6-«)]b-^-ab

S5=Sg+S9,

2I

5+S=&

34--ab-S.=h2_Si~Ss,②

把②代入①，得

c~=S]+S2+〃~—S]—5g+Sg+S9

=廿+S2+S9-b?+a?.

，222

a+b=c9

【证法10](李锐证明)

设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c.

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，

27

使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

ZTBE=ZABH=90°,

ZTBH=ZABE.

又ZBTH=ZBEA=90°,

BT=BE=b,

RtAHBTgRtAABE.

二.HT=AE=a.

GH=GT-HT=b-a.

又ZGHF+ZBHT=90°,

ZDBC+ZBHT=ZTBH+ZBHT=90°,

ZGHF=ZDBC.

DB=EB-ED=b-a,

ZHGF=ZBDC=90°,

RtAHGFgRt△BDC.即si=S2.

过Q作QM_LAG,垂足是M.由NBAQ=ZBEA=90°,可知

ZABE

=ZQAM,而AB=AQ=c,所以Rt△ABEgRtAQAM.又Rt△

HBTg

s

RtAABE.所以RtAHBTgRtAQAM.即s=S5,

28

由RtAABE咨RtAQAM,又得QM=AE=a,ZAQM=Z

BAE.

ZAQM+ZFQM=90°,ZBAE+ZCAR=90°,ZAQM=

ZBAE,

ZFQM=ZCAR.

又：ZQMF=ZARC=90°,QM=AR=a,

RtAQMFRtAARC.即S’=$6.

A=$3+S7+

c~—SiI+ZS3S4+jjQ-=S]I+Ojh~3/Soo,

又•••S7=§2,$8=S5,S4=§6,

a~h~=iSj+iSg+S,+57+51^

—Si+S4+S3+S2+S3

c2

即a2+/?2=c~

【证法11］（利用切割线定理证明）

在Rt△ABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如

图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、

E,则BD=BE=BC=a.因为NBCA=90°,点C在。B上，所以

AC是。B的切线.由切割线定理，得

AC2=AE»AD

={AB+BE\AB-BD]

29

=(c+a\c-a)

即b2=c2-a2,

a2+b2=c2,

【证法12］（利用多列米定理证明）

在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c（如

图）.过点A作AD〃CB,过点B作BD〃CA,则ACBD为矩形，

矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线

的乘积等于两对边乘积之和，有

AB•DC=AD•BC+AC•BD,

'：AB=DC=c,AD=BC=a,

AC=BD=b,

AB2=BC2+AC2,即c2=a2+b2,

a2+b2=c2

【证法13］（作直角三角形的内切圆证明）

在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作Rt

△ABC的内切圆。O,切点分别为D、E、F（如图），设。O的半径

为r.

VAE=AF,BF=BD,CD=CE,

30

AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF+BF）

=CE+C£>=r+r=2r,

即a+b-c=2r,

〃+/?=2r+c.

（a+0）2=（2r+c）.

即a2+h2+2ab^4（r2+rc）+c2

..=—ab

：.2ab=4SMHCF

—cr+—ar+—br—（a+h+c）r

又S.MBC=S,MOB+SABOC+S.M0C=222=2'7

—（2r+c+c）r

»+rc,

4（〃+rc）=4S=Bc,

2

4（r+rc）=lab>

/.a2+h2+2ab=2ah+c2,/.a2+b2=c2.

【证法14］（利用反证法证明）

如图，在Rt△ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、

b,斜边AB的长为c,过点C作CDJLAB,垂足是D.

假设即假设AC2+BC2^AB2,则由

AB2=AB»AB=AB（AD+BD）=AB»AD+AB»BD

可知AC2^AB»AD,或者BC\AB・BD.即AD:AC7AC:

AB,或者BD：BCWBC：AB.

31

在AADC和△ACB中，

'：ZA=ZA,

.—AD：ACWAC：

NADCWNACB.

在ACDB和AACB中,

ZB=ZB,

.,.若BD：BCWBC：AB,则

NCDBWNACB.

又,:ZACB=90°,

NADCW90°,NCDBW90,

这与作法CDJLAB矛盾.所以，AC2+BC2RA炉的假设不能成

立.

a2+b2=c2.

【证法15］（辛卜松证明）

设置角三年形两直扁的?分别用a、b,斜边的史为c.狐边长

32

是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的儿

22

个部分，则正方形ABCD的面积为（a+by=a+b+2ab,把正方形

ABCD划分成上方右图所示的儿个部分，则正方形ABCD的面积为

(。+匕)2=4x—ab+C?

'72

2

a?+Z?2+2ab=lab+cf

【证法16］（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c.

做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形

状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如

图）.

在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC,

则AD=c.

Dp

,ZEM=EH+HM=b+a,ED=a,c/\

DM=EM-ED=(b+")-a=b.

又：ZCMD=90°,CM=a,

ZAED=90°,AE=b,

HaM

二.RtAAEDgRtADMC.

二.ZEAD=ZMDC,DC=AD=c.

33

ZADE+ZADC+ZMDC=180°,

ZADE+ZMDC=ZADE+ZEAD=90°,

ZADC=90°.

作AB〃DC,CB〃DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.

,ZZBAF+ZFAD=ZDAE+ZFAD=90°,

ZBAF=ZDAE.

连结FB,在△ABF和△ADE中，

AB=AD=c,AE=AF=b,ZBAF=ZDAE,

△ABFAADE.

ZAFB=ZAED=90°,BF=DE=a.

.,.点B、F、G、H在一条直线上.

在Rt△ABF和RtABCG中,

AB=BC=c,BF=CG=a,

RtAABFRtABCG.

22

•/c=S2+S3+S4+S5,b-+S,+S6)a=+S7?

S]=S5=S4=、6+S7,

=

•u~+b'SJ+517+SI+S2+S6

=S?+S3+S]+(4+§7)

=S2+S3+S4+S5

34

2

a2+b2c2

35

第六节生活中的纳税问题

纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分

按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税.现行劳务报酬纳税办

法有三种：

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率

为3%,全额计税.

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用

800元后的余额，依照20%的比例税率，计算应纳税额.

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20%的费用后，依

照20%的比例税率，计算应纳税额.

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略).

由(1),(2),(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，

y为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的

分段函数：

X*3%,x<1000；

<y(x)=(x-800)•20%,1000<x<4000i①

x(1-20%)♦20%,4000<x<20000.

36

例5小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王

的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王

和小张各得劳务报酬多少元？

解根据劳务报酬所得税计算方法（见函数①），从已知条件分析

可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000—4000之间，

如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

x+y=10000,①

x（,1-20%）20%+（y-800）20%=1560.②

由①得y=ioooo-x,将之代入②得

x（1-20%）20%+（10000-x-800）20%=1560,

化简、整理得0.16x-0.2x+1840=1560,

所以0.04x=280,x=7000（元）.

则y=10000-7000=3000（元）.

|x=7000（元），

所以3000（元）.

答小王收入7000元，小张收入3000元.

37

例6如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

J(x-800)♦20%♦(1-30%),K4000；

,_|x=(1-20%)•20%♦(1-30%),x>4000.

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额.

那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到

6216元，问这笔稿费是多少元？

解设这笔稿费为x元，由于x>4000,所以，根据相应的纳税

规定，有方程

x(1-20%)•20%X(1-30%)=x-6216,

化简、整理得

0.112x=x-6216,

所以0.888x=6216,

所以x=7000(元).

答这笔稿费是7000元.

练习六