第13讲动点问题

第13讲动点问题

知识点1动点问题中的函数图象

本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这

些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函

数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的

所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到正确选项。

【典例】

1.已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为

A(4,2),C(n,-2)(其中〃>0)，点8在x轴的正半轴上.动点/，从点O出发，

在四边形O43C的边上依次沿O-A-3-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合

时停止运动.设点P移动的路径的长为/,的面积为S,S与/的函数关系

的图象如图2所示,其中四边形。。即是等腰梯形.

(1)结合以上信息及图2填空：图2中的相=；

⑵求3、C两点的坐标及图2中OF的长；

⑶若OM是ZAOB的角平分线，且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两

个动

点，直接写出+M的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由.

【答案】

【解析】解：⑴〃?=26

⑵•••四边形所是等腰梯形

，可知四边形OABC是平行四边形.

由已知可得：S“叱=8，连接AC交x轴于R点，

又；A(4,2),C(n,-2)

•S=S+=—xROx2+—xROx2=2OR—8,

八AAITC4-SArtC/AAAnC/C22

；.OR=4,

：.OB=2RO=8,ARLOB

0),C(4,-2)且四边形OABC是菱形

：.OF=3AO=6&

⑶如图3,在08上找一点N使ON=OG,连接N”

•「O用平分ZAOB,

，ZAOM=NBOM.

①：OH=OH,

」.△GOHgAJVOH,

:.GH=NH.

：.GH+AH^AH+HN

根据垂线最短可知，4V是点A到。8的垂线段时，”点是与。用的交点，

GH+AH的最小值=AN=2

2.如图，直线.v=-x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，边长为2的正方形XEF

沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a(0WW4),正方形OCEF与“OB重

叠部分的面积为S.则表示S与“的函数关系的图象大致是()

【答案】D.

【解析】解：如图，当某时刻正方形由E运动到E1,

力i

22

易知:RtAEElF为等腰直角三角形，此时EEl=a,即吟,则S二吟,

故选D.

3.如图，在半径为1的中，直径4?把。。分成上、下两个半圆，点C是上半

圆上一个动点（C与点A、8不重合），过点C作弦，垂足为£，/OCD的

平分线交。。于点P,设CE=x,AP=y,下列图象中，最能刻画），与x的函数关

系的图象是（）

c

A.

【答案】A.

【解析】解：如图，连接OP,

则由题意知：zl=z2=z3,

.'.OPllCD,zAOP=90°,

则AAOP为等腰直角三角形，

•.-OC=1,

.•.AP=V2,即AP为定值，

故选A.

【方法总结】

1、在圆中遇有圆周角的平分线时，注意角平分线平分这角所对的圆弧。

2、由于圆的半径处处相等，这样很容易构造等腰三角形，进行角度转移。

【随堂练习】

1.如图1,在矩形MNPQ中,动点/?从点/V出发，沿什―Q一例方向运动

至点例处停止.设点/?运动的路程为x,A/WV/?的面积为y,如果y关于的函

数图象如图2所示，则当x=9时，点/?应运动到（）

A./V处B.户处C.Q处D.例处

【答案】C.

【解析】解：因为三角形的面积等于底乘高，由图2知，当x=4和9时，y都

是取最大值的临界点，结合图1,知此时点R应该运动到点Q处，

故选C.

2.如图，在直角梯形ABC£＞中，DC//AB,ZA=90°,AB=28cm,DC=24cm,

AO=4cm，点M从点。出发，以Icm/s的速度向点。运动，点N从点3同时出发,

以2cm/s的速度向点A运动，当其中一^动点到达端点停止运动时，另一个动点

也随之停止运动.则四边形MWD的面积y（cm?）与两动点运动的时间心）的函数

图象大致是（）

DMC

NB

【解析】解:由题意知：DM=t,BN=2t,AN=28-2t,

:.y=-(DM+AN)xAD=-2t+56(0<t<14)

故选D.

3.如图点A、B、C、。为圆。的四等分点动点P从圆心。出发，沿线段OC-C。-

线段。。的路线作匀速运动.设运动时间为，秒，〃必8的度数为了度，则下列图

象中表示y与/的函数关系最恰当的是()

D.

【答案】C.

【解析】解：当点P从点。出发时，NAPB=90。，从。到C时，zAPB逐渐减

小，至IJ达C时，NAPB=45°;当在CD时，zAPB保持45°不变；从D到。时，

zAPB逐渐增大到90°o

故选C。

知识点2动点与存在性问题

【典例】

1.已知：如图，在RtZXACB中，NC=90°,AC4cm,BC=3cm，点P由8出发

沿5A方向向点A匀速运动，速度为Icm/s；点。由A出发沿AC方向向点C匀速运

动，速度为2cm/s；连接PQ,若设运动的时间为f(s)(0<r<2),解答下列问题：

⑴当f为何值时,PQ//BC?

⑵设△AQP的面积为y(cn?),求与「之间的函数关系式；

⑶是否存在某一时刻/,使线段PQ恰好把RtZXACB的周长和面积同时平分？若存

在，求出此时/的值；若不存在，说明理由.

【答案】

【解析】解：⑴在RtAABC中，AB=y/BC2+AC2=5,

由题意知：AP=5T,AQ=2t,

若PQ〃BC,则XAPQsXABC,

.AQAP日n.2t5—t

ACAB45

・T

7

⑵如图，过点P作P"LAC于”.

.「△AWsAABC,

・PHAP.PH3

5—7.\PH=3--t,

・亍一号

.,.y=；x4QxPH=；x2rx[3-|'=-|/+3f.

⑶若PQ把人针。周长平分,

贝UAP+AQ=3P+3C+CQ.

.,.(5-r)+2r=/+3+(4-2z),解得：t=l.

若PQ把A4BC面积平分，

10

则s△一=产诋，即？+3f=3.

・L=l代入上面方程不成立，

.•不存在这一时刻r,使线段PQ把8△AC8的周长和面积同时平分.

2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=6cm,CD=4cm,3c=3£＞=10cm,

点尸由8出发沿8。方向匀速运动，速度为Icm/S;同时，线段）由OU出发

沿。力方向匀速运动，速度为Icm/S,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为/

（5）（0＜，＜5）.解答下歹1」问题：

⑴过P作尸”〃4），交4?于M.当/为何值时，四边形AWPE是平行四边形？

⑵设y=E0，Q,求y与/之间的函数关系式，并求/为何值时，.v有最大值，

最大值是多少；

⑶连接P厂，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由.

【答案】

【解析】解:⑴如图:

,•・四边形4WPE是平行四边形.

：.PE//AB=

而。E=f,DP=10-t，.一=吐^,"

6104

「•当仁”时，四边形4WPE是平行四边形.

4

⑵〈EF平行且等于CD，:"DQE=NBDC.

AD//BC，:./EDQ=NCBD.：./\DEQ^/\BCD.

.DE=EQ即_L=丝

.BC一CD，即10—4.'.EQ=-t.

245

,:DQ=BP=t,.'.PQ=10-2t：.y=EQPQ=-t(10-2r)=--(r-1)2+5.

・・・当f=|时，y有最大值5.

⑶在■和行»2中，

DE=BP=t

PD=BF=10-t[=>/\PDE^/\FBP

ZPDE=NFBP

一liUDfiPFCDE=S&PDE+S四边形户FC。=S&FBP+^PFCD=^ABC«=，&•

•••在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变.

3.如图，四边形为矩形，AB=4,AD=3,动点M从。点出发以1个单位/

秒的速度沿向终点A运动，动点N从A点出发以2个单位/秒的速度沿AB向终

点3运动.当其中一点到达终点时，运动结束.过点N作NPL钻交AC于点P,

连接,已知动点运动了x秒.

（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）

⑵试求人1仍4的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并

求出S的最大值；

⑶在这个运动过程中，/WPA能否为一个等腰三角形.若能，求出所有x的对

应值；若不能，请说明理由.

【答案】

【解析】解：⑴白；

其中0<xW2,

时，S取得最大值卜

（3）由⑴可知：AP=|尤

①若=,则3-x=gx,解得犬=5/

②若=,则过夕点作PQ_LA。于。，

易得AQPN是矩形，AQ=PN=^x,PQ=AN=2x

y.AM=PM=3-x,贝!JM2=3T——x=3——x,

-22

・,.(2力2+(3-gx)=(3-/『，解得玉=|^,々=°(舍去)

36

•x=­

37

另解：过点M作MELAC.

3

sinZAME=sinZBAC=-,

5

.AE3._3f.、

3-x55V7

又AE=2AP,.，.|（3-x）=^x-|x,解得X=|1.

25V72237

③若AP=MP,则过P点作PH±于H,

31i

易得AHPN是矩形，AH=PN-，且AH=—AM=—（3—x）,

•'•1x=^（3-x）,解得x=\.

综上所述，若Z\A仍4可以成为等腰三角形，满足条件的x的值可以为2---.

7374

【方法总结】

在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：

(1)假设结论成立；

(2)探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外

一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确

定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形;②根据题干要

求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条

线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条

件的平行四边形；

（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，

可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直

角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式

联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解.

【随堂练习】

1.如图：在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形O43C是矩形，点A、C的

坐标分别为410,0）、C（0,4）,点。是OA的中点，点P在比■边上运动，当AODP

是腰长为5的等腰三角形时，点P的所有坐标为（）

C.⑵4）、（8,4）D.（3,4）（8,4）

【答案】B.

【解析】解：如图，分别以D为圆心，以5为半径作圆与BC交于Pl、P2两点,

以O为圆心，以5为半径作圆与BC交于P3、

①当DP1=OD=5时，过点Pl作PlE±x轴于点E,P1E=4,据勾股定理得：

DE=3,0E=2，得Pl(2,4);当DP2=OD=5时，因为Pl、P2均在圆D上,

由对称性得：P2(8,4)②当OP3=OD=5时，过点P3作P3F±x轴于点F,

在RfOP3F中，得0F=3，得P3(3,4).

综上：当是腰长为5的等腰三角形时，点P的所有坐标为⑶"、(2’4)、

(8,4)

/

故选B。

2.如图在梯形。中ADUBC,E是8U的中点/IZ7=5,BC=12,CD=^,

NU=45°,点户是8U边上一动点，设08的长为x,当以点P、4D、£为顶

点的四边形为平行四边形时，x的值为()

A.1,B.11C.1或11D.2或10

【答案】C.

【解析】解：如图，过点A、D分别作BC垂线，垂足为F,G,

1、当点P位于图示所在位置时，由题意知：RfCDG为等腰三角形，则

DG=GC=4,BF=3,EG=EC-CG=2,当四边形PADE为平行四边形时，

PF=EG=2,BP=BF-PF=1:

2、取DE的中点M,则直线AM与BC的交点即为满足题意的动点P1的位置

所在,此时,EP=5,此时，BP1=BE+EP1=11

综上：当BP=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形.

故选C.

3.已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△他C的边

A3上沿A3方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点M与点4重合,

点N到达点B时运动终止)，过点M、N分别作AB边的垂线，与AABC的其它边

交于P、。两点，线段运动的时间为/秒.线段MN在运动的过程中，，为

()时，四边形MNQP恰为矩形？

35

A.2B.-C.3D.-

22

【答案】B.

【解析】解：如图，过点C作CDJLM,垂足为。.

则4>=2,

当仞V运动到被8垂直平分时，四边形MNQP是矩形,

即AM时，四边形MNQP是矩形，

.・“W秒时，四边形MNQP是矩形.

故选B.

综合运用

1.如图所示，在直角坐标系中，四边形O48U为直角梯形，041180,14cm,

/点坐标为(16,0),。点坐标为(0,2).点尺Q分别从C/同时出发，

点户以2cm/s的速度由U向8运动，点Q以4cm/s的速度由/向。运动，当

点Q停止运动时，点户也停止运动，设运动时间为ts(0Wr<4).

(1)求当,为多少时，四边形P08为平行四边形？

⑵求当才为多少时，PQ所在直线将梯形048。分成左右两部分，其中左部分

的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ的函数关系式.

【答案】

【解析】解:(i)；ts后,8A(14-2f)cm,AQ=Atcm.

7

由/Q,得14—2r=4r,t=—s

7

・•・当t=-s时，BP=AQ,又OAWBC,

二•四边形夕08为平行四边形.

⑵・••0点坐标为(0,2),/点坐标为(16,0),

.,.(9C=2cm,04=16cm.

•••S梯形。.(0/+800金;x(16+14)x2=30(cm2).

,.is后，PC=2rcm,(9(2=i6-4rcm,

由题意可得S四边形「20c=10'-1-16-2/=10,解得t=3s.

此时直线户Q的函数关系式为.v=x-4

2.正方形力8。的边长为2厘米，点£从点力开始沿边移动到点8,点尸

从点8开始沿8U边移动到点C,点G从点U开始沿。边移动到点。，点H

从点。开始沿DA边移动到点4它们同时开始移动且速度均为0.5厘米/秒设

运动的时间为秒）

⑴求证：dHAE&EBF;

⑵设四边形的面积为S（平方厘米），求S与f之间的函数关系式，并写

出自变量f的取值范围；

【答案】

【解析】解:QN秒时,AE=0.5t,BF=Q.St,DH=05t

:.AE=BF=DH,

•••四边形28。为正方形，

，N/=N8=90°,AD=AB

:.AH=BE=2-05t

:©HAmEBF.

⑵由⑴同理可得^HAE,RUEBF,Rt△&石以及RfG。〃四个三角形两两全

等，

S=4—gx0.5fx（2-0.5/）*4=g『—2f+4.

自变量子的取值范围是0W/W4

3.如图所示，在直角坐标系中，矩形力8。的边力。在X轴上，点/在原点，

AB=3,AD=S.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时

点户从/点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-。的路线作匀速运动.当P

点运动到。点时停止运动，矩形力8。也随之停止运动.

（1）求户点从/点运动到。点所需的时间；

⑵设户点运动时间为「（秒）

①当仁5时，求出点P的坐标；

②若△包"的面积为S,试求出s与f之间的函数关系式（并写出相应的自变

量子的取值范围）.

【答案】

【解析】解：⑴"点从/点运动到。点所需的时间=（3+5+3）+1=11（秒）

⑵①当t=5时，"点从/点运动到86■上，

此时04=10,AB+BP=S,:.BP=2

过点户作户£1/。于点E,贝！］PE=AB=3,AE=BP=2

力+/£=10+2=12

・・•点户的坐标为（12,3）.

②分三种情况：

i.当0<fW3时，点户在上运动，此时04=21,AP=t

.,.S=-x2txt=t2,

2

ii.当3<fW8时，点户在力8上运动，此时OA=2t

--，S=-x2fx3=3t,

2

iii.当8<11时，点户在。上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP=t

:.DP={AB+BC+CD)-{AB+BC+CP)=u-t

・•.S=；x2fx(ll-?=_g+llt

综上所述，s与f之间的函数关系式是：

当0<rW3时，5=t2；当3<rW8时，S=31；当8<11时，S=-t2+llt

4.平面直角坐标系中，四边形Q48U为矩形，点48的坐标分别为(3,0),

(3,4).动点M./V分别从Q8同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其

中，点例沿OA向终点/运动，点/V沿8U向终点U运动过点/V作NP1.BC,

交/U于P,连接MP.已知动点运动了x秒.请你探索：若"点坐标为(3-x,

)当x为何值时，&MPA是一个等腰三角形？有几种情况?写出研究成果并

证明.

【答案】

【解析】解：当石，或，吟,或V时,是—个等腰三角形.

如图，延长NP交x轴于Q,则有PQ±OA

第MP二PA.PQ工MA

:.MQ-QA-x

.••3—2x=x,:.x=l

②若例后例，贝(]MQ=3-2X,PQ=Y,PM=MA=3-X.

在RbPMQ中，:.PM?=MQ2+PQ2,

」.(3-x)2=(3-2xf+(gxf-1-x=|^

③若%=/〃，...％=：尤,AM=3-X

.5__._9

••—x=3—x•»x=一

38

综上所述，ml，或X=微，或x=3

438

5.如图，在直角梯形中,O3AB,以O为原点建立平面直角坐标系，4

8、。三点的坐标分别为A(8。)，8(8,10),C(0,4),点。为线段8U的中点，动点

户从点。出发，以每秒1个单位的速度，沿折线。/8。的路线移动，移动的时

间为f秒.

⑴求直线夕。的解析式；

⑵若动点户在线段04上移动，当r为何值时，四边形。户。0的面积是梯形COAB

面积的2.

7

B

【解析】解：⑴直线比的解析式为片%+4

⑵如图，过点。作。例，y轴，