集合的概念教学设计（人教A 版）

集合的概念教学设计

（人教A版）

教材分析

由于空间时间维度的不同，同一个事物会有不同的解释，如：在平面内，所有到定点的距离等

于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研

究对象、确定研究范围是研究数学问题的根底。为了简洁、准确地表达数学对象及研究范围，我们

需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节，本节主要通过实例研究研究集合的含义，表

示方法及表示方法，比拟简单。

教学目标与核心素养

课程目标

i.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与"不属于"关系；熟记常用数集专用符号.

2.深刻理解集合元素确实定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题.

3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。

数学学科素养

1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；

3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；

4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；

5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

教学重难点

重点：集合的根本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法.

难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合.

课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、预习课本，引入新课

阅读课本2-5页，思考并完成以下问题

1.集合和元素的含义是什么？各用什么字母表示?

2.集合有什么特性？

3.元素和集合之间有哪两种关系？有什么符号表示？

4.常见的数集有哪些？用什么字母表示？

5.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？

6.它们各自有什么特点？

7.它们使用什么符号表示？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表答复以下问题。

二、知识归纳、梳理

1.元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素.元素常用小写的拉丁字母小b,c,…表示.

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,...

表示.

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性.

2.元素与集合的关系

关系语言描述记法读法

属于a是集合A中的元素a£Aa属于集合A

不属于a不是集合A中的元素砥4a不属于集合4

3.常用的数集及其记法

常用的数正整整数有理

自然数集实数集

集数集集数集

记法NN*ZQR

4.列举法

把集合的元素一一列举出来出来,并用花括号"{}"括起来表示集合的方法叫做列举法.

5.描述法

(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(变化)范围,再画一条竖线,

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

三、典例分析、举一反三

题型一集合的含义

例1考查以下每组对象，能构成一个集合的是()

①某高一年级成绩优秀的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

©20xx年第23届冬季奥运会金牌获得者.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

【答案】B

解题技巧：(判断一组对象能否组成集合的标准)

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就

可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

跟踪训练一

1.给出以下说法：

①中国的所有直辖可以构成一个集合；

②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；

③正偶数的全体可以构成一个集合；

④大于2013且小于2018的所有整数不能构成集合.

其中正确的有.(填序号)

【答案】①③

题型二元素与集合的关系

例2(1)以下关系中，正确的有()

吗GR；②/任Q；③3|WN；④|f|GQ.

A.1个B.2个C.3个D.4个

(2)集合A中的元素x满足±GN,xSN,则集合A中的元素为.

【答案】(1)C⑵0,1,2

解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在集合中是否出现即可。

(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即

可，此时应首先明确集合中的元素具有什么特征。

跟踪训练二

2.集合A中有四个元素0,1,2,3,集合B中有三个元素0,1,2,且元素“GA,屣B,则“的值为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】："6A,aCB,...由元素与集合之间的关系知，。=3.

3.用适当的符号填空：

A={x\x=3k+2,kWZ},B={x\x=6m~\,m&Z},则有：17A；-5A.

【答案】任e

【解析】令女+2=17得，k=5CZ.所以17CA.

7

令北+2=—5得，％=一§£乙所以一5《4

题型三集合中元素的特性及应用

例3集合A含有两个元素a和〃，假设1C4,则实数a的值为.

【答案】-1

【解析】假设1GA,则”=1或『=1，即。=±|.

当“=1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，，由4；

当。=一1时，集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性.••“=一1.

变式1.［变条件］本例假设将条件"1CA”改为"2CA”,其他条件不变，求实数a的值.

【答案】a=2,或a=巾,或。=一啦

【解析】假设2GA,则〃=2或4=2,即a=2,或4=小，或〃=一6.

变式2.［变条件］本例假设去掉条件“1GA”,其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

【答案】"。且"1

【解析】假设A中有两个元素“和小，则由存/解得存。且存1

变式3.［变条件］集合A含有两个元素1和层，假设““GA”,求实数。的值.

【答案】a=0

【解析】由aGA可知，

当“=1时，此时“2=1,与集合元素的互异性矛盾，所以

当时，”=0或1（舍去）.综上可知，a=0.

解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤）

/求解据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值

/检验/阡根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检函

,I一，

/作答/T写出所有符合题意的字母的取值

题型四用列举法表示集合

例4用列举法表示以下集合.

（1）不大于10的非负偶数组成的集合；

（2）方程V=x的所有实数解组成的集合；

⑶直线y=2x+l与y轴的交点所组成的集合.

【答案】见解析

【解析】（1）因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非

负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.

⑵方程炉=》的解是x=0或x=l或X=-1,所以方程的解组成的集合为{0,1,-I).

⑶将x=0代入y=2x+l,得y=l,即交点是(0,1),

故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.

解题技巧(用列举法表示集合的三个步骤)

1.求出集合的元素；

2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；

3.用花括号括起来。

跟踪训练四

4.假设集合4={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】集合A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).

5.用列举法表示以下给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A

(2)方程9=0的实数根组成的集合B方.

(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D

【答案】见解析

【解析1(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.

(2)方程d—9=0的实数根为一3,3,所以8={-3,3}.

所以一次函数y=x+3与y=—2x+6的交点为(1,4),所以。={(1,4)}.

题型五用描述法表示集合

例5用描述法表示以下集合：

(1)被3除余1的正整数的集合；

(2)坐标平面内第一象限的点的集合；

(3)大于4的所有偶数.

【答案】见解析

【解析】(1)根据被除数=商、除数+余数，可知此集合表示为{x|x=3〃+l,〃CN}.

(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x,以r>0,y>0}.

(3)偶数可表示为2"，"GZ,又因为大于4,故e3,从而用描述法表示此集合为{x|x=2〃，“6Z且

n>3}.

解题技巧(描述法表示集合的2个步骤)

分清楚集合中的元素是点还是数或是其

写代表元素

他的元素

明确元素将集合中元素所具有的公共特征,写在竖

的特征线的后面

跟踪训练五

6.用符号"e"或性”填空：

(1)4={川/一》=0},则1________A，-1A；

(2)(1,2){(x,y)|y=x+l}.

【答案】(1)C£(2)£

【解析】⑴易知A={0,l}，故IWA,-ISA；

(2)将x=l,y=2代入y=x+l,等式成立.

7.用适当的方法表示以下集合：

⑴集合P^{x\x=2n,0<n<2且〃GN}；

⑵抛物线了=『一法与x轴的公共点的集合；

(3)直线y=x上去掉原点的点的集合.

【答案】见解析

【解析】(1)列举法：P-{0,2,41.

⑵描述法："jx,y

尸0，

或列举法：{(0,0),(2,0)}.

(3)描述法：{(x,y)|y=x,#0}.

题型六集合表示法的综合应用

例6⑴假设集合A={xWR|a『+2x+1=0,«GR}中只有一个元素，则

()

A.1B.2C.0D.0或1

5

[，则集合卜卜一吴一a=01中所有元素之积为

“I

-

2

9

D-

2)2

【解析】(1)当。=0时，原方程变为2x+l=0,此时》=一去符合题意;

当今0时，方程加+2%+1=0为一元二次方程，

/=4-4“=0,即。=1,原方程的解为x=-1,符合题意.

故当。=0或。=1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素.

(2)因为『一必一'|=0],所以解得：

9*

当〃=号时，方程f一号+?=0的判别式/=（一当）2-

4X2

9

所以集合卜|『一号x+?=01的所有元素的积为方程的两根之积等~

2

解题技巧：（集合表示法中元素与集合的关系）

1.假设集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键；

2.假设集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；

跟踪训练六

8.集合4={尤”—以+。=0},假设A={2,3},求a,6的值.

【答案】见解析

［2+3=a,

【解析】由4={2,3}知，方程x2—ax+b=O的两根为2,3,由根与系数的关系得，因此

（2x3=6,

a=5,b=6.

9.设集合奈SNj'.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合区

【答案】见解析

【解析】（1）当x=l时，S=2GN.

当x=2时,三3=%N.所以1GB,2c及

乙I乙乙

（2）V^^GN,xCN,；.2+x只能取2,3,6.

•••x只能取（）,1,4.二8={0,1,4}.

题型七集合含义的拓展

例7用描