2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 分式的混合运算教学设计

第2课时分式的混合运算教学目标课题15.2.2第2课时分式的混合运算授课人素养目标1.能进行简单的分式加、减、乘、除、乘方的混合运算，并能化简求值.2.经历分式混合运算法则的探究过程，进一步领会类比和转化的数学思想. 3.能利用分式运算解决简单的实际问题．培养应用意识，体会逻辑推理的思维价值. 教学重点熟练地进行分式的混合运算．教学难点分式混合运算及化简求值问题教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图温故知新，为本节课的探究内容做知识的铺垫.【复习导入】前面几节课我们学习了分式的乘、除、乘方、加、减等运算法则，下面我们来复习一下：1.分式的乘除法法则：.eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d)，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).2.分式的加减法法则：eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)，eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)＝eq\f(ad±bc,bd).3.分式的乘方法则：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn).大家思考一下分式的乘方、乘除、加减混合运算应遵循怎样的运算顺序呢？让我们进入今天这节课的学习！【教学建议】教师可分别请同学板书答案，其他同学在下面思考，待完成后集体订正.活动二：类比探究，获取新知设计意图从学生已有的知识出发，激发学生的求知欲．经历思考、交流，归纳出分式混合运算的运算顺序.探究点1简单的分式混合运算问题1下面我们先来回忆一下，分数的混合运算的运算顺序是什么？先乘方，再乘除，然后加减.问题2类比分数，猜一猜分式的混合运算顺序是什么？教师总结：式与数的混合运算有相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，然后加减．有括号时，先做括号内的运算，再做括号外的运算.例1(教材P141例7)计算：(eq\f(2a,b))2·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)÷eq\f(b,4).解：原式＝eq\f(4a2,b2)·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)·eq\f(4,b)(先算乘方，再算乘法)＝eq\f(4a2,b2（a－b）)－eq\f(4a,b2)(再算异分母分式减法)＝eq\f(4a2,b2（a－b）)－eq\f(4a（a－b）,b2（a－b）)(再算同分母分式减法)＝eq\f(4a2－4a2＋4ab,b2（a－b）)(分子合并同类项)＝eq\f(4ab,b2（a－b）)(化简)＝eq\f(4a,ab－b2).【教学建议】不少学生在分式运算中出错是因为不重视审题，题没看完就动笔，或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序，所以讲课过程中教师需时刻提醒学生注意先审题再动笔去演算.另外，分式混合运算时易出现的错误可结合例题讲解做出具体的提醒：(1)运算顺序易出错；(2)符号易出错；(3)分式乘方漏乘；教学步骤师生活动设计意图通过2个例题（例1为不带括号的，例2为带括号的）教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法,并规范其解题书写格式，增强学生的运算能力.例2(教材P141例8)计算：对应训练教材P142练习第1，2题.【对应训练】教材P142练习第1，2题.(4)忽视分数线的括号作用;(5)运算的最终结果不是最简分式或整式.设计意图分式的混合运算是高频考点，设置此例题是为了体现运算方法的灵活性和运算律的使用.例计算：问题1这样做完了吗？教师引导学生观察：可将a＋b看成一个整体，然后分解因式，从而继续解答．接上面的步骤：＝eq\f(（a＋b）－2a（a＋b）,2a)·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(（a＋b）（1－2a）,2a)·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(1－2a,2a).问题2你还有其他更简便的解法吗？另解：原式＝[eq\f(a＋b,2a)－(a＋b)]·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(a＋b,2a)·eq\f(1,a＋b)－(a＋b)·eq\f(1,a＋b)＝eq\f(1,2a)－1＝eq\f(1－2a,2a).归纳总结：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算，注意使用运算律．【教学建议】教师需再次强调，分式的混合运算中如果存在整式，可将整式看作分母是1的“分式”，然后依照运算顺序及法则进行运算．【教学建议】学生独立思考，教师引导学生可利用运算律简化运算，学生将自己的解题过程写在练习本上．教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：分式混合运算的运算顺序是什么样的？【知识结构】【作业布置】1.教材P146～147习题15.2第6，12，13题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时分式的混合运算分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号里面的．教学反思在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率.解题大招一与分式混合运算相关的化简求值1．直接化简求值有关分式的化简求值问题，一般是先把给定的分式运用分式的运算法则化为最简分式或整式，然后把已知数据代入，求分式的值．例1先化简，再求值：已知(1－eq\f(1,a))÷(eq\f(a2＋1,a)－2)，其中a＝2.解：(1－eq\f(1,a))÷(eq\f(a2＋1,a)－2)＝eq\f(a－1,a)÷eq\f(a2＋1－2a,a)＝eq\f(a－1,a)·eq\f(a,（a－1）2)＝eq\f(1,a－1).当a＝2时，原式＝eq\f(1,2－1)＝1.2．与非负性结合的分式化简求值一般这类题的字母的值没有直接给出，需要利用非负性的特征(几个非负数或式相加和为0，则每个数或式分别为0)求出字母的值，然后代入化简后的分式计算即可．初中阶段的三个非负性如下：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.绝对值的非负性，即|a|≥0；,2.偶次幂的非负性，即a2≥0；,3.算术平方根的双重非负性，即\r(a)≥0，a≥0.))例2先化简，再求值：(eq\f(a2－b2,a2－2ab＋b2)＋eq\f(a,b－a))÷eq\f(b2,a2－ab)，其中a，b满足|a＋1|＋(b－4)2＝0.解：(eq\f(a2－b2,a2－2ab＋b2)＋eq\f(a,b－a))÷eq\f(b2,a2－ab)＝[eq\f(（a＋b）（a－b）,（a－b）2)－eq\f(a,a－b)]·eq\f(a（a－b）,b2)＝(eq\f(a＋b,a－b)－eq\f(a,a－b))·eq\f(a（a－b）,b2)＝eq\f(b,a－b)·eq\f(a（a－b）,b2)＝eq\f(a,b).∵|a＋1|＋(b－4)2＝0，∴a＋1＝0，b－4＝0，解得a＝－1，b＝4.当a＝－1，b＝4时，原式＝－eq\f(1,4).3.化简后选择合适的值代入求值这类型一般在选择合适的数代入时需要注意所选取的值要使原分式有意义，并且要使分式的乘除法有意义．例3先化简eq\f(x－3,x2－1)÷eq\f(x－3,x2＋2x＋1)－(eq\f(1,x－1)＋1)，再从－1≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．解：eq\f(x－3,x2－1)÷eq\f(x－3,x2＋2x＋1)－(eq\f(1,x－1)＋1)＝eq\f(x－3,（x＋1）（x－1）)÷eq\f(x－3,（x＋1）2)－(eq\f(1,x－1)＋eq\f(x－1,x－1))＝eq\f(x－3,（x＋1）（x－1）)·eq\f(（x＋1）2,x－3)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x＋1,x－1)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(1,x－1).∵分式和除法要有意义，∴x≠±1且x≠3.∵－1≤x≤3且x为整数，∴取x＝0.当x＝0时，原式＝eq\f(1,0－1)＝－1.(答案不唯一)解题大招二分式混合运算过程的纠错题的解法遇到与分式混合运算有关的纠错题可以从以下常见的几个错误方向来考虑：①计算过程中漏掉了分母；②分式的运算中当分式前面是减号时，忽视分数线的括号作用；③分式的基本性质用错等．例4下面是某同学化简(eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)－eq\f(2x＋3,x＋3))÷eq\f(－3x,x＋3)的部分过程，请认真阅读并完成相应任务．解：原式＝[eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq\f(2x＋3,x＋3)]·eq\f(x＋3,－3x)①；＝(eq\f(x－3,x＋3)－eq\f(2x＋3,x＋3))·eq\f(x＋3,－3x)②；＝eq\f(x－3－2x＋3,x＋3)·eq\f(x＋3,－3x)③；…(1)该同学第③步开始出现错误；请你改正错误，然后完成后续的化简过程．(2)该分式的值能(填“能”或“不能”)等于0；如果能，则x＝－6.解：(1)由题目中的解答过程可知，第③步开始出现错误，正确的过程如下：原式＝[eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)－eq\f(2x＋3,x＋3)]·eq\f(x＋3,－3x)＝(eq\f(x－3,x＋3)－eq\f(2x＋3,x＋3))·eq\f(x＋3,－3x)＝eq\f(x－3－2x－3,x＋3)·eq\f(x＋3,－3x)＝eq\f(－x－6,x＋3)·eq\f(x＋3,－3x)＝eq\f(x＋6,3x).(2)解析：令eq\f(x＋6,3x)＝0，解得x＝－6，当x＝－6时，原分式有意义，∴该分式的值能等于0，此时x的值为－6.培优点逆运算型分式的混合运算例老师在黑板上写了一个分式混合运算的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一个式子，如下：（－eq\f(x2－1,x2－2x＋1)