2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 用“SSS”判定三角形全等教学设计

12.2三角形全等的判定第1课时用“SSS”判定三角形全等教学目标课题12.2第1课时用“SSS”判定三角形全等授课人素养目标1.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，经历探索“SSS”的过程，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.2.能用尺规作图：已知三边作三角形；作一个角等于已知角，培养学生分析与作图能力.教学重点“SSS”的探索与运用，两种尺规作图教学难点用“SSS”判定三角形全等的探究过程教学活动教学步骤师生活动活动一：提出疑问，引入新课设计意图引导学生明确探究方向是寻求使三角形全等的简捷条件，从而引入新课【问题引入】我们知道，如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等.反过来，根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边分别相等，三个角分别相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，就能判定△ABC≌△A′B′C′（如图）.一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的.能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？本节我们就来讨论这个问题.【教学建议】所谓“相关”，如全等三角形的两个对应角相等，则由三角形内角和定理可知第三个对应角也相等.通过这种相关关系产生疑问，试图从六个条件中选择部分条件进行证明，从而明确探究目标.活动二：合作交流，新知探究设计意图使学生经历一个或两个条件无法证明三角形全等的过程，经历探索三角形全等的条件——“SSS”的过程，明白尺规作图：已知三边作三角形的原理并学会作图方法，以及利用“SSS”进行简单的证明..探究点1用“SSS”判定三角形全等探究1先任意画一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？答：画法不唯一，如下所示：一边或一角分别相等：两边、一边一角或两角分别相等：【教学建议】通过探究1让学生从满足上述六个条件中的一个或两个入手，探究在这样的情形下能否保证两个三角形全等.其中“一边一角”只画出一种情况，另一种角是边的对角的情况可让学生自己动手画图探究.教学步骤师生活动通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.满足上述六个条件中的三个有哪些情况？它们能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？答：有三边分别相等、两边一角分别相等、两角一边分别相等、三角分别相等四种情况.下面我们分情况讨论△ABC与△A′B′C′是否全等.探究2先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？如图给出了画△A′B′C′的方法，你是这样画的吗？探究2的结果反映了什么规律？由探究2可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：注意：在列举两个三角形全等的条件时，一般是把同一个三角形的三个元素放在等号的同一侧，并用大括号括起来.我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．就是说，三角形三条边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了.例(教材P36例1)在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证△ABD≌△ACD.分析：要证△ABD≌△ACD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等.证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS).证明全等的书写步骤：准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.【对应训练】教材P37练习第1～2题.【教学建议】探究2设计了一个作图实验：已知三边作三角形，这是一种重要的作图，在几何中用途很多，这里采用了尺规作图法，利用作一条线段等于已知线段的基本作图．作出一边B′C′后，就有了三角形的两个顶点B′，C′，确定第三个顶点A′是关键．实际上该点是两个圆的交点，这里只画出了一个交点，两弧在直线B′C′的另一侧还有一个交点，因此可以画出两个三角形与△ABC完全重合．这里需让学生充分经历上述探究过程，再将“SSS”作为基本事实提出.【教学建议】设置例题让学生应用“SSS”证明全等，这是学生第一次遇到全等问题的证明，先用分析法分析思路，然后在证明过程中演示证明格式，要让学生注意体会、模仿．从例1可以看出，证明是由题设(已知)出发，经过一步步的推理，最后推出结论(求证)正确的过程．书写中注意对应顶点要写在同一个位置上，哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写.教学步骤师生活动设计意图引入尺规作图——作一个角等于已知角的方法并分析其原理，引导学生掌握.探究点2用尺规作一个角等于已知角由三边分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法.问题：想一想，为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？答：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，根据“边边边”可知△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′＝∠AOB.【对应训练】如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，所画痕迹弧MN是（D）A.以点B为圆心，OD的长为半径的弧B.以点C为圆心，CD的长为半径的弧C.以点E为圆心，OD的长为半径的弧D.以点E为圆心，CD的长为半径的弧【教学建议】作一个角等于已知角是课标要求的能用尺规完成的基本作图，学生应了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．注意引导学生从作图步骤中体会其中蕴含的数学知识，自行归纳出角相等是利用“SSS”得出的，从而加深对尺规作图及原理的理解．活动三：综合练习，巩固提升设计意图考查找寻边相等的条件应用“SSS”判定三角形全等，提升学生对知识的掌握程度及用“SSS”证三角形全等的熟练程度.例如图，AF＝DC，EF＝BC，AB＝DE，求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SSS).【对应训练】如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC，求证：△ABC≌△EDC.证明：∵C是BD的中点，∴BC＝DC.在△ABC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝ED，,AC＝EC，,BC＝DC，))∴△ABC≌△EDC(SSS).【教学建议】证明三角形全等时，往往三个条件不会直接给出，需通过推理得到，常遇到的由已知推出全等条件的情况有：利用中点的定义或线段的和(差)证明线段相等，利用垂直的定义、角平分线、三角形内角和定理或角的和(差)证明角相等(后面会利用到角相等的条件去证全等).活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.用一个条件能证明两个三角形全等吗？两个条件呢？2.什么是“SSS”？你能用“SSS”判定两个三角形全等吗？3.你能用尺规作图的方法已知三边作三角形吗？能作一个角等于已知角吗？【知识结构】教学步骤师生活动【作业布置】1.教材P43～44习题12.2第1，2，9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计12.2三角形全等的判定第1课时用“SSS”判定三角形全等 1.基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”). 2.尺规作图：已知三边作三角形；作一个角等于已知角. 3.实际应用：用“SSS”判定三角形全等．教学反思本节课是三角形全等判定的第一课，主要讲的是如何利用“边边边”的条件证明两个三角形全等．通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论——“边边边”．在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．学生掌握了全等三角形的判定方法，并且能灵活运用，就能为以后学习特殊四边形、圆等知识打下良好的基础.解题大招一用“SSS”判定三角形全等时找寻等边的方法①根据中点(或中线)的定义得相等线段；②公共边相等；③等长线段加(或减)等长线段，其和(或差)仍相等；④全等三角形的对应边相等．例1如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，求证：△ABC≌△AED.分析：逆向思维：△ABC≌△AED→eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE→已知,AC＝AD→已知,BC＝ED→可由BD＝CE推得))证明：∵BD＝CE，∴BD－CD＝CE－CD，即BC＝ED.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,AB＝AE，,BC＝ED，))∴△ABC≌△AED(SSS)．解题大招二用“SSS”判定三角形全等解决实际问题当题目中没有给出任何角的度数，要证明线段垂直或者某个角等于90°时，常常利用“平角＋一对等角”或者“两直线平行，同旁内角互补＋一对等角”等解决问题．而用“SSS”判定三角形全等，从而利用全等三角形的性质得到一对等角是当前阶段证明角相等的方式之一．例2如图是工人师傅自己设计的测量水平的仪器．仪器中的AB＝AC，D是BC的中点，当铅垂线经过点D时，工人师傅就断定BC与地面平行．工人师傅的判断有道理吗？请说明理由．解：工人师傅的判断有道理．理由如下：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠ADB＝∠ADC.∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴AD⊥BC.又AD与地面垂直，∴BC与地面平行．解题大招三全等三角形的判定方法“SSS”与性质的综合学习全等三角形时，经常会遇到判定和性质综合在一起考查，而利用性质去得到等线段、等角的先决条件就是先找到全等三角形．当前我们学习了“SSS”的判定方法，其中某些边相等的条件隐藏在题设或图形中，比如公共边相等，有时候还可能会需要作辅助线解题．例3如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠BAD＋∠ADC＝180°.证明：如图，连接AC.在△ADC和△CBA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝AB，,AD＝CB，,AC＝CA，))∴△ADC≌△CBA(SSS)，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.例4如图，AE＝CF，AD＝BC，E，F为BD上的两点，且BE＝DF，若∠AED＝60°，∠ADB＝30°，求∠BCF的度数．解：∵BE＝DF，∴BE＋EF＝DF＋EF，即BF＝DE.在△BCF和△DAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DA，,BF＝DE，,CF＝AE，))∴△BCF≌△DAE(SSS)，∴∠CBF＝∠ADB＝30°，∠CFB＝∠AED＝60°，∴∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFB＝180°－30°－60°＝90°.培优点一在网格中利用“SSS”找寻全等三角形的个数例1在如图所示的6×5的网格中，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边BC且全等的所有格点三角形的个数是3.解析：所求格点三角形如图所示，共有3个．培优点二“SSS”与三角形三边关系的综合运用例2如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．如图①是一个四边形的木架，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm.(1)扭动这个木架，四边形的形状就会改变，这说明了什么？(2)如图②，若量得第四根木条CD＝5cm，则此时∠B与∠D是否相等？请说明理由．(3)在扭动这个木架的过程中，当测得A，C之间的距离为6cm时，若CD的长度是整数，则CD的长应为多少