2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 分式的乘除教学设计

15.2分式的运算15．2.1分式的乘除第1课时分式的乘除教学目标课题15.2.1第1课时分式的乘除授课人素养目标1.经历探索分式的乘除运算法则的过程，渗透类比转化的思想.2.理解并掌握分式的乘除法法则，能运用法则对分式进行乘、除运算.3.能解决一些与分式乘除有关的实际问题．教学重点运用分式的乘除法法则进行运算．教学难点分子、分母为多项式的分式乘除运算.教学活动教学步骤师生活动活动一：提出问题，导入新课设计意图开始安排两个具有实际背景的问题，意在体现分式的乘除运算是由实际需要产生的，是研究某些问题时不可或缺的运算，从而引起学生的兴趣.【问题导入】问题1一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的eq\f(m,n)时，水面的高度为多少？问题2大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？教师提出问题，请大家小组讨论，待讨论完成请两位学生板书问题的答案：问题1长方体容器的高为eq\f(V,ab)，水面的高度为eq\f(V,ab)·eq\f(m,n).(分式乘法)问题2大拖拉机的工作效率是eq\f(a,m)hm2/天，小拖拉机的工作效率是eq\f(b,n)hm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的eq\f(a,m)÷eq\f(b,n)倍．(分式除法)如何计算eq\f(V,ab)·eq\f(m,n)和eq\f(a,m)÷eq\f(b,n)呢？让我们一起进入本课的学习！【教学建议】对这两个问题，教学中只要学生考虑列式，并由所列式子识别出它们是分式的什么运算即可．至于如何进行运算则是下面要学习的内容.活动二：类比探究，获取新知设计意图通过回顾分数的乘除法法则，引出分式的乘除法法则，温故而知新，不仅有利于接受新知识，还能让学生体会由数到式的过程.探究点分式的乘除法你还记得分数的乘除法法则吗？带着问题完成下面练习：eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(3×2,4×5)；eq\f(5,6)×eq\f(2,7)＝eq\f(5×2,6×7)；eq\f(3,4)÷eq\f(2,5)＝eq\f(3,4)×eq\f(5,2)＝eq\f(3×5,4×2)；eq\f(5,6)÷eq\f(2,7)＝eq\f(5,6)×eq\f(7,2)＝eq\f(5×7,6×2).根据上面的计算，回忆一下分数的乘除法法则：乘法法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．除法法则：一个数除以一个分数，等于乘上这个分数的倒数.类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？类似于分数，分式有：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.【教学建议】教师可让学生先自主思考后，再引导学生一起完成练习和分数乘除法法则的回忆总结.【教学建议】教学中应首先出现文字表述，在学生理解后，可以适时地提出如何用式子表达教学步骤师生活动设计意图例1和例2是根据由简到繁的顺序安排的，例1中的分式的分子与分母都是单项式，例2中的分子或分母是多项式，由易到难达到解释、示范和巩固分式乘除法法则的目的.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．那么，如何用式子表示呢？我们可以试着将分数乘除法练习中的数字换成字母，即可得出：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d)，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).类型一分子、分母为单项式的分式乘除例1(教材P136例1)计算：(1)eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)；(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd).解：(1)eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)＝eq\f(4xy,6x3y)＝eq\f(2,3x2)；(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd)＝eq\f(ab3,2c2)·eq\f(4cd,－5a2b2)＝－eq\f(4ab3cd,10a2b2c2)＝－eq\f(2bd,5ac).类型二分子或分母为多项式的分式乘除例2(教材P136例2)计算：(1)eq\f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq\f(a－1,a2－4)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m).解：(1)eq\f(a2－4a＋4,a2－2a＋1)·eq\f(a－1,a2－4)＝eq\f(（a－2）2,（a－1）2)·eq\f(a－1,（a－2）（a＋2）)＝eq\f(（a－2）2（a－1）,（a－1）2（a－2）（a＋2）)＝eq\f(a－2,（a－1）（a＋2）)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m)＝－eq\f(1,m2－49)·(m2－7m)＝－eq\f(m（m－7）,（m＋7）（m－7）)＝－eq\f(m,m＋7).【对应训练】教材P137～138练习第1～3题．法则的问题，引导学生运用数学符号语言表达法则．对于分式的除法可简记为“一变一倒”．【教学建议】教学中应强调以下两点：(1)先判断运算符号，如例1(2)．(2)再按乘除法法则运算，并对运算的结果进行约分，把运算结果化为最简形式．【教学建议】教学中提醒学生分式的分子或分母是多项式时，先分解因式便于进行约分，从而简化运算．教学中应利用这样的例题，说明运算应进行到何种程度，为学生做示范．另外还需告诉学生若运算中遇到整式，可将整式看成分母是1的“分式”．活动三：强化应用，巩固提升设计意图安排这样的例题是想把培养学生将实际问题转化为数学问题的能力贯穿于教学的整个过程中．例(教材P136例3)如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1)m2，单位面积产量是eq\f(500,a2－1)kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2m2，单位面积产量是eq\f(500,（a－1）2)kg/m2.∵a＞1，∴(a－1)2＞0，a2－1＞0.【教学建议】例题第(1)问要求比较两个分式的大小．由于它们的分子是相同的正数，而由问题的实际意义可知分母都是正数，所以只要比较分母的大小就可以了．具体比较大小时，需要利用前面学习过的乘法公式以及a>1这一条件，这对于学生来说有一定难度，因为他们以前很少这样分析问题，所以教材在正文中采用教学步骤师生活动由图②可得(a－1)2＜a2－1.[或∵a＞1，∴(a－1)2－(a2－1)＝(a2－2a＋1)－(a2－1)＝－2(a－1)＜0，即(a－1)2＜(a2－1)．]∴eq\f(500,a2－1)＜eq\f(500,（a－1）2)，所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高.(2)eq\f(500,（a－1）2)÷eq\f(500,a2－1)＝eq\f(500,（a－1）2)·eq\f(a2－1,500)＝eq\f(（a＋1）（a－1）,（a－1）2)＝eq\f(a＋1,a－1).所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的eq\f(a＋1,a－1)倍.【对应训练】甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a2－4)m，乙工程队每天修(a－2)2m(其中a>2)，甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？分析：根据题意，分别表示出甲工程队修900m所用时间和乙工程队修600m所用时间，再将两时间相除即可求解.解：甲工程队修900m所用时间为eq\f(900,a2－4)天，乙工程队修600m所用时间为eq\f(600,（a－2）2)天，由题意可得eq\f(900,a2－4)÷eq\f(600,（a－2）2)＝eq\f(900,（a＋2）（a－2）)·eq\f(（a－2）2,600)＝eq\f(3a－6,2a＋4)，∴甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的eq\f(3a－6,2a＋4)倍.借助图形直观的办法得出结论，旁白中给出严格的数学证明．教学中，教师应根据学生的基础和认知能力等具体情况，灵活处理.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.分式乘法的法则是什么？用式子如何表示？2.分式除法的法则是什么？用式子如何表示？3.分式乘除法的运算结果应化成什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P146～147习题15.2第1，2，10，11题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计15.2分式的运算15.2.1分式的乘除 第1课时分式的乘除分式的乘法法则：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(a·c,b·d).2.分式的除法法则：eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(a·d,b·c).教学反思本节课是从实际背景问题切入，让学生明白分式乘除是由实际需要产生的，研究不可或缺，引发学生兴趣，继而从分数的乘除法法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法法则，培养学生类比的探究能力，加深对“从特殊到一般”的数学思想的认识，同时让学生在自主探究、合作交流中感受探索的乐趣和成功的体验.解题大招一分式乘除法有意义的条件例1若eq\f(x＋2,x－1)÷eq\f(x,x－1)有意义，求x的取值范围．分析：解：由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,x≠0，))即x的取值范围是x≠1且x≠0.解题大招二含整式的分式乘除的解法含整式的分式乘除的解法跟分式与分式的乘除的解法相同，只是整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”．例2计算：(1)eq\f(－3a2,4b2)÷(－6a2b)；(2)eq\f(x2－4x,x)÷(x2－16)．解：(1)eq\f(－3a2,4b2)÷(－6a2b)＝－eq\f(3a2,4b2)·(－eq\f(1,6a2b))＝eq\f(3a2,24a2b3)＝eq\f(1,8b3)；(2)eq\f(x2－4x,x)÷(x2－16)＝eq\f(x（x－4）,x)·eq\f(1,（x＋4）（x－4）)＝eq\f(x（x－4）,x（x＋4）（x－4）)＝eq\f(1,x＋4).解题大招三与分式的乘除有关的取值合适型化简求值的方法按照解题大招二的分式乘除法的运算步骤化简后，取一个使原分式有意义的值，代入计算即可．对于除法的取值还需特别注意既不能使原分数的分母为0，也不能使除式为0．例3先化简分式eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)÷eq\f(a2－a,a＋1)，然后请你选取一个合适的a的值代入，求分式的值．解：原式＝eq\f(（a＋1）（a－1）,（a＋1）2)÷eq\f(a（a－1）,a＋1)＝eq\f(（a＋1）（a－