2024～2025学年度八年级数学上册11.3.2 多边形的内角和教学设计

11.3.2多边形的内角和教学目标课题11.3.2多边形的内角和授课人素养目标1.探索并掌握多边形内角和公式与外角和，尝试从不同角度寻求解决问题的办法，体会数学推理及从特殊到一般的数学思想.2.能运用多边形内角和公式与外角和解决有关问题.教学重点理解三角形的相关概念和三角形的三边关系探索并掌握多边形内角和公式与外角和．教学难点多边形内角和公式的推导过程，灵活运用多边形内角和公式与外角和解决有关问题.教学活动教学步骤师生活动活动一：引发猜想，过渡新课设计意图引发学生猜想，为新课中的探索目标做准备.【问题引入】思考我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？同学们，你一定能猜想到这个结论是正确的，为验证你的猜想，我们这节课将进一步探讨多边形相关知识——多边形的内角和与外角和.【教学建议】让学生由三角形内角和等于定值180°，猜想四边形内角和为定值360°，从而为进一步引入多边形内角和公式进行铺垫.活动二：层层设问，探究新知设计意图通过设问引导学生探索，经历多边形内角和公式的推导过程，体会数与形之间的联系，感受由特殊到一般的数学推理过程和思考方法，发展合情的推理能力．并应用公式解决相关问题，提升学生对于新知的掌握程度.探究点1多边形的内角和问题1请思考活动一中的问题——如何利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°.要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°，只要将四边形分成几个三角形即可.如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D).∵∠1＋∠B＋∠3＝180°，∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝180°＋180°＝360°.即四边形的内角和等于360°.问题2类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察下图，填空：从五边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，它们将五边形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3.从六边形的一个顶点出发，可以作3条对角线，它们将六边形分为4个三角形，六边形的内角和等于180°×4.【教学建议】问题1的设置是为了让学生联想到对角线的作用．四边形的一条对角线把它分成两个三角形，再运用三角形内角和定理即可得四边形内角和为360°.【教学建议】问题2的设置是通过对五边形、六边形内角和的探索，让学生进一步体会把多边形问题转化为三角形问题的方法，并在问题3中进行归纳总结，找寻规律进一步推理演绎，从而得到多边形内角和公式.教学步骤师生活动问题3通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？归纳总结，填表：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2).这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.注意：由于正多边形的每个内角都相等，所以正n边形的内角为eq\f(（n－2）×180°,n)问题4把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？有其他分法，这里介绍两种，可由此得到多边形内角和公式.例1(教材P22例1)如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？解：如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°.∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.【对应训练】教材P24练习第1～2题．【教学建议】问题4的设置是让学生感受得到结论的方法并不是唯一的，不同的将多边形分割成三角形的方法印证的结论是相同的，说明推理的正确性，有助于发散学生思维，拓展学生的创新意识.【教学建议】例1是多边形内角和公式的应用，在例1中探索另一组对角的关系时，要用到四边形的内角和等于360°，通过例1和后面的练习使学生熟悉和掌握多边形内角和公式．注意在学过公式后，和学生强调：(1)由公式知多边形的内角和一定是180°的整数倍；(2)根据探究过程可发现规律：多边形边数每增加1，内角和增加180°，做题时可由此快速判断.设计意图引导学生探索多边形的外角和，作图演示多边形外角和等于360°的成因，加深学探究点2多边形的外角和例2(教材P22例2)如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？分析：考虑以下问题：(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？教学步骤师生活动生的理解，并通过练习提升学生对新知的掌握程度.构，形成对三角形不同类别特征的理性思考和初步感知．(2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？联系这些问题，考虑外角和的求法．解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－(6－2)×180°＝2×180°＝360°.思考如果将例2中的六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样结果吗？与例2中六边形外角和的求法类似，n边形的外角和是n个平角减去n边形的内角和，即n×180°－(n－2)×180°＝360°.所以得到的结果相同.于是得到结论：多边形的外角和等于360°.注意：由于正多边形的每个外角都相等，所以正n边形的外角为eq\f(360°,n).你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°.如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.拓展：我们也可以用以下动态演示的方法直观感受为什么多边形的外角和等于360°.【对应训练】教材P24练习第3题.【教学建议】例2是求六边形的外角和．由于多边形的一个外角可以用相邻的内角表示(它们是互补关系)，这样外角的问题就转化为内角的问题．从六边形过渡到n边形，可类比之前的方法探究外角和，自然衔接到探究的核心目标，这是从特殊到一般的数学思想的体现．后面的教学能通过教具达到动态演示效果为宜，有三个目的：一是培养学生的几何直观感知，二是加深学生对多边形外角和性质的理解；三是从一个全新的角度，用运动的观点来学习几何知识．在学生学过多边形的外角和后，注意和学生强调：多边形的外角和与内角和不同，它恒等于360°，与多边形的边数无关.活动三：综合训练，巩固提升设计意图综合多边形的内角和与外角和进行强化训练，使学生在运用中熟练掌握新知.例一个正多边形的内角和是它的外角和的3倍，求该正多边形的边数及一个外角的度数.解：设该正多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.360°÷8＝45°，即该正多边形的边数为8，一个外角的度数为45°.对应训练一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数.【教学建议】学生独自完成，教师集中批改、订正．这里将多边形的内角和与外角和综合考查，解题的关键在于明确多边形的外角和是教学步骤师生活动解：设多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝3×360°＋180°，解得n＝9.内角和度数：180°×(9－2)＝1260°.答：这个多边形的边数为9，内角和度数为1260°.360°，从而根据内角和与外角和的关系列出方程，进而求解．需要注意出现正多边形时，要首先想到它每个内、外角都是各自相等的.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能推导出多边形内角和公式吗？你能熟练运用并解决相关问题吗？2.你能推导出多边形外角和性质吗？你能熟练运用并解决相关问题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P24～25习题11.3第2，3，4，5，6，7，8，9，10题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计11.3.2多边形的内角和1.多边形内角和公式：n边形内角和等于(n－2)×180°. 2.多边形外角和性质：多边形的外角和等于360°. 教学反思本节课内容的展开运用了类比、推广的方法，以及把复杂问题转化为简单问题、化未知为已知的思想方法等，教学中应结合具体内容让学生加以体会．可采用开放式的探究，把学生推到主动位置，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，充分调动学生学习的自主性.解题大招一与多边形的内角有关的问题多边形的内角和通常有以下几种应用类型：(1)已知多边形边数求内角和，或已知多边形内角和求边数；(2)求正多边形的每个内角度数，或已知正多边形的各个内角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用．例1已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（C）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形例2一个多边形的内角和不可能是（D）A．1800°B．540°C．720°D．810°分析：n边形的内角和是(n－2)×180°，即多边形的内角和一定是180°的正整数倍，810°不能被180°整除，一个多边形的内角和不可能是810°.例3如图，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，求∠FAI的度数．分析：利用多边形内角和及正多边形的性质分别求得∠BAF，∠BAI的度数，然后利用角的和差计算即可．解：在正五边形ABGHI中，∠BAI＝eq\f(（5－2）×180°,5)＝108°，在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝eq\f(（6－2）×180°,6)＝120°，则∠FAI＝∠BAF－∠BAI＝120°－108°＝12°.解题大招二与多边形的外角有关的问题多边形的外角和通常有以下几种应用类型：(1)直接求多边形外角和；(2)求正多边形的每个外角度数，或已知正多边形的各个外角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用．其中需要注意行走问题实际上属于上述类型(2)，它是多边形的外角和等于360°的现实意义．如果每次走的路程都相等，每次转的方向都相同，当回到出发点时，所走路径将会构成一个正多边形，而每次的转向角就是正多边形的外角，据此即可求解．例4已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形是BA．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形例5如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝AA．45°B．60°C．110°D．135°例6如图，小明从O点出发，前进30m后向右转20°，再前进30m后又向右转20°……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了BA．360mB．540mC．600mD．720m分析：解题大招三不规则图形中的多角度求和问题将不规则图形中的相关角转化为一个多边形的内角或外角，然后利用多边形的内角和或外角和求解．例7【整体思想】如图，∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F的度数为360°.分析：培优点一多边形的“缺角”或“多角”问题解决多边形的“缺角”或“多角”问题时，需把握以下几个隐含条件：(1)多边形的内角和一定是180°的整数倍；(2)多边形的每个内角的度数大于0°且小于180°；(3)多边形的边数至少为3，且为整数．例1小明计算一个多边形的内角和为1470°，小红认为小明的计算是错的，于是她查看了小明的计算过程，发现他多加了一个锐角．(1)为什么小红认为小明的计算是错的？请说明理由；(2)如果这个多边形是正多边形，请求出该正多边形一个内角比一个外角大多少度．分析：(1)多边形的内角和是不是180°的整数倍是→计算无误不是→计算有误(2)多加的锐角大于0°且小于90°→1470°－90°<多边形的内角和<1470°→求出边数n的取值范围→在解集中取特殊解，确定n值→计算正多边形每个内、外角度数→求差解：(1)设这个多边形的边数是n，则有(n－2)×180°＝1470°，解得n＝eq\f(183,18).因为n是整数，所以多边形的内角和不可能是1470°，所以小红认为小明的计算是错的．(2)由题意，得1470°－90°<(n－2)×180°<1470°，解得eq\f(174,18)<n<eq\f(183,18).又n是整数，所以n＝10.因为正十边形的每个内角为eq\f(（10－2）×180°,10)＝144°，外角为eq\f(360°,10)＝36°，所以该正多边形一个内角比一个外角大144°－36°＝108°.培优点二四边形内角与外角关系的综合探究例2【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB，FD分别是边AE，CF的延长线，我们把∠BEF，∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A＋∠C＝220°，则∠BEF＋∠DFE＝220°；【探究】如图②，在四边形AECF中，EB，FD分别是边AE，AF的延长线，我们把∠BEC，∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A，∠C与∠BEC，∠DFC之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图③，FM，EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE，∠BEF的平分线，若∠A＋∠C＝200°，则∠M的度数为80°.分