第4章-正弦交流电路的分析

第4章正弦交流电路的分析了解正弦量的相量表示方法。深刻理解电阻、电感和电容的相量形式的伏安关系及其意义；了解感抗频率特性与容抗频率特性的意义。深刻理解KCL、KVL的相量形式及其应用；了解串、并联谐振。深刻理解并会计算正弦稳态电路的平均功率；了解提高功率因数的意义；掌握提高功率因数的方法。本章学习要求

4.1相量法4.2阻抗和导纳4.3RLC串联电路4.4RLC并联电路4.5正弦交流电路的相量图求解法4.6复杂正弦交流电路4.7正弦电路中的功率4.8串联谐振电路4.9并联谐振电路

本章大纲4.1相量法

当正弦量的三要素确定以后，该正弦量就惟一被确定了。它可以通过瞬时值表达式（三角函数式）和波形图来描述，这2种表示正弦量的方法比较直观。正弦交流电路的分析计算要涉及到三角函数的加、减、乘、除运算，甚至还有微分、积分运算等，这些计算非常繁琐。为了简化运算，将相量引入正弦交流电路的分析计算中。相量法是正弦交流电路分析的一个重要方法。应用相量法需要运用复数运算。

正弦量的相量表示法的基础是复数。下面对复数及其运算进行简要的回顾。1．复数的定义由实数a1和虚数ja2代数和构成的数称为复数，如果用A表示，即

A=a1+ja2其中，为虚部单位，a1为复数A的实部，a2为复数A的虚部；a1，a2

R。2．复数平面以实数数轴和虚数数轴为坐标轴而构成的平面称为复数平面，简称复平面。其中“+1”表示实数数轴，“+j”表示虚数数轴。4.1.1复数

一个复数可用下面5种形式来表示。①代数形式：A=a1+ja2。②用复平面上的点表示，如图中的坐标点A所示。③用复平面上的向量表示，如图中的向量所示，其中

角是向量A的辐角，a是向量A的模。④三角函数形式：复数A的模等于a，

角是复数A的辐角。3．复数的表示形式4．复数的运算①加减运算复数相加或相减，就是把它们的实部和虚部分别相加或相减复数的加减运算也可在复平面上用平行四边形法则作图完成②乘法运算

两复数的相乘，等于它们的模相乘，辐角相加复数的乘法运算如图所示③除法运算两复数的相除，等于它们的模相除，辐角相减复数的除法运算如图所示复数的乘除运算用指数式或极标式进行比较方便。复数乘、除表示为模的放大或缩小，辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。

5．j的作用把任意复数A乘以j把任意复数A乘以j也就等于把复数A在复平面上逆时针旋转

/2。故把称为旋转因子

4.1.2正弦量的复数表示

只要作用在线性电路的各个电源都是同频率的正弦量，则电路中的电流和电压也一定是同频率的正弦量，这意味着在待求的正弦电流和正弦电压的三要素中，频率为已知量，不必再考虑，只需要求出振幅和初相位2个要素，待求的正弦量便可以完全确定。根据正弦电路的这一特点，可以用一个复数来反映正弦量的振幅和初相位，把这个复数称作此正弦量的相量。

Im[]表示取复数的虚部用大写字母上加一个点来表示，称为正弦交流电流的最大值相量通过数学方法，把一个实数范围的正弦时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应起来在工程上常将正弦量的相量的模用有效值表示，称为有效值相量，即注意：相量可以表示正弦量，但相量和正弦量是完全不同的量。相量一定是复数，但复数不一定是相量

既然相量是复数，那么相量在复平面上可以画出来。当把各个同频率正弦量的相量画在同一复平面上时，所得到的图形称为相量图。由于旋转角频率都相同，相量彼此之间的相位关系始终保持不变，因此在研究同频相量之间的关系时，一般只按初相位作出相量，而不必标出角频率。

需要指出的是：①只有同频率正弦量才能用相量表示，一起参与运算。②正弦交流电路中，只有瞬时值、相量满足、，最大值、有效值不满足KCL、KVL。

相量的几何意义相量不等于正弦量，但却具有明确的意义，下面以电压相量为例来说明。如图所示，在复平面上有向量OA，设定它的模等于正弦交流电压e1的幅值Em，它OA的辐角等于e1的初相位

。

相量的几何意义4.1.3基尔霍夫定律的相量表示KCL的相量形式为

表明在电路任一节点上的电流相量代数和等于零。

KVL的相量形式为

表明沿任一回路，各支路电压相量的代数和等于零。4.2阻抗和导纳在正弦交流电路中，为了用同一的参数表示正弦电路中的无源元件和无源二端网络中电压相量和电流相量的关系，一般用阻抗Z和导纳Y表示称为阻抗模

称为阻抗角

4.2.1阻抗如果一端口N只含单个元件R、L或C则对应的阻抗分别为如果一端口网络内部为RLC串联电路，则阻抗为阻抗三角形

Z的模值和辐角分别为：当X>0时称Z呈感性，当X<0时称Z呈容性。阻抗Z的代数形式，R、X和|Z|，之间的关系可用一个直角三角形表示，这个三角形称为阻抗三角形。4.2.2导纳阻抗Z的倒数定义为导纳，用Y表示

称为导纳模称为导纳角导纳的代数形式可写为称为电导

称为电纳

4.3RLC串联电路

阻抗的串联与并联在形式上与电阻的串联与并联电路相似以相量形式的电路元件约束基础上来讨论元件组合的综合特性及作用相量分析法，就是对一个需要分析计算的正弦交流电路，用它的相量模型来代替，即正弦交流电路中的所有电压、电流均用相量来表示，电路中的电阻、电抗均用对应的复阻抗形式表示，然后应用直流电路中介绍的各种电路分析方法对这个相量模型进行分析和计算。所不同的是，直流电路中的计算公式和电路定律都相应转换为对应的复数形式。

4.3.1RL串联电路相量KVL方程为选取电压相量为参考相量，则电阻上，电感上的电压和电流的相量关系以及RL串联电路的相量关系如图电压相量三角形

RL串联电路中各阻抗Z、R和XL之间的关系组成阻抗三角形

4.3.2RC串联电路相量KVL方程为选取电压相量为参考相量，电阻上，电容上的电压和电流的相量关系以及RC串联电路的相量关系如图电压相量三角形

RL串联电路中各阻抗Z、R和XL之间的关系组成阻抗三角形

4.3.3RLC串联电路选择电流为参考相量，其相量KVL方程为

UX

=

UL

−

UC称为电抗压降

当UX＞0，即UL＞UC时，电路呈现感性；当UX＜0，即UL＜UC时，电路呈现容性。电路的阻抗阻抗值为阻抗角为4.4RLC并联电路

交流电路的相量模型也可以用各个元件的导纳表示，特别是并联电路，用导纳分析更简便。

4.4.1RL串联电路相量KCL方程为选电压相量为参考相量，电阻上，电感上的电压和电流的相量关系以及RL串联电路的相量关系

RL串联电路中各电流之间组成电流相量三角形如图RL串联电路中各阻抗之间Y、G和BL组成导纳三角形如图

4.4.2RC并联电路选取电压相量为参考相量，电阻上，电容上的电压和电流的相量关系以及RC并联电路的相量关系如图

RC并联电路中各电流组成电流相量三角形如图

RC并联电路中各阻抗Y、G和BC组成导纳三角形如图

4.4.2RLC并联电路选择电压为参考相量其相量KCL方程为其中电流三角形4.5正弦交流电路的相量图求解法

在正弦交流电路中，对于某些不太复杂的电路，相量图是一个十分有用的工具。例如RLC串联电路、RLC并联电路等。这些电路中若采用相量图对其进行定性或定量的分析计算，通过电路中各电流相量图直观反映出相互之间的关系，可使电路的计算简洁。

用相量图求解正弦交流电路的方法

参考相量的选择用相量图法求解正弦交流电路时，首先应选定参考相量（参考相量的初相为），同一电路中只可选择一个参考相量，其余相量都以参考相量为基准。参考相量的选择是否合适非常重要，应根据电路的具体结构合理选择才能使相量图变得简洁，否则会使电路的求解困难。①对于串联电路，常选电流为参考相量。②对于并联电路，常选电压为参考相量。③对于混联电路，参考相量的选择比较灵活，可根据已知条件选定电路内部某串联部分电流或某并联部分电压为参考相量。④对于较复杂的混联电路，常选末端电压或电流为参考相量用相量图求解电路的方法根据电路结构及已知条件选择参考相量。以参考相量为基准，根据各元件或电路的电压与电流的相位关系画出其余的电压电流相量图。运用电路的两个基本定律（相量形式的欧姆定律和KCL、KVL定律）及三角函数求解电路。4.6阻抗与导纳的等效互换

对于同一个网络端口，不难看出它的阻抗和导纳互为倒量，有

ZY=1；Y=1/Z；Z=1/Y阻抗的导纳可以等效互换，条件为即代数形式表示

以RLC电路为例，它的阻抗可以直接写出

对于RLC并联电路，它的导纳可以直接写出

2个并联的阻抗可用一个等效阻抗代替

2个串联的阻抗可用一个等效阻抗代替

4.7正弦电路中的功率在交流电路中，相位差起着很重要的作用。由于二端网络的电流与电压之间有相位差，使交流电路的功率出现能量交换，因此，对一般交流电路功率的分析要比对直流电路功率的分析复杂得多，需要引入新的概念，如有功功率（平均功率）、无功功率、视在功率和功率因数等。

正弦交流电路4.7.1瞬时功率在正弦交流电路中，由于有电感或电容的存在，一般情况是电压和电流两正弦量的频率相同，但两者有一定的相位差。如图2-26（a）所示，设通过二端网络的电流及二端网络电压的表示式为瞬时功率平均功率又称为有功功率

4.7.2有功功率

4.7.3无功功率

电路中的电感元件和电容元件有能量储放，与电源之间要交换能量，所以电路中也存在无功功率。设通过二端网络的电流及二端网络电压的表示式为Q反映了电路中储能元件与电源进行能量交换规模的大小。当时，即感性电路时，Q＞0；当，即容性电路时，Q＜0。所以无功功率的正负与电路的性质有关。因为电感元件的电压超前于电流90°，电容元件的电压滞后于电流90°。无功功率4.7.4视在功率

二端网络两端电压有效值和电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，即 视在功率具有重要的实用意义，电源（如发电机和变压器等）在铭牌上都标出它的输出电压和输出电流的额定值UN和IN。这就是说，电源的视在功率是给定的，至于输出的有功功率，不取决于电源本身，而是取决于和电源相连的二端网络，因此视在功率可作为描写电源特征的物理量之一。电源的视在功率，也称为电源的额定容量（简称容量），用户须根据用电设备的视在功率来选用与它配套的电源。 4.7.5复功率

复功率定义为端口的电压相量端口电流相量的共轭复数复功率是一个辅助计算复功率的复数，引入复功率的目的是能够直接应用相量法计算出来的电压相量和电流相量，使各种功率可以方便的计算出来，但是应注意，复功率不代表正弦量，也不直接反映是与范围的能量关系。复功率的概念显然适用于单个电路元件或任何一段电路。功率因数是正弦交流电路中一个很重要的物理量，它反映了二端网络的性质，也涉及到电源的“利用率”。如果功率因数pf=1，表示二端网络和电源之间不存在能量互换，这时有功功率等于视在功率，电源最大限度地输出有功功率，电源得到充分利用。如果功率因数pf<1，电路和电源之间出现能量互换，这时有功功率小于视在功率，电源的利用率降低。4.7.6功率因数的提高设负载的电压、阻抗角、有功功率分别为U1、

1和P，它们也是并联电容器前线路的电压、阻抗角和有功功率。并联电容器后，线路的电压、阻抗角、有功功率分别为U、

和P（注意：由于电容不产生有功功率，所以并联电容器前后P不变）

这就是把功率因数由cos

1提高到cos

所需并联电容器容量的计算公式。

4.8串联谐振电路在凡含有电感和电容的电路中，因感抗和容抗都是频率的函数，所以当改变电感元件、电容元件的参数或电源的频率时，感抗和容抗就会发生变化，引起电压与电流之间的相位差的变化。当电路的电压、电流同相位，即电路呈电阻性时，称电路的这种状态为谐振。谐振在电子技术中也有着广泛的应用。

电路中发生谐振的条件

谐振频率为在RLC串联电路中发生的谐振，称串联谐振。

若感抗和容抗相等，即谐振频率完全是由电路本身的参数决定的，是电路本身的固有性质。每一个RLC串联电路都对应一个谐振频率。当电源的频率一定时，改变电路的参数L或C，可以使电路发生谐振；当电路参数一定时，改变电源频率，也可使电路发生谐振。

RLC串联电路及电压与电流相量图2.串联谐振的特点1）U,I

同相，电路呈阻性IUCULURRLCURULUCUIU0wLwRwCw1容性()0ww<感性()0ww>=()XXRCL-+22ZZ=min2）电路中阻抗最小，U一定时，电流最大RUIII===max0Z0I0wIwR=ZZ=mi