建筑制图-第二章

2.1投影法的基础知识2.1.1投影法的概念和分类1．投影的概念假设形体上方有一个光源S，在其下方有一个平面P，在光线的照射下，形体在下方平面上投落一个红色四边形的影，如（a）所示。这个影只能反映出形体的整体轮廓，而不能将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来。光源发出的光线，假设能透过形体，其上的各个顶点和棱线清楚地投到平面P上，组成一个能反映形体形状的图形，这个图形通常称为投影，如图（b）所示。光源S称为投影中心，投影所在的平面P称为投影面，连接投射中心与形体上各点的直线称为投射线。我们把投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。（a）

（b）中心投影法平行投影法分类投影线从一点出发，经过空间物体在投影面上得到投影的方法称为中心投影法（投影中心位于有限远处），如第3页图（b）所示。

所有投影线都相互平行地经过空间物体，在投影面上得到投影的方法称为平行投影法（投影中心位于无限远处）。2．投影法的分类根据投影线与投影面的角度不同，平行投影又分为斜投影和正投影，如下图所示。根据投射线是否平行，投影法可分为中心投影法和平行投影法两种。（a）斜投影

（b）正投影斜投影：投射线与投影面相互倾斜的平行投影，如图（a）所示。作出物体斜投影的方法称为斜投影法。用斜投影法作出的投影图不能反映形体的真实形状和大小，常用于轴测投影图（见第4章）。正投影：投射线与投影面相互垂直的平行投影，如图（b）所示。作出物体正投影的方法称为正投影法。用正投影法绘制的投影图称为正投影图。正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛应用于绘制建筑工程图。2.1.2正投影的基本特性1．实形性当物体的某一平面图形或直线段与投影面平行时，其投影反映该平面图形或直线段的实形或实长，这种投影特性称为实形性，如下图所示。2．积聚性当物体的某一平面图形或直线段与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线或一个点，这种投影特性称为积聚性，如下图所示。3．类似性当物体的某一平面图形或直线段与投影面倾斜时，其投影与该平面图形或直线段类似，这种投影特性称为类似性，如下图所示。2.2物体的三面投影体系在投影面、投影中心和投影方向确定之后，形体上每一点必有其唯一的一个投影，也就是点与投影之间建立起了一一对应的关系。但是两个完全不同形状的形体，在同一投影面上的投影有可能相同，如右图所示。这说明仅仅根据一个投影是不能完整地表达形体的形状和大小的。要确切反映形体的完整形状和大小，必须增加不同的投射方向、不同的投影面，得到多个投影，互相补充，才能准确将形体表达清楚。不同形状形体的投影相同2.2.1三面投影体系的建立如图（a）所示，用三个相互垂直的投影面构成的空间体系称为三面投影体系。在三面投影体系中，把处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面或H面；把处于正立位置的投影面称为正立投影面，简称正立面或V面；把处于侧立位置的投影面称为侧立投影面，简称侧立面或W面。这三个投影面两两相交，交线称为投影轴。其中，H面与V面的交线称为OX轴；H面与W面的交线称为OY轴；V面与W面的交线称为OZ轴。OX轴、OY轴、OZ轴是三条相互垂直的投影轴。三轴线的交点O，称为原点。将物体置于三面投影体系中，按正投影原理向各投影面投影，即可得到物体的水平投影（或H面投影）、正面投影（或V面投影）、侧面投影（或W面投影），如图（b）所示。（a）三面投影体系（b）三面投影2.2.2三面投影图的展开将人的视线看作平行投射线，正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来的图形，称为视图。如图（a）所示，从物体的前面向后面投射所得的视图称为主视图；从物体的上面向下面投射所得的视图称为俯视图；从物体的左面向右面投射所得的视图称为左视图。在工程图纸上，形体的三个投影是画在同一平面上的。绘图时必须将相互垂直的三个投影面展开在同一平面上。其展开方法为：正立投影面V保持不动，将水平投影面H绕OX轴向下旋转90°，将侧立面投影面W绕OZ轴向右旋转90°，即可得到在同一平面上的三面投影图，如图（b）所示。这时OY轴分为两条，一条为OYH轴，一条为OYW轴。

展开后，俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方。为了作图简便，投影图中不必画出投影面的边框，如图（c）所示。展开后的三面投影图称为三视图。由于绘制三视图时主要依据投影规律，所以投影轴也可以进一步省略。（a）三面投影体系

（b）三面投影展开方式

（c）三视图2.2.3三视图投影规律从形体的三视图的形成和展开的过程可以看出，形体的三面投影之间有一定的关系。设轴向X，Y，Z分别表示形体的长、宽、高方向，在绘制图形时规定：将物体左右方向定为长，前后定为宽，上下定为高。水平投影图反映出形体的长和宽，即左右、前后关系；正面投影图反映出形体的长和高，即左右、上下关系；侧面投影图反映出形体的宽和高，即前后、上下关系，如图（a）所示。从上述分析可以看出：水平投影和正面投影都能反映出形体的长度，且左右是对齐的，简称“长对正”；正面投影和侧面投影都能反映出形体的高度，且上下是对齐的，简称“高平齐”；水平投影和侧面投影都能反映出形体的宽度，简称“宽相等”。因此，三视图的三个投影之间的关系可以归结为“长对正、高平齐、宽相等”，简称“三等关系”，如图（b）所示。（a）（b）2.2.4三面投影图的画法绘制三面投影图时，一般先绘制正面投影图或水平投影图，然后再绘制侧面投影图。熟练地掌握形体的三面投影图的画法是绘制和识读工程图的重要基础。下面以某两坡屋面房屋为例来介绍三面投影图的具体方法和步骤。（a）两坡屋面房屋立体图

（b）绘制投影轴

（c）画正面投影图或水平投影图①在图纸上先画出水平和垂直的十字相交线，作为投影轴，如图（b）所示。②根据形体在三面投影体系中的放置位置，画出能够反映形体特征的正面投影图或水平投影图，如图（c）所示。绘制某两坡屋面房屋三面投影图的具体方法和步骤：③根据投影关系，由“长对正”的投影规律，画出正面投影图或水平投影图；由“高平齐”的投影规律，把正面投影图中各相应部位向侧面投影图作“等高的投影连线”；由“宽相等”的投影规律，用过原点O向右下方作45°斜线或以原点O为圆心画圆弧的方法，将水平投影图的宽度过渡到侧面投影图上，求出与“等高投影连线”的交点，连接各交点从而得到侧面投影图，如图（d），（e）所示。（d）45°法

（e）圆弧法2.3空间几何元素的投影2.3.1点的投影1．点的三面投影规律点的空间位置至少需要它的两个投影来确定。画投影图时，通常规定空间点用大写字母A，B，C…表示；对应该点的水平投影用相应的小写字母a，b，c…表示；对应该点的正面投影用小写字母加上上标“′”表示，如a′，b′，c′…；对应该点的侧面投影用小写字母加上上标“″”表示，如a″，b″，c″…。如图（a）所示，过空间点A分别作三个投影面的投影线，则其对应的垂足a，a′，a″即为点A的三面投影。点A在水平投影面上的投影a，称为点A的水平投影；点A在正面投影面上的投影a′，称为点A的正面投影；点A在侧面投影面上的投影a″，称为点A的侧面投影。aX，aY（aYH，aYW），aZ分别为点A的三面投影与投影轴OX，OY，OZ的交点。

从图（a）中可以看出：Aa″＝a′aZ＝aaY＝X，X坐标即为空间点A到W面的距离；Aa＝a′aX＝a″aY＝Z，Z坐标即为空间点A到H面的距离；Aa′＝aaX＝a″aZ＝Y，Y坐标即为空间点A到V面的距离。（a）按照正立投影面（V）不动，水平投影面（H）绕OX轴向下旋转90°，侧立投影面（W）绕OZ轴向右旋转90°，展开三面投影体系，得到如图（b）所示的点A的三面投影图。观察图（b），得到点的三面投影规律。1）a′aZ＝aaYH＝X，a′a⊥OX——“长对正”即点A的正面投影a′到OZ轴的距离等于其水平投影a到OY轴的距离，同时点A的正面投影a′与水平投影a连线垂直于OX轴。2）a′aX＝a″aYW＝Z，a′a″⊥OZ——“高平齐”即点A的正面投影a′到OX轴的距离等于其侧面投影a″到OY轴的距离，同时点A的正面投影a′与侧面投影a″连线垂直于OZ轴。3）aaX＝a″aZ＝Y，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW——“宽相等”即点A的水平投影a到OX轴的距离等于其侧面投影a″到OZ轴的距离，同时点A的水平投影a与aYH连线垂直于OYH轴；侧面投影a″与aYW连线垂直于OYW轴。在点的三面投影图中，要求用细实线按照点的投影规律，将点的各面投影连接起来，即得投影连线aa′，a′a″，而a与a″不能直接相连，需要借助45°辅助线来实现“宽相等”。（b）2．两点的相对位置

空间两点的相对位置指两点间上下、左右、前后的位置关系，可在它们的三面投影中反映出来。H面投影反映两点的左右、前后关系，V面投影反映两点的上下、左右关系，W面投影反映两点的上下、前后关系。

2按y坐标判别两点的前后关系，y坐标大者在前边，y坐标小者在后边。1按x坐标判别两点的左右关系，x坐标大者在左边，x坐标小者在右边。3按z坐标判别两点的上下关系，z坐标大者在上边，z坐标小者在下边。空间两点的相对位置也可根据坐标值的大小来判定，具体表现为：（a）两点的坐标差

（b）两点的位置关系如图（a）所示，A，B两点的x，y，z坐标差分别为△X＝10mm，△Y＝6mm，△Z＝7mm，则两点在空间的位置关系为：点B在点A右方10mm、后方6mm、上方7mm处，如图（b）所示。3．重影点及其可见性当空间两点位于同一投影线上时，它们在该投影面上的投影重合为一点，这两点称为该投影面的重影点。图（a）中的A，B两点处在W面的同一投影线上，它们的侧面投影点a和b重影为一点，则空间点A，B称为侧立投影面的重影点。同理，空间点A，C称为正立投影面的重影点，空间点A，D称为水平投影面的重影点。为了区分重影点的可见性，应将不可见点的投影写在可见点投影的后面并加注括号，如图（b）所示。（a）重影点的位置关系

（b）重影点的可见性2.3.2直线的投影直线的空间位置可由直线上任意两点的位置确定，即两点确定一直线。作直线的投影，应先作出直线上两点的投影，然后将两点位于同一投影面上的投影相连接即可。一般情况下，直线的投影仍为直线，如下图中直线CD的投影。在特殊情况下，直线的投影可积聚为一点，如下图中直线AB，因为直线AB垂直于投影面H，所以它在该投影面上的投影积聚为一点。1．各种位置直线根据直线与投影面的相对位置不同，位置直线可分为一般位置直线、投影面垂直线和投影面平行线三种。1）一般位置直线相对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，又称投影面倾斜线。一般位置直线对三个投影面都有倾斜角，对H面的倾角用α表示，对V面的倾角用β表示，对W面的倾角用γ表示，如下图所示。

（a）

（b）一般位置直线具有以下投影特性：Ⅰ、直线的三面投影均小于直线实长。Ⅱ、三面投影均倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角不等于直线对投影面的倾角。2）投影面垂直线垂直于一个投影面，同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。根据与其垂直的投影面不同，投影面垂直线可分为正垂线（垂直于V面）、铅垂线（垂直于H面）、侧垂线（垂直于W面）。投影面垂直线具有以下特性：2投影面垂直线与其他两投影面平行，且分别与相应投影轴垂直。1投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。3投影面垂直线在其他两投影面上的投影反映实长。正垂线2ab⊥OX，a″b″⊥OZ。1正面投影a′与b′重影。3ab=a″b″=AB。空间位置投影图投影特性铅垂线2a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW。1水平投影a与b重影。3a′b′=a″b″=AB。空间位投影图投影特性侧垂线2ab⊥OYH，a′b′⊥OZ。1侧面投影a″与b″重影。3ab=a′b′=AB。空间位投影图投影特性3）投影面平行线平行于一个投影面，同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。根据与其平行的投影面不同，投影面平行线可分为正平线（平行于V面）、水平线（平行于H面）、侧平线（平行于W面）。投影面平行线具有以下特性：2投影面平行线与其他两投影面相倾斜，且投影分别与相应投影轴平行。1投影面平行线在其所平行的投影面上的投影是倾斜的，反映实长。3实形投影与投影轴的夹角反映该投影面平行线对相应投影面的倾角的实形。正平线2ab∥OX，a″b″∥OZ。1a′b′=AB。3a′b′与对应轴的夹角反映倾角α和γ实角。空间位置投影图投影特性水平线2a′b′∥OX，a″b″∥OYW。1ab=AB。3ab与对应轴的夹角反映倾角β和γ实角。空间位置投影图投影特性侧平线2ab∥OX，a″b″∥OZ。1a′b′=AB。3a′b′与对应轴的夹角反映倾角α和γ实角。空间位置投影图投影特性2．直线上点的投影特性1）从属性直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从属性。如下图所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c，c′，c″分别在直线的同面投影ab，a′b′，a″b″上，并且其三面投影符合点的投影规律。

（a）

（b）2）定比性若直线上的点分线段成比例，则此点的各投影相应地分该线段的同面投影成相同的比例，该特性称为点的定比性。如下图所示，点C分线段AB为3﹕2，则水平投影c和正面投影c′同样分别分直线AB的同面投影ab和a′b′为3﹕2。3．两直线的相对位置1）两直线平行若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必平行。反之，若两直线的同面投影都互相平行，则两直线在空间也必然是平行的，如下图所示。

（a）

（b）2）两直线相交若空间两直线相交，则它们的同面投影仍然相交，且各同面投影的交点应符合空间的投影规律。反之，若两直线的同面投影都相交，而交点符合空间点的投影规律，则这两条线在空间也必定是相交的。如下图所示，AB，CD为空间两相交直线，其交点E为两直线的共有点，两直线的水平投影ab与cd的交点e是E点的水平投影；两直线的正面投影a′b′与c′d′的交点e′是E点的正面投影。因为e与e′是同一点E的两面投影，故e与e′的连线必与其投影轴垂直。

（a）

（b）3）两直线交叉当空间两直线既不平行也不相交时，称为交叉直线。两直线在空间如果不平行，也不相交，那么它们的位置关系一定是交叉。交叉两直线的同面投影可能有时为相互平行，但其在三个投影面上的同面投影不会全部相互平行；交叉两直线的同面投影也可以是相交的，如下图所示。2.3.3平面的投影1．平面的表示方法平面的表示方法主要包括几何元素表示法和平面迹线表示法。1）几何元素表示法利用几何元素来表示平面的方法，称为几何元素表示法。在投影图中，可通过以下几何元素来确定平面：2一直线和直线外一点，如图（b）所示。1不在同一条直线上的三点，如图（a）所示。3两直线相交，如图（c）所示。5任意平面图形（如三角形，圆等），如图（e）所示。4两直线平行，如图（d）所示。（a）

（b）

（c）

（d）

（e）2）平面迹线表示法平面与投影面的交线称为平面的迹线。用迹线表示平面的方法称为平面迹线表示法。如下图所示，平面P与投影面H，V，W的迹线分别用PH，PV，PW表示。在投影图上，通常只标记迹线本身，而不标出与投影轴重合的另两面投影。

（a）

（b）2．各种位置平面根据平面与投影面的相对位置不同，位置平面可分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三种。1）一般位置平面与三个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面，又称投影面倾斜面。一般位置平面在三个投影面上的投影都不反映实形，如下图所示。

（a）

（b）2）投影面垂直面垂直于一个投影面，同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。根据与其垂直的平面不同，投影面垂直面可分为正垂面（垂直于V面）、铅垂面（垂直于H面）、侧垂面（垂直于W面）。投影面垂直面具有以下特性：2投影面平行线与其他两投影面相倾斜，且投影分别与相应投影轴平行。1投影面平行线在其所平行的投影面上的投影是倾斜的，反映实长。3实形投影与投影轴的夹角反映该投影面平行线对相应投影面的倾角的实形。正垂面2H面、W面投影为实际形状的类似形。1正面投影积聚为一条直线。3正面投影与OX轴、OZ轴夹角分别反映实际倾角α，γ。空间位置投影图投影特性铅垂面2V面、W面投影为实际形状的类似形。1水平投影积聚为一条