化工问题的建模与数学分析方法练习题带答案测试题题库各章节练习题

各章习题选解（仅供参考）第一章习题1.（√）在一个有效容积为V的半连续式搅拌反应器中，由原料Ａ生产物质Ｂ，若浓度为c0流量为Q的Ａ溶液加入空反应器，反应遵循以下连串-可逆步骤且所有的反应均为一级，证明在反应器中Ｂ的克分子数NB是以下微分方程的解式中证明：对A、B分别作质量衡算，有A：B：由（2）得到：（3）代入（2），得：令 得 证毕。2.冬天的池塘水面上结了一层厚度为l的冰层，冰层上方与温度为Tw的空气接触，下方与温度为0℃的池水接触。当Tw＜0℃时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。已知水结冰的相变潜热为Lf，冰的密度为ρ，导热系数为k，导温系数为α，求：1)当气温Tw不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若Lf＝3.35×105J/kg，ρ＝913kg/m3，k＝2.22W/m°K，Tw＝－10℃，问冰冻三尺，需几日之寒？2）当气温随时间变化时，设Tw＝Tw(t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。解：冰层的温度为0℃，水通过冰层向空气散发热量，记为Q，该热量用于水结成冰。假设冰层面积为s，厚度为l根据导热方程，可得：代入数值，Lf＝3.35×105J/kg，ρ＝913kg/m3，k＝2.22W/m°K，Tw＝－10℃，l＝1m，求解积分上式得：t＝79.7天≈80天若冰冻三尺，在Tw＝－10℃时，需要约80天。(2)若Tw＝Tw(t)，冰层厚度为l根据热量守恒：两边积分：厚度变化与Tw的关系为：3.（√）在一个半分批式搅拌反应器中进行着一级放热化学反应，反应速率常数由Arrhenius关系式给出，反应热由釜内的冷却盘管移出，请自行设定有关的参数，导出该反应器的数学模型。解：设物料以恒定的体积流量F加入，则反应器中反应物浓度CA与温度T由以下物料衡算与热量衡算方程给出eq\o\ac(○,1)物料衡算方程eq\o\ac(○,2)能量衡算方程eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)合并，得数学模型为式中K(T－Tc)A为冷却移热，kCAV(-ΔHr)为反应热。4．（√）采用微元分析法推导出柱坐标系中的不定常热传导方程。解：考虑柱坐标系中热传导方程的形式。柱坐标系下的三个空间变量：向径r，经度角，高度z。在这三个方向上，与自变量的微分变化所对应的线段微元长度分别是由偏导数的定义，温度梯度T在三个方向的分量即温度在每个方向上的微元增量除以相应的线元长度，即于是Fourier热传导定律在柱坐标系中的分量形式为接着考虑各方向输入和输出的微元通量，首先考虑r方向于是r方向的净输入通量为：（9）对方向作同样的分析，z方向的分析，微元体内的积累项：（16）将三个方向输入微元的热流净增量加和并令其等于积累项，就得到（17）5.风吹过皮肤表面时，人会有干燥凉爽的感觉，这是因为风的吹拂强化皮肤表面的对流传热与传质，形成一个速度，温度，浓度（含水量）的边界层，设流动为层流（微风），考虑出汗的蒸发潜热，求：1）列出皮肤表面的三传问题的边界层方程，根据实际情况适当简化并给出问题的边界条件；2）将上述问题无量纲化，并解释所得到的各无量纲参数的物理意义；3）试分析速度分布，温度分布，含水量分布分别与哪些无量纲参数有关，并用简单的函数关系示意；4）根据所得结果定性的解释一些经验常识：为什么风越大越感觉到冷？为什么出汗后擦了汗感觉更凉快？当空气中湿度变化时，对表面散热会带来哪些影响？在冬天和夏天，人体对空气湿度的增加会有什么样的感觉？解：1）同时考虑流动传热传质时的边界层传递方程是表示重力在x方向的分量，为热膨胀系数，为密度变化系数水汽化潜热水蒸发速度由于可忽略，，可忽略，化简后边界条件y＝0，u＝0（皮肤表面气流速度）T＝T0（皮肤表面温度）c＝c0（皮肤表面的含水量）y＝δ1u＝u∞（速度边界层外气流速度）y＝δ2T＝T∞（温度边界层外气流温度）y＝δ3c＝c∞（浓度边界层外气流中含水量浓度）δ1，δ2，δ3分别为速度边界层，温度边界层，浓度边界层的厚度。2）无量纲化无量纲物理性质的比值无量纲化后边界条件在对于较大的Pr或Sc，热传导与扩散效应与黏性比较相对较弱，热边界层和扩散边界层位于速度边界层内部，反之，对于较小的Pr或Sc，热传导与扩散速率大于黏性传递速率，热和扩散边界层就有可能扩展到速度边界层之外。3）速度分布，温度分布，含水量分布的简单函数关系式4）风越大，皮肤表面的气体更新速度越快，水的蒸发速度变快，传热越快，感觉到冷出汗后感觉更凉快，是因为减小了汗水层的厚度，蒸发速度加快当空气中湿度变大时，皮肤表面水的蒸发速度变慢，不利于传热夏天空气湿度增加，汗水蒸发困难，人感觉闷热冬天空气湿度增加，少量的汗水在皮肤表面使人感觉温暖。6．（√）在管式反应器模型（1.4.15）中，当Pe0时，相当于完全返混的情况。试从方程（4.15）出发，通过适当的体积积分和取极限Pe0，导出均相釜式反应器模型。解：当Pe0时，由原方程（4.15）及边界条件可知，c=const，说明在完全返混的情况下，反应器内具有均匀的浓度。对于任意的Peclet数，对方程4.15进行体积积分得到（31）式中为反应器内的平均浓度。将边界条件（4.15）代入（31），得到（32）上式对任意Peclet数均成立，仅当Pe0时，反应器内浓度均匀，，上式成为无量纲的理想混合釜式反应器数学模型。7.（√）烯烃在Zieglar－Natta催化剂颗粒上的气相聚合过程可用最简单的固体核模型来描述，如附图所示。气相中的烯烃单体在催化剂颗粒（图中阴影部分）表面聚合后生成一多孔的固体聚合物壳层并将催化剂包裹在内部，外部的气相烯烃单体只有扩散穿过此固体聚合物壳层后才能到达催化剂表面参与反应。试求：（i）证明单体在壳层中的扩散及聚合物粒子的生长由以下方程描述式中Ｍ为单体浓度(mol/m3)，ρs为聚合物壳层的密度(kg/m3),Ｄ为单体在壳层中的扩散系数(m2/s),MＷ为单体的分子量，R为聚合物颗粒的半径。（ii）设催化剂核半径为rc，单体在外部气相本体中的浓度为ＭＢ，以上述参量为r和M的特征尺度，并引入适当的时间尺度，将上述方程无量纲化。然后根据气相单体与固体聚合物密度之间的巨大差别(ρs/ρg~103)将问题进一步简化。（iii）设单体在催化剂核表面的浓度恒为0（瞬时反应），R的初始值为R0(R0>rc)，求解上述简化后的模型并给出聚合物粒子半径R随时间的变化关系。提示：对单体的浓度分布可采用拟稳态假定。解：为简化计算，令单体分子量Mw的单位是kg问题建模如图1所示，对微元dr作物料衡算得 如图2.对微元dR作物料衡算得 图1图2无量纲化与简化分析：本问题存在着两个特征时间尺度，一个是单体组分内扩散通过聚合物壳层的时间尺度，该尺度可以从内扩散方程（19）中得出，为此，近似取代替，M/r代替，M/r2代替，就可估算出；另一个是聚合物颗粒生长的特征时间尺度2，可以从方程（20）中用类似的比值代替微分的办法估算出。在对问题进行无量纲化时，不同时间尺度的选择代表着所关注的不同过程。eq\o\ac(○,1)如果选取为时间尺度，式（20）和（21）可分别无量纲化为（仍然用当前变量表示无量纲变量）：此时式（23）中出现一个小参数。时间尺度1称为快时间尺度，选择这一尺度所得到的方程（22）中不含有小参数，表示我们关注的是单体M通过聚合物壳层的不定常扩散而不是粒子的生长。略去（23）中的小参数项后得到，说明在考虑单体内扩散时，由于时间较短，可以将粒子半径作为常数考虑。 因此，选择1为时间尺度显然不妥，得到的不是我们希望关注的问题。eq\o\ac(○,2)如果选取为时间尺度，（20）、（21）式可无量纲化为：此时粒子生长方程（26）不含小参数，粒径将随时间变化，表示我们关注的是颗粒的生长。而单体内扩散方程（25）中的时间导数项含小参数，可以略去，说明在慢时间尺度2上考虑粒子生长时，单体的内扩散过程可以忽略时间变化项，内扩散可以作为拟稳态过程来考虑。 从eq\o\ac(○,1)和eq\o\ac(○,2)中得到的不同简化模型说明时间尺度的选择需要根据建模目的来考虑，使简化后的模型能够代表所关注的过程的主要特征。（3）对单体的浓度分布作拟稳态（时间导数项为零）假设，即（25）中的，得解得代入（26），得解得8.在缺乏数学模型的某些情况下，仅仅根据量纲分析或尺度比较也可以获得一些很有价值的结果，考虑以下例子：1）对于固体颗粒在黏性流体中的Stock流动问题，颗粒受到的阻力f仅仅与颗粒尺度d，动力学粘度μ和速度υ有关，即f＝f（d，μ，υ）根据量纲齐次化的要求，物理方程等式两边的量纲应该相同，而有参数d，μ，υ组成的具有离地量纲的参量只可能是dμυ，因此上述函数关系只可能取一下形式，f＝Adμυ式中A是一个只与颗粒形状有关的常数，上式即为Stock定律。现根据上述量纲分析方法分析湍流的消磁度运动。湍流中存在一系列大小不同的涡旋，能量从大尺度涡旋顺序传递给消磁度涡旋，同时将机械能耗散为热能，其中最小的涡旋尺度称为Kolmogorov尺度，在这个尺度上，黏性和能量耗散占优，因此只有运动学粘度v(m2/s)和能量耗散速率ε(W/Kg）两个产量起作用，其他物理量都可以用这两个量表示。试根据量纲齐次化原理推导出Kolmogorov尺度λ及局部速度υλ与v，ε的关系（可相差一个常数）习题8：湍动射流2）流体在自由空间中的射流形成一个夹角为α的圆锥型区域，如图所示，设U＝U（x）为距喷口x处的平均流速，R＝R（x）为x处的射流半径，试根据总动量沿x方向守恒的要求确定速度U和射流区总流量沿x的变化关系（可相差一个常数）习题8：湍动射流3）对于放热反应，当反应器尺寸增大时，其体积按长度的三次方增长，而表面积却按平方增长，因此体积增大有利于热量的增加，而体积减小有利于冷却散热。这是化学工程中说明“放大效应”的一个典型例子。根据类似的道理解释为什么生活在寒冷地区的动物一般体型较大（例如北方人就比南方人高大），而且形状趋于圆滑，而热带地区的动物体型较小且趋于瘦长（例如南方人比北方人相对较瘦，且身体凸出部分的轮廓更为明显）。解：1）分析：题中出现的符号意义如下Kolmogorov尺度λm能量耗散速率εW/Kg运动学粘度vm2/s局部速度m/s从f＝Adμυ可知f量纲与dμυ相同，又ε的量纲W/Kg与的量纲相同（f力－N，υ速度－m/s，ρ密度－Kg/m3，V体积－m3）可知V与λ3量纲相同，f与λv量纲相同，υ与υλ量纲相同，带入ε＝中2）分析：总动量沿x方向守恒，设＝C（C为常数）。又，将R带入总动量表达式中，3）分析：将人体看成一个反应器，食物在体内消化放出热量，除供人体正常活动所需的能量和储存在体内外，以热量的形式通过体表释放到体外。人体散热与人体表面积和外界温度和人体温度的差值成正比，表面积与人体尺寸的平方成正比。可记为散热＝A*温度差*表面积。人体放热与人体体积成正比，体积与人体尺寸的立方成正比，可记为放热＝B*体积（A，B为关于人体散热放热的常数）。为保持人体温度一定，放热与散热需要平衡，散热＝放热。寒冷地区的外界温度和人体温度的差值比热带地区大，所以需要的体积与表面积比也大，即表现为人体尺寸大，也就是人的体型较大，而形状圆滑是为了减小表面积所致。热带地区的人体型瘦长，身体凸出部分轮廓明显，可以增大表面积，方便散热。9.在水平液面上垂直插入一个半径为R的毛细管，此时液体将在表面张力的拉动下沿着管中上升。弯曲液面形成的毛细压强可以用以下Yong－Laplace方程计算式中σ为气液表面张力，θ为气液界面与固壁之间的接触角，管中流体一方面受到毛细压强的驱动而上升，一方面又受到重力和粘性阻力的作用，设流动速度遵从粘性管流的Poiseuille分布，求：1)对于两端开口的毛细管，证明液位高度H随时间t的变化满足以下方程式中μ为液体的动力学粘度，ρg为重力。2）对于上端封闭的毛细管，设总管长为l，管内气体满足理想气体状态方程，试推导相应的液位高度H的变化方程。3）从上述方程中求出最大液位高度Ho和时间变化关系H(t),据此讨论H变化的趋势。解：弯曲液面形成的毛细压强可以用以下Yong－Laplace方程计算，同时又受到重力的作用产生压强，总的ΔP为：式中σ为气液表面张力，θ为气液界面与固壁之间的接触角，R为毛细管半径。Poiseuille分布，体积流率的表达式为：式中μ为液体的动力学粘度，ρg为重力。若毛细管上端是封闭的，则ΔP由三部分组成，还有一部分是液面上端产生的压强。式中Po为大气压强，L为毛细管长。当达到最高液位Ho时，，则：＝0积分得：从上式可以看出，H先增高，到最大值后开始下降。10.气液两相的传质过程与色谱过程有许多类似之处，例如，气相通过反应器（鼓泡塔、板式塔、填料塔等）的流动可以看成是溶质通过固定相的运动，气液传质阻力可类比于气固传质阻力，气液两相的逆流操作模式也与移动床相似。此外，气液两相在界面上处于平衡状态，由Henry定律表述，与§7.2节考虑的微孔分子筛的内扩散过程类似。与色谱问题不同的是，许多气液反应器（鼓泡塔与搅拌釜）中的液相或液固两相一般都处于全混流状态，而色谱柱中固定相是静止的，移动床中固体接近平推流。试根据与移动床的类比建立如图所示的鼓泡塔反应器的稳态数学模型，图中气体从塔底加入，经分布器之后形成分散的气泡并在液体中浮升，最后从容器的上部输出；液体则从塔顶加入，从底部流出。气相中的组分A被液体吸收后在液相中发生一级化学反应。鼓泡塔中气相的流动可考虑为平推流，液相考虑为全混流。其它已知的参数为：鼓泡塔液位高度l，气含率εg，空塔气速U，加入液体的质量流率F，单位体积气液传质系数kLa，一级反应动力学常数kA，Henry系数HA。所建立的数学模型要求包括以下内容：习题10：鼓泡塔反应器 1）设cg和cL习题10：鼓泡塔反应器 2）如果是强放热反应，反应热通过溶剂蒸发和气液相的连续流动移出，请自行设定有关物性参数，给出温度T满足的方程。解：数学模型一般包括物料衡算、热量衡算和动量衡算，对于鼓泡塔的气液反应体系，气液两相的温度场计算是不必要，因为塔内混合良好，温差很小。动量衡算也非必要。物料衡算是要考虑到对流、相间传质、轴向分散及化学反应等影响因素。假设塔内等温，作气相及液相的物料衡算：气相：流入项传质项返混项积蓄项液项：流入项传质项返混项反应项积蓄项式中：假设气相平推流液相全混流边界条件：气相：Z＝0：Z＝1：液相：Z＝0：Z＝1：进气温度为Tg，液体为Tl，气体热容cg，液体热容cp，液体的质量流量Fl，气体的质量流量Fg，单位时间反应热为Q，C为常数。鼓泡塔内温度均匀，塔内温度和排出的气体液体温度均记为T，根据能量守恒：习题11：填料吸收塔11．填料塔广泛用于气体吸收，气液两相采用逆流操作，液体从塔顶均布后加入，沿填料表面成液膜下降，气体从塔底加入，沿塔上升并与液体实现逆流接触，气体中的活性组分被液体吸收后从塔底流出，净化后的气体从塔顶排出，如图所示。设从塔底加入的气体中含有待吸收组分A和惰性气体，惰气流量为G（mol/s），从塔顶加入的液体惰性溶剂的流量为L（mol/s），组分A在液相中以一级反应进行分解，给定塔的直径D和塔高H、单位体积填料的液体持液量L（m3/m3）和气液传质系数kLa，以及化学反应速率常数kA、气液相Henry系数HA，试用微元分析法建立一数学模型，描述气相浓度yA(mol/mol惰气)和液相浓度xA(mol/mol溶剂)的沿塔分布，然后从模型中消去xA，得到yA的单一方程，并给出适当的边界条件。习题11：填料吸收塔提示：可假设在气液界面上满足Henry定律，则两相传质速率为kLa(yA－HAxA)。解：分析此填料塔用于气体的化学吸收，塔内物料平衡涉及两相：气相和液相。可分别对气相及液相中的待吸收组分作质量守恒，守恒方程中将涉及到的未知量包括：待吸收组分A在气相中的浓度yA（molA/mol惰性气体）和待吸收组分A在液相中的浓度xA(molA/mol溶剂)。守恒方程数与未知量数均为2，在给定边界条件下可以得到微分方程的特解。假设1设待吸收组分A在液相中的反应速率为：该反应为一级反应，反应速率常数为k（单位mol/m3·s）2设吸收塔在连续操作过程中处于稳态，进而在质量衡算方程中涉及到的积累项均为0解答步骤在填料塔任一高度h处取一厚度为dh的体积微元（见习题11图），分别考虑微元中气相和液相的待吸收组分A的质量守恒：气相式中气液相间的传质方向是由气相到液相，因而传递量属于输出项，其传质速率为：，其中kL是以气相摩尔分率差为总传质推动力的总传质系数（单位kmol/(m2·s·Δy)），a是单位体积填料层所提供的有效传质面积（单位m2传质面积/m3填料体积）。因而：式中D是填料塔直径，为所取微元内的填料体积。由于气相中不发生待吸收组分A的分解反应，因而：吸收塔处于稳态操作，因而：根据质量守恒：即：整理得：液相：式中气液相间的传质方向是从气相到液相，因而传弟量属于输入项，它的大小与气相输出项中的气液传质量相同，为：因而：式中-rA为组分A在液相中的应反应速率，单位：mol/m3·s。而是在所取填料微元中的持液量。根据质量守恒：即：整理得：相应边界条件：在填料塔底部h=0yA=yb式中yb为进料气体中组分A的浓度顶部h=HxA=xa式中xa为进料液体中组分A的浓度至此，联立关于气相与液相质量守恒的两个常微分方程，并加入边界条件：求解此一阶常微分方程组即可得到气液相中组分A的浓度沿着塔高方向上的分布。 下面对此常微分方程组进一步化简，消去xA，以得到一个只含yA二阶常微分方程。 对式（1-11-1）变形，得： 代入式（1-11-2）得到： 相应边界条件： 化简得： 从而得到关于yA的一个二阶常微分方程及其边界条件：这是一个常系数二阶常微分方程，将实际生产中的数据代入后可以很容易解出关于组分A在气相中的浓度yA沿塔高方向上的分布，进而得到组分A在液相中的浓度xA沿塔高方向上的分布。12.在一鼓泡容器内，初始时刻装有体积为V的氨盐水(NH3－NaCl－H2O)，随后以流量F通入CO2气体，在液相中即发生以下碳酸化反应(1)(2)(3)这是制取纯碱(Na2HCO3)的基本反应，是一个连串反应过程。其中反应(1)为快速反应，发生在气液界面附近的液膜之内，而反应(2)、(3)为慢反应，发生在液相本体之中。设各步反应均为拟一级反应，其中NH3和Na+大大过量，其浓度可近似考虑为常数。容器中的气含率ε、气液比表面积aV和液膜厚度δ均为已知量，液膜体积aVδ<<1，试分别对液膜和液相本体导出该反应过程的数学模型，给出分批式和连续式两种操作情况下的反应器模型。提示：液膜中的反应-扩散过程可视为拟稳态过程，CO2的气液界面浓度和本体浓度可设为已知，NH2COO-的本体衡算方程需考虑液膜向液相本体的传递速率。解：分析：在此串连反应中,反应（1）为快反应，其反应速率远大于反应物CO2 在液相中的扩散速率，因而该反应只发生在气液界面附近的液膜之内，在液相本体中，CO2的浓度已为零。反应（2）、（3）为慢反应，因而液相中反应物的混合速率远大于反应速率，即由液膜中通过反应（1）生成的NH2COO-在还未发生显著的化学反应之前就已混合均匀，可以认为NH2COO-以及其反应产物HCO3-在整个反应器中均匀分布。而在反应器中，液膜体积avδ<<1，即液相本体的体积远大于液膜体积，所以反应（2）、（3）绝大部分都在液相本体中完成。由于鼓泡反应器中液膜与液相本体中分别进行着不同的反应（对于快反应（1），主要发生在液膜中，而对于慢反应（2）、（3）则主要发生在液相本体中），因而需要分开讨论。对于液膜，可以采用拟稳态假设，即不论是分批式还是连续式操作，液膜内的物质浓度都不随时间变化，积累量均为零。对于液相本体，则需将分批式与连续式操作区分对待。此题中鼓泡反应器所涉及到的物质包括有：CO2、NH3、NH2COO-、H+、H2O、HCO3-、Na+及NaHCO3共八种，并且其浓度分布包括在液膜内浓度分布及液相本体中的浓度分布，共涉及有八个变量在分批式及连续式两种操作情况下在两个不同相（液膜及液相本体）中的浓度分布。但是，通过分析，可以先排除许多量：1CO2：在本反应器中，CO2作为反应物参加快反应（1），由前面的分析可知，CO2在液相本体中的浓度为零，因而我们只需要求出在液膜中CO2浓度分布即可，根据拟稳态假设，所得到的浓度分布既可用于分批式操作，也可用于连续式操作。2NH3、H2O、Na+：在本反应器中，这三种反应物都处于大大过量，其浓度可近似考虑为常数，因而可以在反应器模型中将其作为已知量处理，并视为常数。3NH2COO-、HCO3-：由前面的分析可知，这两种物质在液相本体中均处于均匀分布，并且它们参与的反应（2）、（3）都是在液相本体中完成，在液膜中的反应可以忽略，即液膜中NH2COO-、HCO3-的浓度分布对于反应器模型没有任影响。因而我们只需求得NH2COO-和HCO3-在液相本体中的浓度随时间的分布即可（在空间上均匀分布），而二者在液膜中的浓度分布无需涉及。4H+、NaHCO3：在本反应器中，这两种物质均只出现在反应产物中，并没有以反应物的形式参加反应，并且在反应速率方程中也没有涉及，因而在建立的反应器模型中不涉及两者的浓度。综上所述，本反应器模型共涉及：CO2在液膜中的浓度分布，NH2COO-和HCO3-在液相本体中浓度随时间的分布共三个变量。其中CO2在液膜中的浓度分布即可用于分批式操作，又用于连续式操作。而NH2COO-和HCO3-在液相本体中浓度随时间的分布则必须分为分批式操作和连续式操作进行讨论。假设1在本题中，用符号A指代组分CO2，符号B指代NH2COO，符号C指代HCO3-。2反应（1）、（2）、（3）均为拟一级反应，因而其反应速率分别为：3反应器体积为V，而反应器中气含率为ε，易知反应器中的液体量为：（1-ε）V。再由反应器中的气液比表面积为av（单位：有效气液接触面积m2/液体体积m3），得到反应器中的液膜面积（即气液接触面积）为av（1-ε）V，液膜体积为：av（1-ε）Vδ。4假设在反应过程中反应器内的液体体积不变，即忽略反应过程中的体积变化，因此在质量衡算方程中反应器内的液体休积（1-ε）V为常数。解答步骤1液膜中CO2的浓度分布：液膜中CO2的反应-扩散过程可视为拟稳态过程，因而不论是分批式还是连续式均可以作为稳态处理。由于液膜厚度远小于气泡直径，因而可以单位面积对液膜内的CO2（用符号A代表）作质量守恒：式中1表示单位面积，DA为CO2在液膜中的传质系数，由于液膜内始终处于稳态，浓度CA不随时间变化，因而CA仅是坐标x的函数，CO2的质量守恒方程为一常微分方程。根据质量守恒：式中CNH3为液膜中NH3的浓度，可视为常数。与之相应的边界条件为：因而可以得到关于CO2（A）在液膜中浓度分布的二阶常微分方程：可以解得：此式即是CO2在液膜中的浓度分布，而液膜内CO2总的反应速率为：式中-R1是在鼓泡反应器所有液膜中的反应（1）的总反应速率，单位mol/s。将前面得到的CO2浓度沿x方向上的分布代入体积积分中，很容易就可以把体积积分变为关于x的线积分，求得-R1，但这里我们利用稳态模型，即CO2在液膜内总的反应速率-R1应等于CO2通过气液相界面，自气相向液相的传递量：式中S是反应器中总的气液接触面积，即液膜面积：利用CA沿x方向上的分布函数，易得到：式中负号表示CO2在液膜中的反应是作为反应物不断消耗的。2分批式操作中NH2COO-和HCO3-在液相本体中浓度随时间的分布：在液相本体中对NH2COO-作质量守恒方程：式中-R1是在所有液膜中反应（1）的总反应速率（单位mol/s），它也就等于在所有液膜中NH2COO-的生成速率，而液膜内始终处于稳态，即所有生成的NH2COO-都从液膜传递到液相本体中，因而在液相本体中NH2COO-的输入项就是-R1。在分批式操作中鼓泡反应器内液体没产出，因而式中（1-ε）V为反应器中的液相体积，由于NH2COO-在反应（2）中是反应物，在反应过程中不断消耗，因而在生成项中为负。根据质量守恒：整理得：消去总体积，得到：这是一个常微分方程，加入相应的初始条件：得到：对此常微分方程求解，即可得到在分批式操作条件下NH2COO-浓度随时间的分布。同样，在液相本体中对HCO3-作质量守恒：根据质量守恒：得到：消去总体积，得到：这也是一个常微分方程，其中可以通前面NH2COO-的质量恒算得到，、均为常数，可由实验得到。加入相应的初始条件：得到：对此常微分方程求解，即可得到在分批式操作条件下HCO3-浓度随时间的分布。3连续式操作中NH2COO-和HCO3-在液相本体中浓度随时间的分布：假设在连续式操作过程中反应液的体积流量为q。同样，在液相本体中对NH2COO-作质量守恒方程：由于进料的氨盐水中不含NH2COO-，因而输入项只包含NH2COO-自液膜扩散到液相本体中的量R1。由于是连续操作，反应器处于稳态：根据质量守恒：得到：化简得：在连续操作过程中，在液相本体里NH2COO-的浓度不随时间变化，为一常数。同样，在液相本体中对HCO3-作质量守恒方程：由于进料的氨盐水中不含HCO3-：根据质量守恒：得到：化简得：在连续式操作中，在液相本体里HCO3-的浓度也不随时间变化，为一常数。 综上所述：在分批式操作中，本反应器的模型为：在连续式操作中，本反应器的模型为：第二章习题求以下微分方程的解解：(1)（2）（3）2.求解第一章给出的连续结晶器的稳态数学模型式中，成核速率B，生长速率G，流量F均可考虑为常数，加入流体的粒数分布为l的任意函数nin=nin(l)。解：求解以下方程：的解。分离变量得： 积分得： （C为常数）设，将n的表达式代入原微分方程，得：则，C1为常数。代入n表达式得原微分方程解：l＝0时， 则原方程解为：3.电极加热炉中石墨电极棒的传热问题可用以下方程描述式中D，U，A，T0均为常数，但导热系数kＴ为温度的线性函数，kT=k0-T，试求出上述方程的通解（建议：采用改进的p变换，可使求解更为简捷）。解：设,则有原方程变为:,其中为任意常数;将带入,变形得:积分得X~T关系式为:其中为任意常数。4.设反应物A，B在液膜中发生以下瞬时反应v为化学计量系数，该反应受扩散限制，试导出相应的W-变换并求出反应物A，B和产物P的浓度分布。解：此反应受扩散限制（1）（2）(1)-(2)得（3）令（4）易由（3）可知由定义式（4）可得的边界条件为；；其中为液膜厚度由以上边界条件可得（5）在处，，此时（5）中，得将定义式（4）两边平方，利用瞬时反应，不能共存的条件知，，于是有将上式两边开平方，得（6）根据（4），（6），可以将，用新变量表出，（7），（8）将（5）代入（7），（8）得，，产物的浓度分布为5．O2和CO2在生物组织中的传递过程对于呼吸作用和光合作用具有根本的重要性。在生物组织中，溶解在液体（血液、组织液）中的O2通过渗透与扩散两种机制输送到组织内部供细胞呼吸，研究表明，在某一临界溶氧浓度c*以上，单位体积的氧消耗速率为常数，设为q，因此，对于厚度为l的一片组织，代谢过程中氧的衡算方程为 式中U为液体渗透流率，D为溶氧扩散系数。设该组织外部的溶氧浓度为常数，则边界条件可表示为 试求出溶氧浓度沿组织厚度方向的分布，据此判断氧浓度在何处达到最小值？渗透速率U需满足什么条件才能保证在组织内部不会出现缺氧的情况（c(x)>c*）？解：齐次方程的特征方程为解得所以齐次方程的通解为（1）利用比较系数法，求得非齐次方程的特解（2）所以，非齐次方程的通解为（3）边界条件为所以溶氧浓度沿组织厚度方向的分布为（4）对关于求一次，及二次导数式中令得所以，氧浓度在达到最小值为保证组织内部不会出现缺氧的情况，要求即需要满足6．（√）求以下变系数方程的级数解（a）（b）(c)（a）解：将幂级数（4.5）代入方程，逐项比较系数，令首项的系数为0，得到指标方程为指标方程的两个根为，属于第一种情况，可以将c代入递推公式确定各系数。令项的系数为0，得递推公式为首先将代入递推公式，有可得则方程的第一解为接着将代入递推公式，整理得则方程的第二解为最后得到方程的通解为（b）指标方程，重根c1=c2=0递推公式为,将递推公式表示成an对参数c的函数形式于是含有任意参数c的幂级数y(x,c)由下式给出当c=0时，上式给出方程的第一解第二解即对各项求导，并令c＝0得所以方程的通解为（c）将幂级数代入后比较系数得到指标方程递推公式指标方程的根为两根相差一个整数m时，递推公式中am的系数将成为0而使之无法确定。首先确定由大根得到的级数，递推公式为然后将c1＝0代入得到第一解为注：级数推导详见微积分下册第274页考虑以下含任意常数c的级数y(x,c)上述级数在c＝-2处有奇异性，第二解y2由下式给出方程的通解为7.环形法兰上的散热问题可用以下方程描述式中k和h分别为法兰的导热系数和向周边环境的传热系数，T0为环境温度。边界条件为在内圆边界r=r1处:T=T1在外圆边界r=r2处:T=T2试用有关的Bessel函数给出上述问题的通解并说明如何由边界条件确定通解中的任意常数。（提示：作变换，化为标准形式）解：8.（√）用矩阵解法求以下一阶线性微分方程组的通解，并将通解用实函数表示。（1）（2）（1）解：系数矩阵A的特征方程为解得A的特征值当时，特征向量方程为式中的两个方程线性相关，取x1为独立变量，令x1＝1，得到相应的特征向量为类似的得到对应的特征向量为因此，微分方程的通解为（2）解：系数矩阵A的特征方程为解得A的特征值当时，特征向量方程为式中的方程线性相关，取x1为独立变量，令x1＝1，得到相应的特征向量为,相应的复数形式的解为上述实部和虚部为方程的两个线性无关特解，因此方程组的通解为9.（√）对于上题（1）中的系数矩阵,请用下述方法求矩阵函数expAt待定系数法lagrange插值法解：将特征根代入方程，得到解得矩阵函数为将特征根代入方程（7.24）得10.如所示,两相互联接的搅拌釜中装有体积分别为V1和V2的溶液,初始时刻釜中溶质浓度分别为y10与y20,从t=0开始,两釜中的溶液以流量q通过管道泵送而相互交换,管道体积可以忽略,求两釜中的溶质浓度随时间的变化关系。图图6.1两串联搅拌釜之间的质量交换qqV1y1V2y2.习题10：两互联搅拌釜的动态响应解：由条件得，对第一个釜：对第二个釜： 以上方程组成如下方程组：设，有：其特征方程为： 展开得：其特征值为：，为相异实根。与对应的特征向量方程为：取为独立变量，则。令，得特征向量：与对应的特征向量方程为：取为独立变量，则。令，得特征向量：综上，微分方程组的通解为：、为常数由初始条件，，得：解得： 代入得到原方程组的通解为：其中11．设=i为矩阵A的特征值，试根据特征向量方程(2.4.6)证明Sylvester定理(2.5.24)。解:对于求齐次方程的通解,有式2.4.6:定义方程2.4.6欲有非零解,其充分必要条件是可表示为:由Cayley-Hamilton定理有,其中m>n;则任何由矩阵级数定义的函数f(A)都可用不高于n-1次的A的多项式表示:考虑其参数形式,若欲确定其中的(i=0,1…,n-1),常用的方法是用函数上的n个点上的值(i=1,2…,n),lagrange插值法来得到,因是n-1次的多项式,故可通过lagrange插值的方法来准确表达,即其中将参数代换为A上式同样成立,有此式即为Sylvester定理.12.不同形状的催化剂颗粒上的反应-扩散问题可用以下方程描述式中s为颗粒的形状指数，s=0为片形，s=1为长圆柱形，s=2为球形，D为内扩散系数，k为一级反应速率常数，hm为外表面传质系数，cb为流体相本体浓度。(a)选择适当的特征尺度将问题无量纲化；(b)分别求取s=0，1，2时的粒内浓度分布；(c)求催化剂有效系数与Thiele模数和Biot数之间的关系，并讨论这两个参数对的影响趋势。解：(1)取颗粒的半径为x的特征尺度。取cb为cA的特征尺度。可将问题无量纲化。选择R与cb分别为自变量x与因变量的特征尺度，作变换r=x/R,c=/cb代入方程和边界条件，整理得：(2)S=0S=1将上式对c求导，再令c=0,得第二解：cA=A+BA,B均为任意常数。S=2(3)所以与成正比，与成反比。13.对于可逆反应，反应的转化率由于受到化学平衡的限制而难以提高，采用反应－分离耦合操作的方法就可以打破这一限制。设在一催化剂颗粒内部发生上述双组分可逆反应，同时也筛选出了某种吸附剂，使得A、B的吸附性能呈现较大差别，这样，我们就可以将催化剂与吸附剂掺混，然后采用逆流移动床来实现反应－分离耦合操作。设吸附等温线为线性，反应关于固相浓度为一级，忽略颗粒内外的传质阻力和床层返混，则逆流移动床数学模型由以下方程描述 式中，c和n分别表示流体和固体相的浓度，,s分别为流体和固体的运动速度，求解上述方程，给出浓度A、B的沿塔分布。2）如果令，，则二者分别表示床层任一截面上组分A、B的净流率。研究表明，只有当qA和qB的方向相反时，才能实现A、B的分离，此时边界上的间断条件表述为塔底（z=0）： 塔顶（z=l）： 式中上标“＋”与“－”分别表示塔顶和塔底边界外部的值，根据上述条件确定流体相和固体相的出口浓度。3）如果取以下参数 计算相关的浓度分布并作图考察各参数变化的影响。解：1)原方程组可化为如下形式：其特征方程为： 展开得：其特征值为：，为相异实根。与对应的特征向量方程为：取为独立变量，得。令，得到特征向量：与对应的特征向量方程为：取为独立变量，得。令，得到特征向量：综上，微分方程组的通解为：、为常数即： 且 时，，知：解得： 则得到原方程组的解：时，，知：解得：则得到原方程组的解：即A、B的沿塔分布。2) 时，因，否则静流率为0，则由条件得：时，同上原因，由条件得：3) 由条件得：则代入原浓度分布为：14．（√）发生在催化剂颗粒上的放热反应总是与传热相互耦合，从而导致多重稳态的产生和相关的稳定性问题，CO在铂催化剂表面的氧化反应曾被作为一个典型的体系而得到广泛的研究。现考虑CO在铂金属丝表面的氧化，相应的质量与热量衡算方程可表示为试从上述方程出发，在稳态解附近作线性近似，导出相关的稳定性判据。解：方程右端为零时，所得的解是系统的稳态解，设为（AS,TS）,考虑系统的小扰动并令代入原方程，即得扰动（x，y）满足的瞬态方程将k展为泰勒级数，并忽略二阶及其后的高阶项，得到线性近似方程相应的特征方程为特征根实部的正负由参数决定，分为以下情况：当tr<0,>0时，两特征根的实部为负值，系统是渐进稳定的；当tr>0,或者<0时，至少有一个特征根的实部为正值，系统是不稳定的；当tr=0,>0时，两特征根为相异的虚根，x与y将围绕稳态进行振荡，系统是稳定的但不是渐进稳定的。系统渐进稳定的物理变量判据为第二种解法：方程右端为零时，所得的解是系统的稳态解，设为（AS,TS）,考虑系统的小扰动原方程化为将k展成泰勒级数，并忽略二阶以上项方程化为略去方程的高阶项再按稳定性的常规方法判断。15．考虑催化剂颗粒的内扩散阻力时，一般情况下颗粒热稳定性问题的分析将变得十分复杂，但是，若对内扩散过程采用拟稳态假定，则问题就可以大大简化。试从第一章给出的催化剂颗粒简化模型(1.5.15）、(1.5.16）出发，对热量衡算方程采用稳态附近的线性近似，然后针对薄片型催化剂颗粒（s＝0）导出相关的失稳条件（斜率条件）。解：当时，有： 特征方程： 得： 则方程的解为： 代入热量衡算方程为：对系统：设系统的稳态解为，考虑小扰动代入以上方程得到扰动满足的瞬态方程：将展成泰勒级数，并忽略二阶及其后的高阶项，得到线性近似方程：其特征方程为以下代数方程的解：其中当时系统渐近稳定，得到相应的斜率条件：16.在釜式反应器的热稳定性问题中，如果采用控制装置来对移热过程进行自动调节，就有可能把一个本来不稳定的反应器状态变成稳定状态。设控制装置对反应器增加了一个正比于温度偏差的移热速率，使得总的移热速率成为试给出相应条件下釜式反应器的热稳定性判据并结合图2.6分析在何种情况下系统只存在唯一且稳定的稳态解。解：反应器的质量与热量衡算方程：设系统的稳定解为，考虑系统的小扰动：代入衡算方程，得到扰动满足的瞬态方程：式中将和展开为泰勒级数，并忽略二阶及其后的高阶项，得到线性近似方程：上述方程的特征根为以下代数方程的解：式中特征根实部的正负由参数和决定，分为以下情况：当时，两特征根的实部均为负值，系统渐近稳定。当或时，至少有一个特征根的实部为正值，系统不稳定。当时，两特征根为相异的虚根，x与y将围绕稳态进行振荡，系统稳定但不是渐近稳定。因此渐近稳定时的判据为：当直线形的移热曲线与S形的放热曲线只有一个交点时，表明系统只存在唯一且稳定的稳态解。第三章习题1.（√）设函数，是一阶拟线性偏微分方程（1.1）的解，是任意常数，求证：的任意函数也是方程（1.1）的解。证明：由分别对x，y求导，得由于g1，g2满足偏微分方程（1.1），因此有将方程分别对x，y求导（7）将（7）代入偏微分方程（1.1）左端，再利用关系式（6），得（8）说明偏微分方程（1.1）也得到满足，因此也是方程的解。2.求下列方程的通解（1）解：由于与存在函数关系，我们得到方程的通解为，为任意函数（2）解：方程通解表示为隐函数，为任意函数（3）解：由（2）得：代入（1）得：整理得：两边同乘以得：即：由于与存在函数关系，我们得到方程的通解为，为任意函数（√）求下列问题的解解：该问题的特征线方程为（1）初始曲线表示为（2）由（1）、（2）联立解出（3）消去s,，得（4）解：特征线方程为（1）（2）由方程（1）解出（3）由初值（2）得代回方程（3），消去s,，得4．（√）在固定化酶反应器中，生物活性细胞被制备成颗粒状填充于固定床中，反应动力学由Michaelis-Menten方程给出，设流动为平推流，初、边值由给出，求浓度分布。解：依题意，该固定床反应器的数学模型为（1）上述问题的特征线方程为（2）初始曲线I由方程（1）解出初值影响区的解消去，得边值影响区的解消去，得5.变截面色谱柱中的线性吸附曲线由以下方程表述式中，流量为常数，，为截面积，若定义以下无量纲变量,则可将方程化为以下形式现考虑环形平面区域的色谱过程，为溶质注入端的环形边界半径，设问题为圆对称，初始浓度为0，注入的溶质浓度为常数，请在r-t平面上绘出边值影响区的特征线，并讨论截面积的变化对波在r方向传播的影响。解：其特征线方程为:在边值影响区，特征线为用r、t表示后为边值影响区的特征线即如上图所示。由上图可看出，随r增大，A(r)增大，增大，减小，在r方向上的波速减小。此外，A(r)还跟该环形区域的厚度有关，即式中的值，当增大时，A(r)增大，特征曲线的曲率增大，增大，减小，在r方向上的波速减小。所以，总的来说，随A(r)增大，特征曲线的曲率增大，增大，减小，在r方向上的波速减小。（√）河口附近涨潮后形成水位h的梯级分布落潮时的水位遵循以下方程请描述水位h在落潮时的衰减过程。解：该问题的特征线方程为（1）初始曲线（2）由（1）解得（3）代入（2）中消去初始变量，就得到用隐函数分段表示的解h(z,t)。7.移动床平衡色谱模型在Langmuir吸附情况下由以下方程给出 求： 1）对于单组分色谱问题，根据波的追赶现象讨论移动床中激波生成的条件，并给出激波间断关系。 2）对于双组分吸附分离问题，给出稳态条件下的解答。设进料流股中含有A、B两种组分，试确定合适的操作速度r以便将A、B分离。解：1）对于单组分色谱问题，模型简化为其中，令得模型的特征曲线方程为由前两式可得波速的方程当时，，波速为正方向，此时通量－浓度关系为下凸型，随着浓度c的增加，波速单调递增。当时，，波速为反方向，此时通量－浓度关系为上凸型，随着浓度c的增加波速单调递减。因此，激波生成条件可见下表：下凸型（）上凸型（）前低后高型（）激波稀疏波前高后低型（）稀疏波激波根据激波间断条件，取，则有由于饱和问题不产生激波，因此只考虑洗脱问题：设，，。图1.洗脱过程浓度分布图图1.洗脱过程浓度分布图图1给出了浓度分布图像及相应的特征线，由于，每条特征线的浓度保持常数。曲线S右侧的特征线来自初值影响区，该区域，因此，浓度波的速度可由波速方程中令得到，为一组平行的直线；S左侧的特征线来自边值影响区，从t轴出发，该区域，因此，浓度波的速度可由波速方程中令得到，为一组平行的直线。因此，令，对上式进行积分可得其中为积分常数。由初始条件，得到＝0。由此最终得到激波轨迹的解答：2）在稳态条件下，＝0。设组分A浓度为，初始浓度为；组分B浓度为，初始浓度为。因此模型简化为两个常微分方程：对上述两式进行积分可得：其中，、为积分常数。根据初始条件、可确定、的大小。解方程可得为使A、B组分充分分离，这里假设A为弱吸附组分，B为强吸附组分。调整使A在床层中正向传输而B在床层中反向传输，则可达到理想的分离效果。移动床中溶质的净通量为所以由，解得8. 在一定的浓度范围，某离子交换过程的等温线可用表示，离子交换柱的模型为请对以下两种情况给出两题的解答饱和过程；洗脱过程。解:将吸附等温线代入离子交换色谱柱模型中，得到：该模型的特征曲线方程为：由前两式可得波速方程1）对于饱和过程，，，。相应的初始曲线在t-x平面上的投影为x轴与t轴。由可知，在浓度曲线上浓度c恒定。该过程浓度分布如图2所示：在左边区域，自t轴引出的特征线、、…的任意一点的斜率，由于为常数，所以该斜率也为常数，特征线为一组发散的平行直线。由可得初始曲线，，。求解特征曲线方程可得该区域，该区域图2.饱和过程浓度分布图在右边区域，自x轴引出的特征线、、…的任意一点的斜率，由于为常数，所以该斜率也为常数，特征线为一组发散的平行直线。由可得初始曲线，，。求解特征曲线方程可得该区域，该区域图2.饱和过程浓度分布图由于，所以两组特征线自原点发散，没有交点，中间形成一个空白区域，该区域浓度恒为0，即，该区域因此，饱和问题的解为2）对于洗脱问题，，。相应的初始曲线在t-x平面上的投影为x轴和t轴，由于可知在特征线上浓度c恒定。其浓度分布如图3所示。对比本题偏微分方程与方程可知，在本题中，。由图可知，、沿曲线S出现强间断，间断面为。由激波间断条件可得：在激波曲线S左侧为边界影响区，由知该区域特征线上浓度恒定，由边界条件可知，。代入激波间断条件可得。由初始条件对上式进行积分可得：因此，洗脱问题的解为：图3.洗脱问题浓度分布图图3.洗脱问题浓度分布图9.（√）高速公路单行道上由于交通事故而塞车，但塞车段长度达到时事故排除恢复正常通行。设塞车段后方车辆密度为，交通流方程为(3.24)~(3.26)，求恢复通行后的车流密度与车速分布。解：交通流问题的车流密度由以下方程描述分析：车辆密度波的波速为 波速随密度单调降低，因此，在x=-处，初始时刻就将形成一个激波，沿x轴反向传播，波速由激波间断条件确定；而在x=0处，形成一个中心稀疏波，沿x轴正反两个方向传播，其波速和轨迹由特征线方程确定；经过一定时间间隔后，反向传播的稀疏波将赶上反向传播的激波前沿，形成侵蚀，类似于3.1节介绍的化学剂段塞的运动图象；最后，由于稀疏波的不断侵蚀，激波消失。可采用与3.1节类似的分析方法获得稀疏波侵蚀后的解答。10.某色谱反应器的吸附等温线为Freundlich型化学反应为一级反应，，求：解出阶跃注入时的浓度分布；（2）讨论当时的定常吸附情况，这时有两种做法：一种是先求出任意m值情况下的解然后再取极限；另一种是先在数学模型中直接取极限，然后再求解该数学模型。两种结果有很大差异，分析其原因并判断哪一种结果更为合理？解：式中其特征曲线方程为由前两式可得波速方程由于m>1,波的传播速度随浓度c的增加而增大，因此根据我们的初值和边界条件，必然发生波的追赶而且初始间断面从一开始就是激波面。其浓度分布和相应特征线分别如下图a、b所示（a）(b)根据激波间断条件有，在初值影响区，由特征线方程组所以可得当时，解为如果在数学模型中直接取极限，则：问题变为平推流反应器的动态响应，解得（具体过程参见教科书p143）：在初值影响区（）在边值影响区（）应该以第一种解法为宜，因为当m趋于无穷大时，仍然有吸附平衡的问题，在t=0的两侧，反应器中的吸附浓度不是从0阶跃到K，而是同样也要经历一个平衡饱和的过程，但是在第二种解法中，则把整个色谱反应器内的n处理为了阶跃的函数，这实际上是由于函数在c趋向于零的同时m趋向于无穷，这个时候将它取极限看为一个确定值是不合适的。所以第一种解法更合理。11.聚合物驱油过程的分流函数在一定条件下可用下式表述设，求上述驱油问题的解并讨论粘度比增大对驱油过程的影响（可设粘度比在0.1~10之内变化）。解：波速或特征线方程为：由-----------------------------------------------------------（1）代入式（3.5.58）：------------------------------------------------------------（2）与已知f表达式对照可得-------------------------------------（3）将方程（1）与方程（3）代入（3.3.63），并令得：---------------------------------------------------------（4）可得：当，同时时，关系曲线如图：可见，a在0.2到20之间变化时，方程（4）存在0～1之间的解，且随着a的增大而增大。因此，该注水驱油问题的完整解答如下：无线性间断波；中间稀疏波由方程（4）确定；激波由方程（4）确定；初值影响区当黏度比增大时，随之增大，高饱和区间变小，而低饱和区间变大，同时激波轨迹值增大。12.对于双组分Langmuir吸附问题，若色谱柱内初始时刻含有溶质，即试讨论当初始组成（c10，c20）给定时，对于不同的进料组成（c1f，c2f），溶质在色谱柱内的大致分布情况，请在浓度平面上绘出不同进料状态下的组成路线，确定不同相干波的类型，并草绘出相应的浓度空间分布。解：对于双组分Langmuir吸附问题，若色谱柱内初始含有溶质，即t＝0：c1＝c10，c2＝c20x＝0：c1＝c1f，c2＝c2f试讨论当初始组成（c10，c20）给定时，对于不同的进料组成（c1f，c2f），溶质在色谱柱内的大致分布情况，请在浓度片面上绘出不同进料状态下的组成路线，确定不同相干波的类型，并草绘出相应的浓度分布空间。解：由双组分Langmuir吸附问题的解我们可以得到特征路径，它们是由方程的奇异解和通解共同确定的，如下所示。图3.12.1双组分Langmuir吸附问题的特征路径当初始组成I（c10，c20）给定时，不同的进料组成F（c1f，c2f）总是需要沿着特征路径按照一定的方向先经过M（定常态）再到达初始组成I点。路线方向由规则1确定：从进料状态F到初始状态I的组成路线总是首先沿着过F点的、具有最低波速的慢路径行进，然后顺序转换到次慢的特征路径，最后沿着最快的特征路径到达初始状态I。而相干波的类型则由规则2确定：如果沿着组成路线的方向波速增大，则与此相应的相干波为稀疏波，如果减小则为激波。对于Langmuir吸附，若沿组成路线的方向强吸附组分浓度增大，则该相干波为稀疏波，否则就是激波。根据不同进料组成F与初始组成I相对位置，有以下4种情况：进料F点位于初始I点右下位置右下位置是相对于I点所在特征路径而言，即由I点发出的慢路径和由指向I点的快路径包括的部分。图3.12.2浓度空间的特征路径网络与组成路线根据上述两条规则我们不难判断组成路线及相干波的类型，F点先沿着慢路径到达定常点M，方向与c2（强吸附组分）增大的方向相反，为激波；到达M后再沿着快路径达到初始点I，为稀疏波，简图如下所示图3.12.3情况1组成路线简图组成路线确定之后，就需要根据特征线法确定x－τ平面上的特征线。组成路线为F→M→I，激波F→M的特征线在图3.12.4（上）中为一条重合的直线C＋，其左侧浓度为进料状态F，右侧为定常状态M。稀疏波M→I的特征线对应于扇型直线族C－，其中不同的特征线携带着M到F点之间不同的浓度组成，其斜率(c)随着浓度由M点趋向I点而逐渐减小。在激波特征线C＋与稀疏波特征线族C－之间的区域为浓度平台区，该区域的浓度值恒为定常状态M，不随特征线斜率变化。从x轴到特征线族C－之间的区域为初始状态区，该区域尚未受到浓度波的扰动。根据特征线图3.12.4（上），我们容易由图解法得到任意时刻=1的各组分浓度空间分布。在图中作平行于x轴的直线=1，该直线与各特征线相交于不同的空间位置x1,x2,x3,，由于各特征线上的浓度值是已知的，连接各交点处的浓度值就可绘出该时刻不同组分的空间分布，示于图3.12.4（下）。图3.12.3情况1x-平面上的特征线（上）＝1时刻的浓度空间分布（下）2）进料F点位于初始I点左下位置图3.12.5情况2组成路线简图按照以上同样的方法我们可以得到组成路线简图、特征线图及浓度空间分布图。图3.12.6情况2x-平面上的特征线（上）＝1时刻的浓度空间分布（下）3）进料F点位于初始I点右上位置图3.12.7情况3组成路线简图图3.12.8情况3x-平面上的特征线（上）＝1时刻的浓度空间分布（下）4）进料F点位于初始I点左上位置图3.12.9情况4组成路线简图图3.12.10情况4x-平面上的特征线（上）＝1时刻的浓度空间分布（下）第四章习题1.（√）判别以下方程的类型，并指出变系数中自变量取值范围（1）（2）（3）（4）解：（1）a＝1，b＝2，c＝3，b2－ac>0，是双曲型方程（2）b＝0.5，b2－ac>0，是双曲型方程（3）b2－ac＝x2y2，当x＝0或y＝0时，是抛物线型方程，否则是双曲型方程（4）b2－ac＝xy，当x＝0或y＝0时，是抛物线型方程，当x和y同号时是双曲型方程，否则是椭圆型方程2.（√）证明：（1）圆形区域上Laplace方程在圆对称情况下的通解为式中r为径向极坐标，A、B为任意常数（2）球形区域上Laplace方程在球对称情况下的通解为式中r为径向球坐标，A、B为任意常数证明：（1）在极坐标下，圆型区域内，laplace方程的表达式为在圆对称情况下，原方程可化为，解得（2）同理可证3.（√）用分离变量法求解以下一维热传导方程的定解问题(1)解：设由（4）（5）代入（2）其中An由下式确定：(2)解：首先将方程化齐，为此，令代入方程，得解得于是用分离变量法解问题（12）得特征值特征函数及 因此，问题的解为4.解下列矩形域的拉普拉斯方程定解问题解：首先假设问题的解具有以下变量分离的形式（1）代入原方程，得到关于X(x)的特征值问题和Y(y)的方程（2）（3）类似与书P199中对于方程（4.2.5）、（4.2.6）的讨论，这里的参数λ只能取正值，否则只能得到零解。因此方程（2）的通解是（4）由边界条件X'(0)=0知c2=0，再由知，若要有非零解,c1≠0，必须＝0，由此λ应取以下值（n=1,2,3,…）（5）由此得到（n=1,2,3,…）（6）由方程（3）可得（7）将λ值代入方程（7），得（n=1,2,3,…）（8）从而由方程（1）得到，（9）式（9）中An=A1nCn，Bn=B1nCn，均为任意常数。根据叠加原理构造以下级数形式的解（10）令上式满足y的边界条件，得到确定系数An，Bn的方程将以上两式的右端展开为的傅立叶级数，然后逐项比较系数，得到由此解得代入方程（10），于是问题的解最终为（n=1,2,3,…）5．对于第一章习题2所述的池塘结冰问题，如果空气温度TW每天呈现周期性变化，其规律用以下方程描述 求冰层中的温度分布及厚度l的时间变化趋势，若给定冰的导温系数，TW＝－10℃，T＝5℃，＝86400s，再问冰冻三尺需几日之寒？ 提示：在求冰层中温度分布时，其厚度可作为常数考虑。在一般情况下，还可以将气温TW进一步考虑为时间t的Fourier级数以反映天气的逐日变化和中长期变化的影响。解：a）可用一维热传导方程来描述该过程，假定厚度l不变假定定解为下列形式，T=F(t)G(x)。由于温度变化是周期的，则F(t)中解的指数为虚数，原一维热传导方程可化为即解得由此将产生4个特解当时，T有界，故将T4和T3舍去，将T1和T2相加得到另一个特解用三角函数进行表示，依照边界条件确定常数A，B和λ比较得在x＝0处，其平均温度是零瞬间时初始瞬变的结果。这一变化的阶梯解是：将此式子附加至解，得:上式并不满足初始条件，所以不能用于很小的时间范围。但是对于很大的t值，趋于零，结果形成的表示式可以很好地表示在初始瞬变已消失的情况下的周期温度分布：b）厚度l的时间变化趋势由一维热传导公式可得：其中为潜热两端分别积分可得将具体数值代入上式，用matlab解得t＝6882779.6s＝79.6天。随着时间的增加，负积温逐渐累积，冰层不断加厚，但是速度越来越缓慢。6．（√）求图示的半环形区域内的稳态温度分布()边界条件为：当r＝c时，u＝u0，其余边界保持0度。解：极坐标系下的热传导方程为（提示：本题作法与第四章第2节情况3介绍的圆上Laplace方程的第一边值问题解法类似，参见p204，区别有两点：一是此处为半圆，0<<，需要用＝0和＝处的齐次边界条件代替式（2.34）的周期性边界条件来确定特征值；二是此处为环形区域，不包括r=0点，因此允许方程（2.37）中R(r)的两个解同时存在，然后根据内、外两条半圆形边界上的条件确定级数展开式的系数。）7.（√）在一降膜反应器中，液膜在重力下沿固壁表面向下流动，吸收气相中的反应组分并在液相中进行一级化学反应，参见图7.1。设膜内流速分布由下式给出（此处y＝０为气液界面）则膜内反应物的浓度分布由以下方程描述式中δ为膜厚，D为反应物在液相中的扩散系数，k为一级反应速率常数。边界条件为试导出上述问题的特征值问题，判断特征值和特征函数是否存在，给出其正交性定义。假设特征函数Yn(y)为已知,试给出膜内浓度分布c(x,y)的级数形式的解，并给出其中系数的计算公式。解：首先将边界条件化零，为此令-------------------------------------------（1）得------------------------------------------------（2）解出化为u的齐次边值问题------------------------------------------（4）其次，解上述问题，令，得-----------------------------------（5）-------------------------------------------------(6)-------------------------------------(7)式（7）为方程（4）的特征值问题，由于，故由Sturm-Liouville问题的基本定理，特征值及特征函数都存在，且特征函数带权函数v(y)/D正交，正交性定义如下特征根＝n由问题（7）中的齐次边界条件确定。最后，假定特征值问题（7）的解Yn(y)已获得，则由（6）--------------------------(9)系数An由下式确定于是所求的解答为8.证明对于周期边界条件由方程(4.3.7a)所确定的特征函数在[a,b]内是带权ρ(x)正交的。解：假设，则有(1)×ym－(2)×yn得对上式两端积分得应用边界条件上式可变为同时由于周期性边界条件且，因此，即特征函数ym、yn得带权正交。若周期性条件满足第一类齐次条件或者第二类齐次条件或自然边界条件，显然，同样得证。9.（√）将以下特征值问题化为sturm－Liouville方程的规范形式，并求出特征值和特征函数解：将特征值方程化为规范形式如下显然特征根0，特征函数yn(x)带权e-2x正交方程的通解为为使方程有非零解，可令通解可表示为由边界条件和使问题有非零解，只有因此特征值为相应的特征函数为10．（√）设一半径为R的均质圆盘，周边维持在温度TR,上下表面与环境有热交换，初始温度为T0，则圆盘的温度分布可用以下问题描述解：令原方程化为再将边界条件化齐，设特解由以下方程确定将以上方程化为0阶变形Bessel方程，并根据边界条件得到再求解的齐次边值问题令，分离变量后得到特征值问题的解为0阶Bessel函数最后用富里叶－贝赛尔级数表示由,v(r)得到F，再得到T的分布11．（√）在原子能电站的反应堆中，球形的核燃料颗粒（铀或钚）在受控裂变时生成速率为Q的单位体积热源，这一热量必须通过流动的冷却剂移出反应器。为了了解和预测颗粒温度的变化，需要考虑不定常的热量衡算方程。对于单颗粒燃料，该方程为初始与边界条件式中Tf为流动的冷却剂流体温度(常数)。试用分离变量法求出颗粒上的温度分布。解：该问题的方程与边值中都含有非其次项，难以直接用分离变量法，但可用叠加特解的办法同时将其化其或消去，为此令得令，式（6）化为 解得当，F有限，所以A＝0，代入（6）中的边界条件得：由（10）即可解出特征值，特征函数由(5)因此，所求得解为12.（√）现代血液透析装置（人工肾）的原理类似于一个逆流列管式换热器，由大约一百万只微孔中空纤维管束组成，每只中空纤维的管壁为聚合物半渗透膜。当血液从管的一头注入向另一头流出时，有害溶质如尿酸等就透过管壁膜渗出管外，由管间的透析液体（通常不含尿酸）带出。溶质在中空纤维管中的流动与传递可由以下方程描述式中v0为血液流速（常数），D是溶质在血液中的扩散系数。设未透析的血液中含溶质浓度为c0，则入口端边界条件为z=0:c=c0壁面的边界条件为式中cD为管外透析液中的溶质浓度（一般取为０），K0L为半渗透膜的传质系数，代表管壁和管外表面的传质阻力，即这里tw为管壁厚度，Dw为溶质通过管壁的扩散系数，k0为管外侧的传质系数。为了实时预测透析效果及透析速度v0的影响，需要求解上述问题。试用分离变量法求解并证明在出口端z=l处，溶质的截面平均浓度由以下关系式给出式中，特征值λn由下式确定解：不妨取cD为零（或者先将边值化齐也可以得到同样的结果），令由（3）得由于在r＝0处有奇异性，故有B＝0，于是由边界条件（3）上式可确定出特征值，特征函数为 于是问题的解为由Bessel函数的性质（第93页（5.47）式）再由p222页脚注上式结合边界条件（6）得平均浓度为于是令，式中由确定。至此，公式证毕。13.求一球壳内的轴对称稳态温度分布，设在球壳表面r=R1上温度分布为已知T=f1(θ)；在球壳内表面r=R2上，温度分布为T=f2(θ)，试用Lengendre函数给出壳体内的温度分布。解：问题由球坐标系中的Laplace方程描述，在轴对称及稳态温度