海淀区高二下期中数学

2017高二年级第二学期期中考试（海淀区）数学------理科2017.4一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1. 复数的虚部为 （）A. B.1 C. D.2. （）A. B. C. D.3. 若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则 （）A. B. C. D.4. 若均为正实数，则三个数这三个数中不小于2的数 （） A.可以不存在 B.至少有1个 C. 至少有2个 D.至多有2个5. 定义在上的函数和，其各自导函数和的图象如图所示，则函数极值点的情况是（）A.只有三个极大值点，无极小值点B.有两个极大值点，一个极小值点C.有一个极大值点，两个极小值点D.无极大值点，只有三个极小值点6.函数与函数的图象在点的切线相同，则实数的值为（）A.B.C.D.或7. 函数的大致图象是（）8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：甲同学没有加入“楹联社”;乙同学没有加入“汉服社”;加入“楹联社”的那名同学不在高二年级;加入“汉服社”的那名同学在高一年级;乙同学不在高三年级。试问：丙同学所在的社团是（）A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9. 在复平面内，复数对应的点的坐标为.10. 设函数在区间内导数存在，且有以下数据：12342341342131422413则曲线在点处的切线方程是;函数在处的导数值是．11. 如图，，则阴影部分面积是.12.如图，函数的图象经过四个点，试用“，，”填空：（1）______；（2）______.13. 已知平面向量，，那么；空间向量，，那么．由此推广到维向量：，，那么．14.函数（其中）①，使得直线为函数的一条切线；②对，函数的导函数无零点；③对，函数总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分10分）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值.16．（本小题满分10分）已知数列满足，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（本小题满分12分）已知函数，其中.（Ⅰ）求证/；当时，函数没有极值点；（Ⅱ）求函数的单调增区间．

18．（本小题满分12分）设， （Ⅰ）若，证明是函数的极小值点； （Ⅱ）求证：.海淀区高二年级第二学期期中参考答案2017.4数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9.10.；1211.12.； 13.14.①②③三、解答题:本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）解：………………（2分）令，得.；……………（3分）当变化时，,在区间上的变化状态如下：00↗极大↘极小↗…………………（6分）所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.………………（7分）…（Ⅱ）因为，，………（9分）再结合的单调性可知，函数在区间上的最小值为.………………（10分）16．（Ⅰ）由题意，，， 解得：，，………（3分）（Ⅱ）猜想：对任意的，………（4分）当时，由,猜想成立.………（5分）假设当（N*）时，猜想成立，即……（6分）则由，得………（9分） 即当时，猜想成立由①、②可知，对任意的，猜想成立，即数列的通项公式为……（10分）17.（Ⅰ）证明：函数的定义域是．………………（1分）当时，函数………………（3分），………………（5分）所以函数在定义域上单调递增.所以当时，函数没有极值点.……………（6分）（Ⅱ），………………（7分）.令，得.………………（8分）时，由可得，所以函数的增区间是；………………（9分）当时，由可得，或，所以函数的增区间是，；……………（10分）当时，由可得，或，所以函数的增区间是，；………………（11分）当时，由（Ⅰ）可知函数在定义域上单调递增.………………（12分）综上所述，当时，函数的增区间是；当时，所以函数的增区间是，；当时，函数在定义域上单调递增；当时，所以函数的增区间是，.18．解：（Ⅰ）函数的定义域为，………………（1分）若，则，．………………（2分）因为，………………（3分）且时，，即，所以在上单调递减；………………（4分）时，，即，所以在上单调递增；………………（5分）所以是函数的极小值点；………………（6分）（Ⅱ）函数的定义域为，.．………………（7分）令，则，故单调递增．………………（8分）又，………………（9分）当时，＞0，因而＞0，单增，即的单调递增区间为；