第09讲二次根式的加减(知识解读+题型精讲+随堂检测)(原卷版+解析)

第09讲二次根式加减知识点1：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点2：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点3：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【题型一：同类二次根式的判断】【典例1】（2023春•西吉县期末）下列二次根式中能与合并的是（）A． B． C． D．【变式1-1】（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【变式1-2】（2023•广陵区校级四模）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【变式1-3】（2023春•鞍山期末）能与合并的二次根式是（）A． B． C． D．【题型二：求同类二次根式中的参数】【典例2】（2023春•伊犁州期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【变式2-1】（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【变式2-2】（2023春•中江县期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【变式2-3】（2023春•乌鲁木齐期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（）A．m＝5 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝6【题型三：二次根式加减运算】【典例3】（2023春•淮北期末）计算：．【变式3-1】（2023春•武平县期末）计算：．【变式3-2】（2023春•临高县期中）计算题（1）．（2）．【变式3-3】（2023春•丰台区期末）计算：．【变式3-4】（2023春•阳山县期中）2+3﹣5﹣3．【题型四：二次根式的混合运算】【典例4】（2023春•清原县期末）计算：（1）；（2）．【变式4-1】（2023春•沂南县期末）计算：（1）；（2）．【变式4-2】（2023春•安庆期末）计算：．【变式4-3】（2023春•惠东县期末）计算：．【题型五：已知字母的值化简求值】【典例5】（2023春•南宁月考）先化简，再求值：，其中．【变式5-1】（2022春•西乡塘区校级期末）先化简，再求值：，其中．【变式5-2】（2023春•铁西区期末）先化简，再求值：，其中．【题型六：已知条件化简求值】【典例6】（2023春•鼓楼区期中）已知，，求代数式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【变式6-1】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣2，b＝4+2．（1）求ab，a﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【变式6-2】（2021秋•祁阳县期末）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+y2﹣3xy．【题型七：二次根式的新定义运算】【典例7】（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．（1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝；（2）若﹣1与m﹣是关于﹣2的因子二次根式，求m的值．【变式7-1】（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝；（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．【变式7-2】（2023春•瑶海区期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n．如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．求（﹣2）※值．1．（2023春•长垣市期末）下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．2．（2023春•十堰期中）若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（）A． B． C．2 D．53．（2023春•汤阴县期中）下列运算正确的是（）A． B． C． D．4．（2023•鼓楼区二模）计算的结果是（）A． B．2 C． D．5．（2022秋•宛城区校级期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（）A． B． C． D．6．（2023春•十堰期中）已知a是的小数部分，则的值为（）A．5 B．6 C．7 D．7．（2021•广州模拟）已知长方形的长和宽分别为、，则它的周长为．8．（2023•增城区校级一模）计算：2﹣＝．9．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7﹣]的值为．10．（2023•德城区模拟）计算：＝．11．（2023•高青县一模）已知实数m、n满足，则＝．11．（2023春•崇左月考）计算：．12．（2023春•林州市期末）计算：（1）﹣+（+1）×（﹣1）；（2）（+）×﹣2．13．（2023春•曾都区期中）已知，，求下列各式的值．（1）x2﹣y2（2）x2+y2．14．（2023春•长汀县期末）先化简，再求值：﹣6+2x，其中x＝4．

第09讲二次根式加减知识点1：同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点2：二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点3：二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）【题型一：同类二次根式的判断】【典例1】（2023春•西吉县期末）下列二次根式中能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、＝；B、；C、；D、＝3；∴与2合并的是，故选：A．【变式1-1】（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故B不符合题意；C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、∵＝2，∴与是同类二次根式，故D符合题意；故选：D．【变式1-2】（2023•广陵区校级四模）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、∵＝，∴与不是同类二次根式，故B不符合题意；C、∵＝，∴与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、∵＝3，∴与是同类二次根式，故D符合题意；故选：D．【变式1-3】（2023春•鞍山期末）能与合并的二次根式是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：＝＝2，A、＝＝2，不能与合并，不符合题意；B、＝＝3，能与合并，符合题意；C、＝＝2，不能与合并，不符合题意；D、＝＝2，不能与合并，不符合题意；故选：B．【题型二：求同类二次根式中的参数】【典例2】（2023春•伊犁州期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】D【解答】解：由题意，得：a+2＝3a，解得a＝1，故选：D．【变式2-1】（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴﹣2a+1＝7+4a，∴a＝﹣1，故选：A．【变式2-2】（2023春•中江县期末）若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解答】解：∵最简二次根式与能够合并，∴2a＝3a﹣1，解得：a＝1，故选：C．【变式2-3】（2023春•乌鲁木齐期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（）A．m＝5 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝6【答案】C【解答】解：∵＝2，∴3m﹣7＝2，∴m＝3．故选：C．【题型三：二次根式加减运算】【典例3】（2023春•淮北期末）计算：．【答案】+．【解答】解：原式＝4﹣3×++3＝+．【变式3-1】（2023春•武平县期末）计算：．【答案】﹣72．【解答】解：原式＝＝＝．【变式3-2】（2023春•临高县期中）计算题（1）．（2）．【答案】（1）﹣12；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣15＝﹣12；（2）原式＝2﹣+＝．【变式3-3】（2023春•丰台区期末）计算：．【答案】4．【解答】解：原式＝﹣2+2+3＝4．【变式3-4】（2023春•阳山县期中）2+3﹣5﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（2﹣5）+（3﹣3）＝﹣3．【题型四：二次根式的混合运算】【典例4】（2023春•清原县期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）2﹣1；（2）﹣8+2．【解答】解：（1）＝2﹣+3＝2﹣4+3＝2﹣1；（2）＝5﹣9﹣（3﹣2+1）＝5﹣9﹣3+2﹣1＝﹣8+2．【变式4-1】（2023春•沂南县期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）＝＝．【变式4-2】（2023春•安庆期末）计算：．【答案】4﹣．【解答】解：＝+﹣2＝4+﹣2＝4﹣．【变式4-3】（2023春•惠东县期末）计算：．【答案】．【解答】解：＝＝．【题型五：已知字母的值化简求值】【典例5】（2023春•南宁月考）先化简，再求值：，其中．【答案】2x2﹣5x﹣5，．【解答】解：原式＝x2﹣5+x2﹣5x＝2x2﹣5x﹣5，当时，原式＝＝．【变式5-1】（2022春•西乡塘区校级期末）先化简，再求值：，其中．【答案】3x+3，3．【解答】解：＝x2﹣2﹣x2+3x+5＝3x+3，∵，∴x+1＝，∴原式＝3（x+1）＝3．【变式5-2】（2023春•铁西区期末）先化简，再求值：，其中．【答案】见试题解答内容【解答】解：，＝x2﹣2+x2﹣x，＝2x2﹣x﹣2，当—2时，原式＝＝）＝．【题型六：已知条件化简求值】【典例6】（2023春•鼓楼区期中）已知，，求代数式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+xy+y2．【答案】（1）﹣4；（2）5．【解答】解：∵，，∴xy＝（1﹣）（1+）＝﹣1，x+y＝1﹣+1+＝2，x﹣y＝1﹣﹣1﹣＝﹣2，（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×（﹣2）＝﹣4；（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝22﹣（﹣1）＝4+1＝5．【变式6-1】（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣2，b＝4+2．（1）求ab，a﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【答案】（1）4；﹣4；（2）112+16．【解答】解：（1）∵a＝4﹣2，b＝4+2，∴ab＝（4﹣2）×（4+2）＝42﹣（2）2＝16﹣12＝4；a﹣b＝（4﹣2）﹣（4+2）＝4﹣2﹣4﹣2＝﹣4；（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣4，所以2a2+2b2﹣a2b+ab2＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）＝2×[（﹣4）2+2×4]﹣4×（﹣4）＝2×（48+8）+16＝2×56+16＝112+16．【变式6-2】（2021秋•祁阳县期末）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+y2﹣3xy．【答案】见试题解答内容【解答】解：由已知可得：x+y＝4，x﹣y＝2，xy＝1（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8；（2）x2﹣2xy+y2﹣xy＝（x﹣y）2﹣xy＝（2）2﹣1＝12﹣1＝11【题型七：二次根式的新定义运算】【典例7】（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．（1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝2；（2）若﹣1与m﹣是关于﹣2的因子二次根式，求m的值．【答案】（1）2；（2）﹣1．【解答】解：（1）根据题意得a×＝4，解得a＝2，故答案为：2；（2）根据题意得（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，所以m﹣＝﹣＝﹣（+1），解得m＝﹣1，即m的值为﹣1．【变式7-1】（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝2；（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．【答案】（1）2；（2）m＝﹣2．【解答】解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，∴＝4．∴a＝＝2；故答案为：2；（2））∵与是关于12的共轭二次根式，∴．∴18+6+3m+3m＝12．∴m（3+3）＝﹣6﹣6．∴m＝﹣2．【变式7-2】（2023春•瑶海区期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n．如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．求（﹣2）※值．【答案】3．【解答】解：由题意得：（﹣2）※＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3，∴（﹣2）※值为3．1．（2023春•长垣市期末）下列二次根式中，能与合并的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．＝，不能与合并，故本选项不符合题意；B．＝2，不能与合并，故本选项不符合题意；C．＝，不能与合并，故本选项不符合题意；D．＝2，能与合并，故本选项符合题意．故选：D．2．（2023春•十堰期中）若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（）A． B． C．2 D．5【答案】C【解答】解：∵最简二次根式和能合并，∴2x+1＝4x﹣3，解得x＝2．故选：C．3．（2023春•汤阴县期中）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、，符合题意；B、，不符合题意；C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；D、，不符合题意．故选：A．4．（2023•鼓楼区二模）计算的结果是（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：＝2．故选：D．5．（2022秋•宛城区校级期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：原式＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3，故选：A．6．（2023春•十堰期中）已知a是的小数部分，则的值为（）A．5 B．6 C．7 D．【答案】B【解答】解：∵a是的小数部分，∴a＝﹣2，∴＝5+＝5+＝5+1＝6，故选：B．7．（2021•广州模拟）已知长方形的长和宽分别为、，则它的周长