2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语检测试题含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE6第一章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)eq\a\vs4\al(一、选择题每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|－1<x≤1}，则A∩B＝(B)A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1<x≤1}C．{x|－1<x<2} D．{x|1≤x<2}解析：∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x≤1}，∴A∩B＝{x|－1<x≤1}．故选B.2．已知集合A＝{x|0≤x≤4，x∈Z}，B＝{y|y＝m2，m∈A}，则A∩B＝(A)A．{0,1,4} B．{0,1,6}C．{0,2,4} D．{0,4,16}解析：因为A＝{x|0≤x≤4，x∈Z}＝{0,1,2,3,4}，所以B＝{y|y＝m2，m∈A}＝{0,1,4,9,16}，则A∩B＝{0,1,4}．故选A.3．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤－2或x≥1}，N＝{x|－1≤x≤2}，则(∁UM)∩N＝(C)A．{x|－2≤x≤－1} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x<1} D．{x|1≤x≤2}解析：因为全集U＝R，集合M＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁UM＝{x|－2<x<1}．又N＝{x|－1≤x≤2}，所以(∁UM)∩N＝{x|－1≤x<1}．故选C.4．已知集合A＝{x∈Z|－1≤x<2}，则集合A的子集的个数为(B)A．7 B．8C．15 D．16解析：∵－1≤x<2，x∈Z，∴x＝－1,0,1，∴A＝{－1,0,1}，∴集合A的子集的个数为23＝8.故选B.5．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非英雄，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“英雄”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：方法1：由“不到长城非英雄”可知，要想成为英雄必需到过长城，因此“到长城”是“英雄”的必要不充分条件．方法2：设綈p为不到长城，推出綈q非英雄，到綈p⇒綈q，由原命题与其逆否命题等价可知q⇒p，即英雄⇒到长城，故“到长城”是“英雄”的必要不充分条件．故选B.6．“∃m，n∈Z，m2＝n2＋1998”的否定是(C)A．∀m，n∈Z，m2＝n2＋1998B．∃m，n∈Z，m2≠n2＋1998C．∀m，n∈Z，m2≠n2＋1998D．以上都不对解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：∀m，n∈Z，m2≠n2＋1998.7．下列命题中假命题的个数为(B)①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x∈R,2x＋1＝3；③∃x∈Z，x能被2和3整除；④∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.A．0 B．1C．2 D．4解析：①∀x∈R，x2≥0，∴x2＋1≥1，正确；②x＝1时，2x＋1＝3，正确；③x＝6时，x能被2和3整除，正确；④∵Δ＝4－12＝－8<0，∴x2＋2x＋3＝0无实数根，不正确．综上可知，只有④是假命题．故选B.8．“∃x>0，使得a＋x<b”是“a<b”成立的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：充分性：因为∃x>0，使得a＋x<b，所以a<a＋x<b，所以a<b，所以充分性成立；必要性：因为a<b，所以b－a>0，所以∃x∈{x|0<x<b－a}，使得a＋x<b，所以必要性成立．所以命题“∃x>0，使得a＋x<b”是“a<b”成立的充要条件．故选C.9．设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(D)A．对随意实数a，(2,1)∈AB．对随意实数a，(2,1)∉AC．当且仅当a<0时，(2,1)∉AD．当且仅当a≤eq\f(3,2)时，(2,1)∉A解析：将(2,1)代入x－y≥1，ax＋y>4与x－ay≤2中，可得2a＋1>4,2－a≤2同时成立，即a>eq\f(3,2)时，(2,1)∈A.结合各选项，知D正确．10．若x∈A，则eq\f(1,x)∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的全部非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(B)A．31 B．7C．3 D．111．若“0≤x≤4”是“a≤x≤a＋2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(B)A．{a|0<a<2} B．{a|0≤a≤2}C．{a|－2≤a≤0} D．{a|－2<a<0}解析：本题考查必要不充分条件的判定．“0≤x≤4”是“a≤x≤a＋2”的必要不充分条件，∴集合{x|a≤x≤a＋2}是集合{x|0≤x≤4}的子集．由集合的包含关系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,a＋2≤4))(其中等号不同时成立)，解得0≤a≤2，故选B.12．设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是(B)A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S解析：题目中x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特别值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满意题意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)eq\a\vs4\al(二、填空题每小题5分，共20分)13．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0.解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0”．14．命题“∃x0∈{x|x是正实数}，使eq\r(x0)<x0”的否定为假命题．(填“真”或“假”)解析：原命题的否定为“∀x∈{x|x是正实数}，使eq\r(x)≥x”，是假命题．15．若不等式|x－1|<a成立的一个充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是{a|a≥3}．解析：由|x－1|<a，得－a＋1<x<a＋1.因为不等式|x－1|<a成立的一个充分条件是0<x<4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥4，,－a＋1≤0，))得a≥3，所以实数a的取值范围是{a|a≥3}．16．已知集合A＝{x|0<x<2}，集合B＝{x|－1<x<1}，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围是－eq\f(1,2)≤m≤1.解析：由A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，得A∪B＝{x|－1<x<2}．∵集合C＝{x|mx＋1>0}，(A∪B)⊆C，①当m<0时，x<－eq\f(1,m)，∴－eq\f(1,m)≥2，∴m≥－eq\f(1,2)，∴－eq\f(1,2)≤m<0；②当m＝0时，成立；③当m>0时，x>－eq\f(1,m)，∴－eq\f(1,m)≤－1，∴m≤1，∴0<m≤1，综上所述，－eq\f(1,2)≤m≤1.eq\a\vs4\al(三、解答题写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．解：由于p：－1<x<3，－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)．依题意，得{x|－1<x<3}{x|1－a<x<1＋a}(a>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤－1，,1＋a≥3，,2a>4，))解得a>2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即{b|b≤2}．18．(12分)已知p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}，q：x∈B，且B＝{x|x≤1或x≥3}．(1)若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a的值；(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．解：A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x≤1或x≥3}．(1)由A∩B＝∅，A∪B＝R，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝1，,a＋1＝3，))解得a＝2，所以满意A∩B＝∅，A∪B＝R的实数a的值为2.(2)若p是q的充分条件，则A⊆B，又A≠∅，所以a＋1≤1或a－1≥3，解得a≤0或a≥4，所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥4}．19．(12分)设集合A＝{x|－3<x<1}，集合B＝{x||x＋a|<1}．(1)若a＝3，求A∪B；(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即B＝{x|－4<x<－2}．A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|－4<x<1}．(2)因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．又集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|－a－1<x<－a＋1}．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－1≥－3，,－a＋1<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－1>－3，,－a＋1≤1，))解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．20．(12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；(2)若A⊆(∁RB)，求实数m的取值范围．解：由已知得，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3，))解得m＝2.(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，因为A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.21．(12分)已知命题p：方程x2－2eq\r(2)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：m<1.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．解：(1)若p为真命题，则应有Δ＝8－4m解得m<2.(2)若q为真命题，即m<1，又p，q一真一假，∴①当p真q假时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<2，,m≥1，))得1≤m<2；②当p假q真时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m<1))无解．综上，m的取值范围是1≤m<2.22．(12分)已知集合A＝{x|x<－3或x>2}，B＝{x|－4<x－2<2}．(1)求A∩B，(∁RA)∪(∁RB)；(2)若集合M＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围．解：(1)∵B＝{x|－4<