甘肃省兰州市第一中学2024-2025学年高二数学4月月考试题文含解析

PAGE14-甘肃省兰州市第一中学2024-2025学年高二数学4月月考试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是假设三内角都大于.故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，留意逻辑用语的否定，属于基础题.2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确【答案】C【解析】【分析】不是正弦函数，故小前提错误.【详解】因为不是正弦函数,所以小前提不正确.故选C.【点睛】演绎推理包含大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确时，我们得到的结论才是正确的，留意小前提是蕴含在大前提中的.3.曲线的中心在()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先将曲线极坐标方程化为直角坐标方程,再将其化为标准形式,找到圆心,即可得出答案.【详解】,即,将代入上式,得,因此曲线的标准方程为:,故其中心为,在第四象限,故选:D.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程,结合了圆的相关学问,属于基础题.4.已知曲线的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设切点坐标，求出切线斜率，利用切线过原点求出切点坐标，从而得结论．详解：设切点为，则由得，又切线过原点，∴，解得，∴．故选D．点睛：本题考查导数的几何意义，曲线在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区分：曲线在处的切线方程为，若求过点处的切线，则可设切点为，由切点得切线方程，再由切线过点，代入求得，从而得切线方程．5.已知函数的导函数,且满意，则＝()A B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，然后把代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．【详解】对函数进行求导，得把代入得，干脆可求得．【点睛】本题主要是考查求一个函数的导数，属于简单题．本题值得留意的是是一个实数．6.视察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（）A.28 B.76 C.123 D.【答案】C【解析】【详解】由题视察可发觉，，，，即,故选C.考点：视察和归纳推理实力.7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参与自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试状况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是（）A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙【答案】D【解析】试题分析：假如甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，假如丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D．考点：合情推理．8.函数的定义域为，，对随意，，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数推断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只须要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的实力，属于中等题.9.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得，即在上有解，所以在上有解，即得的取值范围.【详解】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.在上有解，则.因为，所以，所以的取值范围是.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和方程的有解问题，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.(2)解答本题的关键是分别参数在上有解，即得的取值范围.10.已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】设切点为则切线方程为，从而斜率解得所以的方程为即故选C.【点睛】解本题的关键之处有：利用函数与方程思想求得；解方程.11.若是函数的极值点，则的微小值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的微小值为，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．12.已知奇函数，则函数的最大值为()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用导数求出时的最小值,再利用奇函数的性质得到时，的最大值,即为的最大值.【详解】由题知,时,,则,故时,,时,,因此在上单调递减,在上单调递增,故时,,又是奇函数,所以时,,因为时,,即,故选:B.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,考查奇函数性质的应用,须要学生敏捷应用基础学问.第Ⅱ卷（非选择题共分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，依据下面的规律，第个“金鱼”图须要火柴棒的根数为________.【答案】【解析】【分析】视察给出的3个例图,可知火柴棒根数的改变是图②的火柴棒比图①的多6根,图③的火柴棒比图②的多6根,即增加一个金鱼就增加6根火柴棒,最终结合图①的火柴棒的根数即可得出答案.【详解】由上图可知,图①火柴棒的根数为2+6=8,图②的火柴棒根数为,图③的火柴棒根数为,因此第个“金鱼”图须要火柴棒的根数为,故答案为:.【点睛】本题考查了从图形中找规律问题,体现了从特别到一般的数学方法(归纳法),难度不大.14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲【答案】1：8【解析】考查类比的方法，，所以体积比为1∶8.15.与2的大小关系为________【答案】＞【解析】【分析】平方作差即可得出．【详解】解：∵＝13+2（13+4）0，∴2，故答案为：＞．【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．16.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可.【详解】,则,若函数恰好有三个单调区间,则有两个不同的零点,即有两个不同的根,所以且,故答案为:.【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查二次方程根的问题,难度不大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设，，均为正数，且，证明：.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本不等式有,,,即,再将两边平方后化简,即可证明不等式成立.【详解】因为,,均为正数,则,,,即,当且仅当时，取等号又由题设得,即,所以,即.【点睛】本题考查不等式的证明,考查基本不等式的应用,难度不大.18.已知函数，，探讨的单调性.【答案】当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.【解析】【分析】对求导,然后依据的正负对的正负进行分状况探讨,进而得出的单调性.【详解】因为,所以,,(1)当时,,所以在上为单调递增函数;(2)当时,,则有①当时,,所以的单调递减区间为,②当时,,所以的单调递增区间为.综上所述,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间.当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.【点睛】本题考查利用导数探讨含参函数的单调性,难度不大.19.已知，若函数（为自然对数的底数）在上单调递增，求的取值范围.【答案】【解析】分析】先对求导,然后由函数在上单调递增,可知对恒成立,分别参数后可得对恒成立,令,则求出在上的最值即可得出结论.【详解】,则,因为函数在上单调递增,所以对恒成立,即对恒成立,因为,所以,则对恒成立,令,则,所以在上单调递增,所以,所以,即的取值范围是.【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查恒成立问题,一般遇见此类含参问题时,常用分别参数法或者分类探讨法解决问题.20.已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）写出直线与曲线的一般方程；（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，过点作倾斜角为的直线交曲线于，两点，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)对参数方程消参,即可得到其一般方程;(2)将伸缩变换变形为,代入曲线方程,即可得到曲线方程,再依据题意设出直线的参数方程,将之代入曲线方程,最终利用韦达定理即可得出结论.【详解】(1)对消去,可得直线的一般方程为:,对消去,可得曲线的一般方程为;(2)由得,代入曲线,得,即,则曲线的方程为,由题可设直线的参数方程为(为参数),将直线的参数方程代入曲线:,得设对应的参数分别为,则,∴.【点睛】本题考查参数方程化为一般方程,考查伸缩变换与直线参数方程几何意义的应用,须要学生对基础学问驾驭坚固且敏捷运用.21.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的一般方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的一般方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的一般方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与一般方程的互化：把参数方程化为一般方程，须要依据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的一般方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．留意方程中的参数的改变范围．22.已知函数．（1）求函数的最大值；（2）设，且，证明：．【答案】（1）0；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，利用导数得到函数的单调性，即可求解最大值．（2）由（1），把当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x，构造新函数h(x)＝f(x)－x，利用导数得到函数的单调性和极值，即可求解．【详解】（1）由题意，求得．当x∈(－∞，0)时，＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，＜0，f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0．（2）由（1）知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x．设h(x)＝f(x)－x，则．当x∈(－1，－0)时，0＜－x＜