新高考2025届高三数学3月教学质量测评试题理含解析

PAGE23-（新高考）2025届高三数学3月教学质量测评试题理（含解析）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{y|y＝}，B＝{x|（3x﹣4）（x+1）＞0}，则A∩（∁RB）＝（）A．[0，] B．[，] C．[0，） D．[，）2．若复数z满意|z﹣2﹣3i|＝5，则复数z的共轭复数不行能为（）A．5﹣7i B．﹣2﹣6i C．5+2i D．2﹣8i3．依据国家统计局数据显示，我国2010～2024年探讨生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（）A．2010～2024年，我国探讨生在校女生人数渐渐增加 B．可以预料2024年，我国探讨生在校女生人数将不低于144万 C．2017年我国探讨生在校女生人数少于男生人数 D．2024年我国探讨生在校总人数不超过285万4．设a＝log15，b＝log30，c＝log35，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a5．小学数学在“相识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生正确相识图形特征的基础上，通过习题帮助学生分辨所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个2×1的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这2×1方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过的概率为（）A． B． C． D．6．运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于50的S的值，则推断框中可以填（）A．b＜13？ B．b＜21？ C．b＜33？ D．b＜34？7．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满意CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A．1 B． C．2 D．8．已知边长为4的正方形ABCD的对角线的交点为O，以O为圆心，6为半径作圆；若点E在圆O上运动，则（）A．•+•+•+•＝72 B．•+•＝56 C．•+•+•+•＝36 D．•+•＝289．已知△ABC中，D，E分别是线段BC，AC的中点，AD与BE交于点O，且∠BOC＝90°，若BC＝2，则△ABC周长的最大值为（）A．2+2 B．2+ C．2+2 D．2+410．过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．11．函数f（x）＝5|sin2x﹣sin|x||﹣1在x∈[﹣，]上的零点个数为（）A．12 B．14 C．16 D．1812．已知函数f（x）＝xlnx+2x，若∃k∈Z，使得＞k+1在x∈（2，+∞）恒成立，则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共4小题）.13．若实数x、y满意则z＝x﹣4y的最大值为．14．已知m≥1，若函数f（x）＝有且仅有2个零点，则实数m的取值范围为．15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝32，S5＝55，则Sn＝．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P（x2，﹣y2），且S△MPF＝10，则直线MN的斜率为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知等比数列{an）的前n项和为Sn，且a3＝，S3＝．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an＞0，求数列{}的前n项和Tn．18．已知四棱锥S﹣ABCD如图所示，其中△SAB，△SBC均为等边三角形，二面角A﹣BS﹣C为直二面角，点M为线段BC的中点，点N是线段SD上靠近D的三等分点，BC∥平面SAD．（1）求证：AD⊥SM；（2）若AD＝BC，求直线AN与平面BNC所成角的正弦值．19．在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，始终养车始终爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、停车费、保险费、保养费、修理费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惊感，探讨人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如表所示：5年花费（万元）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11）[11，13）[13，15]人数60100120406020（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有10000名新车车主，若全部车主5年内新车花费ξ可视为听从正态分布N（μ，σ2），μ，σ2分别为（1）中的平均数以及方差s2，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在[5.2，13.6）的人数；（3）以频率估计概率，若从2016年A地区全部的新车车主中随机抽取4人，记花费在[9，15]的人数为X，求X的分布列以及数学期望．参考数据：≈1.4；若随机变量ξ听从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．20．已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）若直线l的倾斜角为45°，求|AB|的值；（2）记椭圆C的右顶点为D，若点M（9，yM），N（9．yN）分别在直线AD，BD上，求证：FM⊥FN．21．已知函数f（x）＝ex（mex﹣1）+x，其中m＞0．（1）若函数f（x）有2个极值点，求实数m的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）＝a仅有1个实数根，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C′的极坐标方程为ρ2﹣16ρcosα+32＝0．（1）求曲线C的一般方程以及曲线C′的直角坐标方程；（2）已知过原点的直线l与曲线C仅有1个交点M，若l与曲线C'也仅有1个交点N，求点M的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣3|+a|x﹣2|的图象关于原点对称．（1）求不等式f（x）＞x+2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤mx2+恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{y|y＝}，B＝{x|（3x﹣4）（x+1）＞0}，则A∩（∁RB）＝（）A．[0，] B．[，] C．[0，） D．[，）解：∵，∴，．故选：A．2．若复数z满意|z﹣2﹣3i|＝5，则复数z的共轭复数不行能为（）A．5﹣7i B．﹣2﹣6i C．5+2i D．2﹣8i解：设z＝a+bi，因为复数z满意|z﹣2﹣3i|＝5，则有（a﹣2）2+（b﹣3）2＝25①，对于A，若复数z的共轭复数为5﹣7i，则z＝5+7i，故a＝5，b＝7，符合①式；对于B，若复数z的共轭复数为﹣2﹣6i，则z＝﹣2+6i，故a＝﹣2，b＝6，符合①式；对于C，若复数z的共轭复数为5+2i，则z＝5﹣2i，故a＝5，b＝﹣2，不符合①式；对于D，若复数z的共轭复数为2﹣8i，则z＝2+8i，故a＝2，b＝8，符合①式．故选：C．3．依据国家统计局数据显示，我国2010～2024年探讨生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是（）A．2010～2024年，我国探讨生在校女生人数渐渐增加 B．可以预料2024年，我国探讨生在校女生人数将不低于144万 C．2017年我国探讨生在校女生人数少于男生人数 D．2024年我国探讨生在校总人数不超过285万解：对于A，通过统计图可以得到女生人数从2010年的73.6万人增长到了2024年的144.8万人，每年都在渐渐增加，故选项A正确；对于B，依据统计图中增长的趋势，预料2024年人数比2024年多，也就是说会高于144，8万人，故不低于144万人，故选项B正确；由统计图可知，2017年女生所占比例为48.4%，小于50%，即女生的人数少于男生的人数，故选项C正确；对于D，2024年女生总数为144.8万人，占比例为50.6%，故总人数为286.2万人，超过285万人，故选项D错误．故选：D．4．设a＝log15，b＝log30，c＝log35，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：，，，∵0＜log53＜log56＜log57，∴，∴，∴a＜b＜c．故选：A．5．小学数学在“相识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生正确相识图形特征的基础上，通过习题帮助学生分辨所学图形；例如在小学数学课本中有这样一个2×1的方格表（如图所示），它由2个单位小方格组成，其中每个小方格均为正方形；若在这2×1方格表的6个顶点中任取2个顶点，则这2个顶点构成的线段长度不超过的概率为（）A． B． C． D．解：作出图形如图所示，因为小正方形的边长为1，则AE＝BF＝EC＝BD＝，6个顶点中任取2个顶点的取法为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种，其中AB，BC，CD，DE，EF，AF，BE的长度为1，AE，BF，EC，BD的长度为，所以线段长度不超过的取法共有7+4＝11种，所以所求的概率为．故选：B．6．运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于50的S的值，则推断框中可以填（）A．b＜13？ B．b＜21？ C．b＜33？ D．b＜34？解：模拟程序的运行，可得：a＝1，b＝1，i＝3，S＝2，c＝2，S＝4，a＝1，b＝2满意循环的条件，i＝4，c＝3，S＝7，a＝2，b＝3满意循环的条件，i＝5，c＝5，S＝12，a＝3，b＝5满意循环的条件，i＝6，c＝8，S＝20，a＝5，b＝8满意循环的条件，i＝7，c＝13，S＝33，a＝8，b＝13满意循环的条件，i＝8，c＝21，S＝54，a＝13，b＝21由题意，此时应当不满意循环的条件，退出循环输出S的值为54，可得推断框内的条件为b＜21？．故选：B．7．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满意CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A．1 B． C．2 D．解：因为AB＝2BC＝4，AC＝2，且点M在线段AB上除A、C的位置运动，要使AB上存在一点N，满意CN⊥平面ABM，使NB＞λ恒成立，则当M恰好为C点时，为临界条件（M不行为C点，但可用来计算），即CN⊥AB，且NB＝λ，因为AB＝4，可得CN2＝4﹣λ2，CN2＝（2）2﹣（4﹣λ）2，所以4﹣λ2＝12﹣（4﹣λ）2，解得λ＝1，所以λ的最大值为1．故选：A．8．已知边长为4的正方形ABCD的对角线的交点为O，以O为圆心，6为半径作圆；若点E在圆O上运动，则（）A．•+•+•+•＝72 B．•+•＝56 C．•+•+•+•＝36 D．•+•＝28解：建立坐标系如图：则A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2），D（2，2），E（6cosθ，6sinθ），则＝（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ），＝（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ），＝（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ），＝（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ），则•＝（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）•（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）2+（2﹣6sinθ）（﹣2﹣6sinθ）＝36+24cosθ，•＝（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）•（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）（2﹣6cosθ）+（﹣2﹣6sinθ）2＝36+24sinθ，•＝（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）•（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）＝（2﹣6cosθ）2+（2﹣6sinθ）（﹣2﹣6sinθ）＝36﹣24cosθ，•＝（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）•（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）＝（2﹣6sinθ）2+（2﹣6cosθ）（﹣2﹣6cosθ）＝36﹣24sinθ，则•+•+•+•＝36+24cosθ+36﹣24cosθ+36+24sinθ+36﹣24sinθ＝144，故AC错误，•＝（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）•（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）（2﹣6cosθ）+（2﹣6sinθ）（﹣2﹣6sinθ）＝36cos2θ﹣4+36sin2θ﹣4＝36﹣8＝28，•＝（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）•（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）（2﹣6cosθ）+（﹣2﹣6sinθ）（2﹣6sinθ）＝36cos2θ﹣4+36sin2θ﹣4＝36﹣8＝28，则•+•＝28+28＝56，故D错误，B正确，故选：B．9．已知△ABC中，D，E分别是线段BC，AC的中点，AD与BE交于点O，且∠BOC＝90°，若BC＝2，则△ABC周长的最大值为（）A．2+2 B．2+ C．2+2 D．2+4解：因为∠BOC＝90°，故OD＝BC＝1，则AD＝3OD＝3；而AD2＝（AB2+AC2+2AB•AC•cosA）＝（AB2+AC2+2AB•AC•）＝（2AB2+2AC2﹣BC2），故AB2+AC2＝2AD2+BC2＝20，则AB+AC≤＝2，当且仅当AB＝AC时等号成立，故△ABC周长的最大值为2+2．故选：A．10．过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．解：设点P的坐标为（x0，y0），则直线OP的斜率为，直线l的方程为，其斜率为，∵直线OP与直线l的斜率之积为，∴•＝，即＝，∴离心率e＝＝＝＝．故选：C．11．函数f（x）＝5|sin2x﹣sin|x||﹣1在x∈[﹣，]上的零点个数为（）A．12 B．14 C．16 D．18解：由题意得：f（﹣x）＝5|sin2x﹣sin|﹣x||﹣1＝f（x），故f（x）是偶函数，故只需探讨f（x）在[0，]上的零点个数即可，此时f（x）＝5|sin2x﹣sinx|﹣1＝5|sinx（sinx﹣1）|﹣1，∵sinx﹣1≤0肯定成立，∴f（x）＝，令sinx＝t，则得到﹣5t2+5t﹣1＝0或5t2﹣5t﹣1＝0，解得：t＝或t＝，又﹣1≤t≤1，故t＝，结合y＝sinx在[0，π]和[2π，]上的图像，可知直线t＝与y＝sinx在[0，π]和[2π，]上有6个交点，t＝与y＝sinx在[π，2π]上有2个交点，故在[0，]上有8个交点，故在[﹣，]上有16个交点，故选：C．12．已知函数f（x）＝xlnx+2x，若∃k∈Z，使得＞k+1在x∈（2，+∞）恒成立，则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：因为∃k∈Z，使得＞k+1在x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）+2k＞kx+x在x∈（2，+∞）恒成立，所以k＜＝＝（x＞2），令g（x）＝（x＞2），则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣2lnx﹣4，则h′（x）＝1﹣＝，当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，因为h（8）＝4﹣2ln8＜0，h（9）＝5﹣2ln9＞0，所以∃x0∈（8，9）使得h（x0）＝0，即x0﹣2lnx0﹣4＝0，所以lnx0＝﹣2，所以当x∈（2，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（x0）＝＝＝﹣∈（4，），又因为k∈Z，所以kmax＝4，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数x、y满意则z＝x﹣4y的最大值为﹣2．解：作出不等式组对应的平面区域如图：A（﹣，1），B（2，1），C（，），作直线l：y＝x的平行线，当直线l，经过点B时，直线y＝x﹣z的纵截距最小，此时z最大．此时zmax＝2﹣4×1＝﹣2，故答案为：﹣2．14．已知m≥1，若函数f（x）＝有且仅有2个零点，则实数m的取值范围为{m|1≤m≤2或m≥3}．解：在实数域上解方程：2x2﹣5x﹣3＝0可得：，函数y＝log2（x﹣1）在定义域内单调递增，且x＝3时，y＝1＞0，结合函数f（x）的解析式可知，当m≥3时，函数有2个零点，当2＜m＜3时，y＝log2（x﹣1）＞0，故此时函数f（x）只有一个零点，当1≤m≤2时，由2x2﹣5x﹣3＝0可得，由log2（x﹣1）＝0可得x＝2，此时函数有两个零点，综上可得，实数m的取值范围是：{m|1≤m≤2或m≥3}．故答案为：{m|1≤m≤2或m≥3}．15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝32，S5＝55，则Sn＝．解：设等差数列{an}的公差为d，由题设可得：，解得：，∴Sn＝5n+×3＝，故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），若点P（x2，﹣y2），且S△MPF＝10，则直线MN的斜率为±．解：抛物线C的焦点坐标为F（1，0），设直线MN的方程为x＝my+1，联立，得y2﹣4my﹣4＝0，所以，所以|MF|＝＝＝|y1|，点P到直线MN的距离d＝＝＝，所以S△MPF＝•|MN|•d＝•|y1|•＝|my1y2|＝|﹣4m|＝10，所以m＝±，故答案为：±．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知等比数列{an）的前n项和为Sn，且a3＝，S3＝．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an＞0，求数列{}的前n项和Tn．解：（1）由题意可得，解得或，故通项公式为an＝（）n﹣1，或an＝×（﹣）n﹣1；（2）由an＞0，则an＝（）n﹣1，∴＝n•2n﹣1，∴Tn＝1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，①，2Tn＝1×21+2×22+3×23+…+n•2n，①，∴﹣Tn＝1+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n＝（1﹣n）2n﹣1，∴Tn＝（n﹣1）2n+1．18．已知四棱锥S﹣ABCD如图所示，其中△SAB，△SBC均为等边三角形，二面角A﹣BS﹣C为直二面角，点M为线段BC的中点，点N是线段SD上靠近D的三等分点，BC∥平面SAD．（1）求证：AD⊥SM；（2）若AD＝BC，求直线AN与平面BNC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵BC∥平面SAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面SAD＝AD，∴BC∥AD，∵△SBC为等边三角形，且BM＝CM，∴SM⊥BC，∴SM⊥AD．（2）取SB的中点O，连接AO，CO，∵△SAB，△SBC均为等边三角形，∴AO⊥SB，CO⊥SB，∵二面角A﹣BS﹣C为直二面角，∴平面ABS⊥平面CBS，∵AO⊂平面ABS，平面ABS∩平面CBS＝BS，∴AO⊥平面SBC，∴以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则S（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），∴＝（﹣1，，0），＝＝（﹣），∴D（﹣），＝（），∴＝＝（），∴N（﹣），∴＝（﹣1，，0），＝（﹣，﹣，），＝（﹣），设平面BNC的法向量＝（x，y，z），则，令y＝1，得＝（），设直线AN与平面BNC所成角为θ，则直线AN与平面BNC所成角的正弦值为：sinθ＝＝．19．在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，始终养车始终爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、停车费、保险费、保养费、修理费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惊感，探讨人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如表所示：5年花费（万元）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11）[11，13）[13，15]人数60100120406020（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有10000名新车车主，若全部车主5年内新车花费ξ可视为听从正态分布N（μ，σ2），μ，σ2分别为（1）中的平均数以及方差s2，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在[5.2，13.6）的人数；（3）以频率估计概率，若从2016年A地区全部的新车车主中随机抽取4人，记花费在[9，15]的人数为X，求X的分布列以及数学期望．参考数据：≈1.4；若随机变量ξ听从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．解：（1）这400名车主5年新车花费的平均数为：+12×，方差为s+（8﹣8）+（14﹣8），（2）由（1）可知，μ＝8，σ2＝8，所以σ＝2≈2.8，则P（5.2≤ξ＜13.6）＝P（μ﹣σ≤ξ＜μ+2σ）＝，故所求人数为100000×0.8185＝81850；（3）由题意可知，X～B（4，），P（X＝0）＝（），P（X＝1）＝C，P（X＝2）＝C，P（X＝3）＝C，P（X＝4）＝（）4＝，X的分布列如下：X01234P则E（X）＝4×．20．已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）若直线l的倾斜角为45°，求|AB|的值；（2）记椭圆C的右顶点为D，若点M（9，yM），N（9．yN）分别在直线AD，BD上，求证：FM⊥FN．解：（1）由椭圆的方程可得右焦点F（1，0），由题意可得直线l的方程为：y＝x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：17x2﹣18x﹣63＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝﹣，所以弦长|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝•＝；（2）证明：由题意可得右顶点D（3，0），当直线l的斜率不存在时x＝1，可以求得M（9，﹣8），N（9，8），所以kFM•kFN＝•＝﹣1，所以可证得FM⊥FN；当直线l的斜率存在时设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72＝0，x1+x2＝，x1x2＝，y1y2＝k（x1﹣1）•k（x2﹣1）＝k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2，由D，A，M共线，＝，解得yM＝，由D，B，N共线，＝，解得yN＝，故直线FM，FN的斜率之积kFM•kFN＝•＝＝＝＝＝﹣1，所以可证得：FM⊥FN21．已知函数f（x）＝ex（mex﹣1）+x，其中m＞0．（1）若函数f（x）有2个极值点，求实数m的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）＝a仅有1个实数根，求实数a的取值范围．解：（1）依题意，f′（x）＝2me2x﹣ex+1，令t＝ex，则由f′（x）＝0，可得2mt2﹣t+1＝0，则△＝1﹣8m，当m≥时，△≤0，此时f′（x）≥0，所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无极值点，不合题意，当0＜m＜时，△＞0，f′（x）＝0，得ex＝，则令x1＝ln，x2＝ln，则当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以函数f（x）有两个极值点，符合题意，综上所述，实数m的取值范围为（0，）．（2）依题意，ex（mex﹣1）+x＝a，记g（x）＝ex（mex﹣1）+x﹣a，则g′（x）＝f′（x），1°由（1）可知当m≥时，g′（x）≥0，则函数g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可知当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→+∞，所以当m≥时，函数g（x）恰有1个零点，此时a∈R．2°当0＜m＜时，g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，g′（x1）＝2me﹣e+1＝g′（x2）＝2me﹣e+1＝0，则m＝＝，所以[g（x）]极大值＝g（x1）＝me﹣e+x1﹣a＝﹣+x1﹣﹣a，[g（x）]微小值＝g（x2）＝me﹣e+x2﹣a＝﹣+x2﹣﹣a，因为当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g