2024-2025学年新教材高中数学第三章函数测评含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE9第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024山西运城高一期中)函数f(x)=x-1+2A.[1,2) B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.[1,2)∪(2,+∞)答案D解析要使函数有意义,则x-1≥0故函数f(x)的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D.2.(2024北京朝阳高一期末)已知函数y=f(x)可表示为如表所示,x0<x<22≤x<44≤x<66≤x≤8y1234则下列结论正确的是()A.f(f(4))=3B.f(x)的值域是{1,2,3,4}C.f(x)的值域是[1,4]D.f(x)在区间[4,8]上单调递增答案B解析由题意知f(4)=3,得f(f(4))=f(3)=2,故A错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B正确,C错误;由表可知,f(x)在定义域上不单调,故D错误.故选B.3.(2024山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里动身,离开家不久,发觉身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽视不计,下列图像中与上述事务吻合最好的是()答案C解析由题意,该高三学生离开家的过程中,y是x的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y仍旧是x的一次函数,斜率为负;小明最终由家到高铁站,y仍旧是x的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事务吻合最好的图像为C.故选C.4.(2024山东潍坊高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c满意f(2)<0且f(3)>0,则f(x)在(2,3)上的零点()A.至多有一个 B.有1个或2个C.有且仅有一个 D.一个也没有答案C解析由题知,函数f(x)=ax2+bx+c是连续函数,又f(2)<0,f(3)>0,由函数零点存在定理,可知f(x)在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C.5.(2024浙江杭州中学高一期中)若函数f(x)满意关系式f(x)+2f(1-x)=-3x,则f(2)的值为(A.-32 B.32 C.-52答案D解析由f(x)+2f(1-x)=-3x,令x=2,则有f(2)+2f(-1)=-32;令x=-1,则有f(-1)+2f(2)=3.由上式可得f(2)=52,6.(2024河北邯郸高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f(2)=3,则A.1 B.2 C.3 D.0答案C解析∵函数f(x)是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f(x)=ax2+2x.∵f(2)=3,∴f(2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=17.已知函数f(x)=x2+1(x≤0),2x(x>0),A.-3或5 B.3或-3C.-3 D.3或-3或5答案A解析若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A.8.(2024广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)满意:对随意的x1,x2∈[-2,2]都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则不等式f(A.-14,34 B.2C.-14,1 D.-14,2答案B解析由f(x1)-f(x2)x1-x2<0可知函数f(x)在[-2,2]上单调递减,f(x)是奇函数,所以f(x+1)>-f(1-4x)=f(4x-1).所以-2≤x二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是()A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f12=-6,f(1)=-3,f32=1B.M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+1D.M=Z,N={-1,1},f(x)=-答案ABD解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f12=-6,f(1)=-3,f32=1,由定义知M中的任一个元素,N中都有唯一的元素和它相对应,∴构成从集合M到集合N的函数,故A正确;由M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1,能构成从集合M到集合N的函数,故B正确;由M=N={1,2,3},f(x)=2x+1,∵f(2)=5,f(3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M到集合N的函数,故C错误;由M=Z,N={-1,1},f(x)=-1,x为奇数,1,x为偶数,因此能构成从集合M到集合10.(2024重庆八中高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()A.y=f(-x) B.y=f(x)+x3C.y=f(x)x D.y=x答案AB解析设F(x)=f(-x),其定义域为R,则有F(-x)=f[-(-x)]=f(x)=-f(-x)=-F(x),函数y=f(-x)为奇函数,故A正确;设F(x)=f(x)+x3,其定义域为R,则有F(-x)=f(-x)+(-x)3=-[f(x)+x3]=-F(x),函数y=f(x)+x3为奇函数,故B正确;设F(x)=f(x)x,其定义域为{x|x≠0},则有F(-x)=f(-x)-x=由于函数y=x3f(x),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D错误故选AB.11.(2024山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为()A.b2>4ac B.2a-b=1C.a-b+c=0 D.5a<b答案AD解析由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点在y轴的正半轴上得c>0.因为二次函数的图像与x轴有2个不同交点,所以Δ=b2-4ac>0,故A正确;因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a=-1,即2a-b=0,故B又因为图像过点A(-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C不正确;把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a<b,故D正确.故选AD.12.(2024山东临沂高一期中)某校学习爱好小组通过探讨发觉形如y=ax+bcx+d(ac≠0,b,d不同时为0)的函数图像可以通过反比例函数的图像平移变换而得到,则对于函数y=A.图像上点的纵坐标不行能为1B.图像关于点(1,1)成中心对称C.图像与x轴无交点D.函数在区间(1,+∞)上单调递减答案ABD解析由于y=x+2x-1=x-1+3x-1=1+3x-1,因此函数y=x+2x-1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不行能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数y=f(x)在定义域R上的值域为[0,1],则函数y=f(x-1)+1的值域为.

答案[1,2]解析函数图像的左右平移不变更函数的值域,而只有上下平移才变更函数的值域,因此函数y=f(x-1)+1的值域为[1,2].14.某单位为激励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为立方米.

答案15解析设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为y元,由题意得y=3即y=3由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.15.已知函数f(x)=3+x1+x,记f(1)+f(2)+f(4)+…+f(1024)=m,f12+f14+…+f11024=n,则m+n=.

答案2050解析由题意得f(x)+f1x=x+3x+1+1x+31x+1=x+3x+1+1+3xx+1=4(x+1)x+1=4,f(1)=3+11+1=2,∴m+n=f(1)+f12+f(2)+f1416.(2024江苏海门中学高一期中)设函数f(x)=-(x-a)2+a2,x≤0,-x2+2答案[2,+∞)解析由题意可得a>0,则满意题意的函数f(x)的图像如图所示:由数形结合可得Δ=4+4(1-a)≤0,解得a≥2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024山东德州高一期中)已知函数f(x)=x+1x(1)用定义法证明f(x)在[1,+∞)上为增函数;(2)若对∀x∈[2,4],恒有f(x)≤2m-1,求实数m的取值范围.(1)证明设1≤x1<x2,则f(x2)-f(x1)=x2+1x2-x1=(x2-x1)+x=(x2-x1)1-1x1=(x因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0且x1x2>1.所以(x2即f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2),所以f(x)在[1,+∞)上是增函数.(2)解由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,所以f(x)max=f(4)=174所以2m-1≥174,即m≥21所以m的取值范围是218,+∞.18.(12分)(2024辽宁朝阳一中高一期中)设函数f(x)=ax2+ax-1(a∈R).(1)当a=12时,求函数f(x)的零点(2)探讨函数f(x)零点的个数.解(1)当a=12时,函数f(x)=12x2+1令12x2+12x-1=0,解得x=1或x=-函数f(x)的零点为1,-2.(2)当a=0时,f(x)=ax2+ax-1=-1,函数没有零点;当a≠0时,Δ=a2+4a.若Δ=a2+4a=0,解得a=-4,此时函数f(x)有1个零点.若Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点.若Δ=a2+4a<0,解得-4<a<0,此时函数没有零点.综上所述,当a=-4时,函数f(x)有1个零点.当a<-4或a>0时,函数有2个零点,当-4<a≤0时,函数没有零点.19.(12分)(2024云南玉溪一中高一期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满意f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)函数f(x)在区间[n,1)上的值域是34,1,求n的取值范围.解(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满意f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,所以a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2x,c=1,即2ax+a+b=2x,故a=1,b=-1,c=1.所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.(2)因为f(x)=x2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f12=34,f(0)=f(1)=1,由f(x)在区间[n,1)上的值域是34,1可得0<n≤12.故n的取值范围为0,12.20.(12分)(2024江苏启东高一期中)已知函数f(x)=1x-1+12(x>0).(1)若m>n>0时,f(m)=f(n),求1m+(2)若m>n>0时,函数f(x)的定义域与值域均为[n,m],求全部m,n的值.解(1)∵f(m)=f(n),∴1m-1+12=1n-1+12.∴1m-1=1n-1,∴1m-1=1n-1或1m-1=1∵m>n>0,∴1m+1(2)由题意f(x)=1∴f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.①0<n<m≤1,则f(n)=m,f(m)=n,∴1n-12=m,②n<1<m,则f(x)min=f(1)=12=n,f(x)max=m=max{f(n),f(m)}=max32,f(m),∴m=32③1≤n<m,则f(n)=n,f(m)=m,无解.综上,m=32,n=121.(12分)(2024山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场确定安装一个可运用10年的太阳能供电设备.运用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C(单位:万元)与太阳能电池面积x(单位:平方米)之间的函数关系为C(x)=m-4x5,0≤x≤10,mx,x>10(m为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x(1)写出F(x)的解析式;(2)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知3≈1.7,10≈3.2)解(1)当0≤x≤10时,C(x)=m-由题意8=m-4×55∴C(x)=60则F(x)=10化简可得F(x)=120(2)当0≤x≤10时,F(x)=120-7.4x,可得F(x)min=F(10)=46(万元),当x>10时,F(x)=600x+610x≥2600x·610x当且仅当600x=610x,即x=101