初中数学中考要点及二次函数试题精要

初中数学中考要点及二次函数试题精要

I.定义与定义表达式一般地，自变量X和因变量y之间存在如下关系：

y=ax"2+bx+c(a,b,c为常数，a#0,且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，

a<0时，开口方向向下，lai还可以决定开口大小，lai越大开口就越小，lai越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

H.二次函数的三种表达式一般式：y=ax*2;+bx+c(a,b,c为常数，aWO)顶点式：

y=a(x-h)-2;+k［抛物线的顶点P(h,k)］交点式:y=a(x-xl)(x-x2)［仅限于与x轴有交

点A(xl,0)和B(x2,0)的抛物线］注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2a

k=(4ac-b-2;)/4axl,x2=(-b±Vb'2;-4ac)/2a

IH.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次

函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2ao对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线

的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P,坐标为P［-b/2a,(4ac-b"2;)/4a］□当-b/2a=0时,P在y轴

上；当△=b,2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时,

抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对

称轴在y轴左；当a与b异号时(即abVO),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与x轴交点个数△=b-2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。A=b*2-4ac=0

时，抛物线与x轴有1个交点。△=b.2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y=ax-2;+bx+c,当y=0时，

二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax「2;+bx+c=0此时，函数图像与x

轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线丫=2乂2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,

选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

二次函数解析式的几种形式

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，aWO).

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a#0).

(3)两根式：y=a(x-xl)(x-x2),其中xl,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次

方程ax2+bx+c=0的两个根，aWO.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标

是(h,k),h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0口寸，抛物线a(x-h)2的顶点

在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称

轴是y轴，则设y=ax~

2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax'2+k定义与定义表达式一般地，自变量x

和因变量y之间存在如下关系：y=ax-2+bx+c(a,b,c为常数，aWO,且a决定函数的开

口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。lai还可以决定开口大小，lai越

大开口就越小，lai越小开口就越大。)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常

为二次三项式。x是自变量，y是x的函数

二次函数的三种表达式

①一般式：y=ax*2+bx+c(a,b,c为常数,aWO)

②顶点式［抛物线的顶点P(h,k)］：y=a(x-h)-2+k

③交点式[仅限于与X轴有交点A(xl,O)和B(x2,0)的抛物线]:y=a(x-xl)(x-x2)

以上3种形式可进行如下转化：

①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax~2+bx+c,其顶点坐标为

(-b/2a,(4ac-b~2)/4a),即h=-b/2a=(xl+x2)/2k=(4ac-b"2)/4a

②一般式和交点式的关系xl,x2=[-b±J(b.2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

2012中考数学精选例题解析：一次函数(1)

知识考点：

掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。

精典例题：

【例1】二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么。儿、〃-4ac、2a+b、4a-20+c这

四个代数式中，值为正的有()

A、4个B、3个C、2个D、1个

解析：x=—<1

2a

2a+b>0

答案：A

评注：由抛物线开口方向判定。的符号，由对称轴的位置判例1图定人的符号,

由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定从-4改的符号，若x轴标出

了1和一1,则结合函数值可判定2a+b、a+b+c,a-0+c的符号。

【例2】已知a+8+c=0,aW0,把抛物线〉=a—+bx+c,向下平移1个单位，再向左平移5

个单位所得到的新抛物线的顶点是(一2,0),求原抛物线的解析式。

分析：①由a+b+c=O可知：原抛物线的图像经过点(1,0)；②新抛物线向右平移5个单位，再

向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为y=a(x+2)2,则原抛物线的解析式为y=a(x+2-5>+1,又易知

原抛物线过点(1,0)

,1

.•.0=a(l+2—5尸+1,解得”=一^

1,

•••原抛物线的解析式为：y=—j(x—3>+1

评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并

注意逆向思维的应用.

另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有:①开口反向(或旋转180°),

此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物

线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称；

探索与创新：

【问题】已知，抛物线y=a(x—/—+产(。、/是常数且不等于零)的顶点是A,如图所示，

抛物线)=/-2%+1的顶点是B。

(1)判断点A是否在抛物线y=/-2x+l上，为什么？

（2）如果抛物线^=。（》-，-1）2+尸经过点8,①求。的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它

的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，i

解析：（1）抛物线＞=。（兀一1-1）2+产的顶点人（r+1,产）,而》=『+1

当时，y=x2-2x+1=（x-l）2=（x+l-l）2=r2,所以点A在抛物线

y=x2-2x+l上。

（2）①顶点B（1,0）,。（1一/-1）2+产=0,•.•，，（），CI——1;②设

抛物线y=a（x—f—+产与x轴的另一交点为C,；.B（1,0),C(27+10),

可知，ZXABC为等腰直角三角形，过A作ADLX轴于D,贝I]AD=BD。当点C在点B的左边时，

r2=l-（r+l）,解得£=一1或f=o（舍）；当点c在点B的右边时，〃="+1）-1,解得『=1或r=o

（舍）。故£=±1。

评注：若抛物线的顶点与无轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用

其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。

跟踪训练：

一、选择题：

1、二次函数）＞=+Z?x+c的图像如图所示，OA=OC,则下列结论:

①)abc<0；

②4ac</?\

③Q.C—b-—1；

@2a+h<0；

⑤OAOB=-£；

a第1题图

⑥4a-28+c<0。其中正确的有(

A、2个B、3个C、4个D、5个

2、二次函数y=r+法+。的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为

y=F-2x+l,则匕与c分别等于（）A

A、6、4B、-8、14E.F

C、4,6D、-8、-14

3、如图，已知aABC中，BC=8,BC边上的高/z=4,D为RDcBC上一点，EF〃

BC交AB于E,交AC于F（EF不过A、B）,设E到BC的第3题图距离为x，4DEF

的面积为y,那么y关于x的函数图像大致是（）

口

AB

4、若抛物线丁=依2与四条直线尤=晨彳=2,y=l,y=2围成的正方形有公共点，则a的取值范围

是（）

A>—B、一WaW2C、-WaW1D、一Wa<2

4224

5、如图，一*次函数y=履+人与二次函数y=ax?+bx+c的大致图像是（）

二、填空题:

1、若抛物线丁=（，"-1）/+2"a+3加-2的最低点在工轴上，则〃z的值为

2、二次函数y=4/一如+5,当x<-2时，y随x的增大而减小；当%>-2时，y随X的增大而增

大。则当x=-l时，y的值是

3、已知二次函数的图像过点（0,3）,图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后

与无轴只有•个交点，则此二次函数的解析式为______________。

4、已知抛物线y=（〃22-2）V-4〃a+”的对称轴是x=2,且它的最高点在直线y=；x+l上，则它

的顶点为，n=«

三、解答题：

1、已知函数y=/一（加-2*+m的图像过点（一1,15）,设其图像与X轴交于点A、B,点C在

图像上，且5凶8c=1，求点C的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的

二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间/（月）之间的关系（即前

f个月的利润总和S与，之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间，（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

4s（万元）I

第2题图第4题图

3、抛物线y=1,3；=-3/和直线％=”(。＞0)分别交于A、B两点，已知NAOB=90°。

(1)求过原点0,把aAOB面积两等分的直线解析式；

(2)为使直线＞=正尢+匕与线段AB相交，那么分值应是怎样的范围才适合？

4、如图，抛物线y=ox?+4ax+r与x轴的一个交点为A(―1,0)»

(1)求抛物线与无轴的另一个交点B的坐标；

(2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,

求此抛物线的解析式；

(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它

与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4APE的周长最小？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

一、选择题：BCDDC

二、填空题：

1、2；2、-7；3、y=-(x-2)2+1；4、(2,2),n=-2；

三、解答题：

1、C(3+V2,1)或(3—/，1)、(3,-1)

1,_

2、(1)S=-『一2t；(2)10月；(3)5.5万元

2

V2

3、(1)y=——x；(2)-3WZ?W0

4

4,(1)B(—3,0)；(2)y=x?+4x+3或y=—丁—4x—3；

(3)在抛物线的对称轴上存在点P(-2,-),使4APE的周长最小。

2

2012中考数学精选例题解析函数与一元二次方程

知识考点：

1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况：

3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。

精典例题：

【例1】已抛物线y=(/«-l)x2+(m-2)x-1(m为实数)。

(1)机为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

(2)如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C,且AABC的面积为2,求该抛物线的

解析式。

分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求

一元二次方程有两个不相等的实数根相应满足的条件。

机一1H0

略解：(1)由已知有《,,解得加。。且加。1

△=〃/>o

(2)由x=0得C(0,-1)

乂•体*=旦

11时m-\

Ift-J

•••=i|A@JOC|=-------1=2

C211112m-\

44

，=—或加=一

35

.12211261

..y=—x——X-IB5Kry=——x——x-\

3355

2

［例2］已知抛物线y=--(m+8)尤+2(川+6)。

(1)求证：不论加为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上;

(2)设抛物线与y轴交于点A,与无轴交于B、C两点，当aABC的面积为48平方单位时，求“2的

值。

(3)在(2)的条件下，以BC为直径作。M,问。M是否经过抛物线的顶点P?

解析：(1)A=(m2+4)2>0,由-=加2+8>0,$占=2("/+6)>0可得证。

(2)|JBC|=-xJ=J(X]+%)~-=J(二~+8)~-8(/71：+6)

=m2+4

|OA|=2(m2+6)

又：S,c=48

.,.1-(w2+4)/(〃/+6)=48

解得〃/=2或〃/=一12(舍去)

m=±V2

(3)y—x2-10x+16,顶点(5,—9),忸C|=6

V|-9|>6

A0M不经过抛物线的顶点Po

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的

相互转化，是解相关问题的常用技巧。

探索与创新：

【问题】如图，抛物线y=i—(a+3x+—,其中a、b、c分别是△

4

ABC的NA、/B、NC的对边。

(1)求证：该抛物线与x轴必有两个交点；

(2)设有直线y=ox-Z?c与抛物线交于点E、F,与y轴交于点M,抛物

线与y轴交于点N,若抛物线的对称轴为九=a,AMNE与4MNF的面积之比为

5：1,求证：ZkABC是等边三角形；

(2)当5AAsc=百时，设抛物线与*轴交于点P、Q，问是否存在过P、

问题图

Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请

说明理由。

解析：(1)A=(a+b)2-c?=3+/?+C)(Q+/?-C)

•.•Q+/?+C>0,a+b-c>0

>0

(2)由“+"=a得a=b

2

,y=x2-(a+b)x+—、c2八

由《4得ZA：x-3cvc+一+ac=0

,4

y=ax-be

设E（玉，y,）,F（x2,y2）,那么：X]+冗2=3。，x]x2=---\-ac

由S^NE,5.心=5：1得：周=5同

xx—5X2或玉二-5X2

由X1•%>0知X]=-5X2应舍去o

{x.+x.=3aa

由12解得々二色

问题图

[元]=5X22

5（S=（+比，即5a?—4ac—c2=0

・，.Q=c或5a+c=0（舍去）

...a-b-c

•••△ABC是等边三角形。

（3）S^BC=V3,即J/=G

4

，〃=2或q=-2（舍去）

a=b=c=2,此时抛物线y=/-41+1的对称轴是尢=2,与x轴的两交点坐标为P

（2-石，0）,Q（2+50）

设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为（0,/）,由切割线定理有：t2=OPOQ

/.?=±1

故所求圆的圆心坐标为（2,—1）或（2,1）

评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分

析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一

题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

跟踪训练：

一、选择题：

、49

1、已知抛物线y=5/+（机-1）1+加与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于石，则根的

值为（）

A、-2B、12C、24D、-2或24

2

2^已知二次函数y}=ax+/zx+c（aWO）与一次函数y2=kx+m（%WO）的图像交于点A（-2,

4）,B（8,2）,如图所示，则能使y成立的x的取值范围是（）

A、x<-2B^x>8C、一2<x<8D、工<-2或1>8

3、如图，抛物线>=依2+以+C与两坐标轴的交点分别是A、B、E,且4ABE是等腰直角三角形，

AE=BE,则下列关系：①a+c=O；②b=0；③ac=-l；④=，'其中正确的有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

4、设函数y=-/+2（加一1"+m+1的图像如图所示，它与x轴交于A、B两点，线段0A与0B的

比为1:3,则加的值为（）

A、工或2-C、1D、2

33

二、填空题：

1、已知抛物线y=f一（左一1）%一34-2与无轴交于两点A（。，0）,B（£,0）,且a?+/?2=17,

贝|」左=，

2、抛物线y=X?-（2机-l）x-2〃z与x轴的两交点坐标分别是A（光।,0）,B（九2，0），且土=1，

%

则m的值为__________-

3、若抛物线y=—gx?+交x轴于A、B两点，交y轴于点C,且NACB=90°,则加

_____O

4、已知二次函数丁=依2+（2左-1）》—1与犬轴交点的横坐标为期、*2（九1<々），则对于下列结论：①

当％=-2时，y=l；②当x>%2时，y>0；③方程自2+（2左一1口一1=0有两个不相等的实数根匹、

J1+4.2

X;④X>-1;⑤％2—玉=--------，其中所有正确的结论是___________________（只

22k

填写顺号）。

三、解答题：

1、已知二次函数）=以2+〃x+c（aHO）的图像过点E（2,3）,对称轴为x=l,它的图像与x

x2

轴交于两点A（Xj,0）,B（%2，0），且不<2>X；+x2=10o

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P,使APOA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线y=-/+（m-4）x+2加+4与x轴交于点A（X1,0）,B（x2,0）两点，与y轴

交于点C,且尤|<%2，$+2々=0,若点A关于y轴的对称点是点D。

(1)求过点C、B、D的抛物线解析式；

(2)若P是(1)中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与4CBD

的面积相等，求直线PH的解析式；

1,3,

3、已知抛物线y=万厂一5加％—2机交x轴于点A(x},0),B(x2,0)两点，交y轴于点C,

且演<0<》2，(AO+80)2=1200+1。

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使NAPB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标

的范围；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：CDBD

二、填空题：

1、2；2、一；3、3；4、①③④

2

三、解答题：

1、(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，P(1+V13,-9)或(1一而，-9)

2、(1)y=6x+8；(2)y=3x—10

1,3,

3、(1)y=—x2x—2；(2)当0<Xp<3时ZAPB为锐角，当一1<Xp<0或3cxp<4时

ZAPB为钝角。

中考数学知识点速记口诀(一)

1.有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加"大"减"小"，符号跟着大的跑;绝对值相等"零"正好。【注】

"大"减"小"是指绝对值的大小。

2.合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。

3.去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前

面是负号，去、添括号都变号。

4.一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。

5.恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。

(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n

6.平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

7.完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首土尾括号带平

方，尾项符号随中央.

8.因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法,

阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六

项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。

9.”代入“口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括

弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小-中-大）

10.单项式运算：力口、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级

（进）行。

11.一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系

数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。

中考数学知识点速记口诀（二）

12.一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间，大小，小大无处找。

13.一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大（鱼）于（吃）取两边，小（鱼）于（吃）取中间。

14.分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）;乘法进行

化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;加减分母需同，分母化枳关键;找出最简公分母，通

分不是很难;变号必须两处，结果要求最简。

15.分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）

舍别含糊。

16.最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，褰指（数）根指（数）要互质，基指比根指小一

点。

17.特殊点坐标特征:坐标平面点（x,y）,横在前来纵在后;和（+,-）,四个象限分前后;X轴上y

为0,x为0在Y轴。

18.象限角的平分线:象限角的平分线，坐标特征有特点，一、三横纵都相等，二、四横纵确相反。

19.平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X轴,纵坐标相等横不同;直线平行

于Y轴,点的横坐标仍照旧。

20.对称点坐标:对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前血添负号;原点

对称最好记，横纵坐标变符号。

21.自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幕底数不为零，整式、奇次根全能行。

2012中考数学知识点速记（三）

22.函数图像的移动规律:若把•次函数解析式写成尸k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形

式，则用下面后的口诀"左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记,上正下负错不了"。

23.一次函数图像与性质口诀：一次函数是直线，图像经过仁象限;正比例函数更简单，经过原点直线;

两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负

来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大，线离横轴就越远。

24.二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、顶点和交点，它们确定图象现;

开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线,

左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

25.反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正，图在一、三（象）限,k为

负，图在二、四（象）限;图在一、三函数减，两个分支分别减。图在二、四正相反，两个分支分别添;线越长越

近轴，永远与轴不沾边。

26.巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比

值，可以把两个字用/隔开，再用下面的一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:

正对鱼磷（余邻）直刀切。正：正弦或正切，对：对边即正是对;余：余弦或余弦，令B：邻边即余是邻;切是

直角边。

27.三角函数的增减性：正增余减

28.特殊三角函数值记忆:首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切

的分母都是3,分子记口诀"123,321,三九二十七"既可。

29.平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，■

组对边也可以，必须相等且平行。对角线，是个宝，互相平分"跑不了"，对角相等也有用，"两组对角"

才能成。

30.梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线;平行移动•条腰，两腰同在"△"现；延长

两腰交一点，"△"中有平行线;作出梯形两高线，矩形显示在眼前;已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

31.添加辅助线歌：辅助线，怎么添?找出规律是关键，题中若有角（平）分线，可向两边作垂线;线段

垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线;三角形中有中线，延长中线翻一番。

2012中考数学知识点（四）

32.圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦,

直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、

弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有

内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;若

是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，

直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，

两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

33.圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似;不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，

改等积，引用射影和圆嘉，平行线，转比例，两端各自找联系。

34.正多边形诀窍歌:份相等分割圆，n值必须大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前.

35.经过分点做切线，切线相交n个点.n个交点做顶点，外切正n边形便出现.正n边形很美观，它有

内接，外切圆，内接、外切都唯两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，如果n

值为偶数，中心对称很方便.正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径

分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单.

36.函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k

经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两

点决定一条线，选定系数是关键。

37.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形

面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

38.二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上

数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

2012中考数学：几何知识146条

2012中考临近，初三生已经进入到最后的备考冲刺阶段。那么，如何在冲刺阶段查漏补缺、夯实基

础呢?为方便考生复习中考数学，整理出初中几何146条实用知识，希望考生能够及时查看。

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的•个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的•个外角大于任何个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论有两角和其中•角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理有斜边和•条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果•个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)x180。

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(axb)+2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一

点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线

段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)+2S=Lxh

83(1)比例的基本性质如果a：b=c：d,那么ad=bc;如果ad=bc,那么a：b=c：d

84⑵合比性质如果a/b=c/d,那么(a土b)/b=(c士d)/d

85(3)等比性质如果a/b=c/d=...=tn/n(b+d+...+n^0)»那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n尸a/b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形•边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

88定理如果条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行

于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应

成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相

似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

95定理如果一个直角三角形的斜边和•条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比

例，那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的条直线

109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论I①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么

它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90。的圆周角所对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线L和。O相交d<r

②直线L和。0相切d=r

③直线L和。O相离d>r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例

中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d>R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d<R-r(R>r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n>3)：

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)xl8(T7n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnm/2p表示正n边形的周长

142正三角形面积也a/4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360。，因此kx(n-2)18(y7n=360。

化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式：L=nnR/180

145扇形面积公式：S扇形=nnR/360=LR/2

146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

二次函数单元测评

一、选择题

1.下