人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 1.1集合的概念（原卷版）

第第页第01讲1.1集合的概念课程标准学习目标1.元素与集合①理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法.②了解“属于”关系的意义.③了解有限集、无限集、空集的意义.2.集合的表示方法掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化).3.元素的性质理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性.1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力.2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.知识点01：集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…表示集合.

知识拓展集合的三个特性：①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.【即学即练1】下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知识点02：元素与集合1元素与集合的关系(1)属于(belongto)：如果SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的元素，就说SKIPIF1<0属于SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0.(2)不属于(notbelongto)：如果SKIPIF1<0不是集合SKIPIF1<0的元素，就说SKIPIF1<0不属于SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0.特别说明：SKIPIF1<0表示一个元素，SKIPIF1<0表示一个集合.它们间的关系为：SKIPIF1<0.2集合元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.【即学即练2】下列集合中，不同于另外三个集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知识点03：集合的表示方法与分类1常用数集及其符号常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“SKIPIF1<0”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开．②集合中的元素必须是明确的．③集合中的元素不能重复．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定义：一般地，设SKIPIF1<0表示一个集合，把集合SKIPIF1<0中所有具有共同特征SKIPIF1<0的元素SKIPIF1<0所组成的集合表示为SKIPIF1<0，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）SKIPIF1<0（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为SKIPIF1<0图。3集合的分类根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程SKIPIF1<0的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在SKIPIF1<0图中来表示.（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式SKIPIF1<0的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。【即学即练3】已知①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③0={0}；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0，其中正确的个数为______.知识点04：集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：SKIPIF1<0,例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即学即练4】集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数m=________.题型01判断元素能否构成集合【典例1】下列各对象可以组成集合的是（

）A．与SKIPIF1<0非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校SKIPIF1<0学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【典例2】下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．SKIPIF1<0年高考数学难题C．所有有理数 D．小于SKIPIF1<0的正整数【变式1】下列四组对象中能构成集合的是（）A．宜春市第一中学高一学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数题型02判断是否为同一集合【典例1】判断下列命题是否正确．（1）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（2）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示同一集合；()（3）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0不表示同一集合；()（4）集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0表示同一集合．()【典例2】下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是同一个集合C．集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0是同一个集合D．集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0是同一个集合【变式1】设SKIPIF1<0是有理数，集合SKIPIF1<0，在下列集合中；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；与SKIPIF1<0相同的集合有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型03判断元素与集合的关系【典例1】已知集合SKIPIF1<0下列关系正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）已知集合SKIPIF1<0，则下列关系式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是

()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M题型04根据元素与集合的关系求参数【典例1】已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【典例2】若集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0___________.【变式1】已知SKIPIF1<0，则a的值为______．【变式2】集合SKIPIF1<0中所有元素之和为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0________．题型05根据集合元素互异性求参数【典例1】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【典例2】已知集合SKIPIF1<0中的元素1，4，SKIPIF1<0，且实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.【变式1】已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0构成的集合SKIPIF1<0的元素个数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】已知集合SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0______．题型06自然语言法【典例1】用自然语言描述下列集合：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.题型07列举法【典例1】集合SKIPIF1<0用列举法表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】方程组SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】设集合SKIPIF1<0，则用列举法表示集合SKIPIF1<0为______.【变式1】集合SKIPIF1<0，用列举法表示为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用列举法表示集合SKIPIF1<0_____________．题型08描述法【典例1】用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．【典例2】直角坐标平面中除去两点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0可用集合表示为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1】表示下列集合：(1)请用列举法表示方程SKIPIF1<0的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数SKIPIF1<0的图象上所有点的纵坐标组成的集合．题型09两个集合相等问题【典例1】已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．2【典例2】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【变式1】设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0题型10根据集合中元素的个数求参数【典例1】已知集合SKIPIF1<0的元素只有一个，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0或0 D．无解【典例2】已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中有两个元素，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0中至多有一个元素，求实数的SKIPIF1<0取值范围.【变式1】已知集合SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0中只有一个元素，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一个元素，求SKIPIF1<0的取值范围.题型11常见数集或数集关系的应用【典例1】下列表示正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（多选）下列关系式正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】下列关系中，正确的个数为（

）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0A．5 B．4 C．3 D．2题型12新定义题【典例1】（多选）若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】定义SKIPIF1<0若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0中元素个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【变式1】定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且SKIPIF1<0∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．本节重点方法分类讨论法【典例1】（多选）关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解集中只含有一个元素，则SKIPIF1<0的值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1】已知集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）1是SKIPIF1<0中的一个元素，用列举法表示SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0中至多有一个元素，试求SKIPIF1<0的取值范围.【变式1】已知集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是空集，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0中至多有一个元素，求SKIPIF1<0的取值范围.1.1集合的概念A夯实基础一、单选题1．设有下列关系：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正确的个数为．A．1个B．2个C．3个D．4个2．集合SKIPIF1<0中的元素个数是（

）A．0 B．4 C．5 D．63．方程x2＝x的所有实数根组成的集合为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若SKIPIF1<0，则a=（

）A．2 B．1或－1 C．1 D．－15．已知集合M=SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则M等于（

）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{SKIPIF1<0，2，3，4}6．由实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所组成的集合，最多含元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．57．若集合SKIPIF1<0中只有一个元素，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．0或SKIPIF1<08．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}二、多选题9．下列说法中不正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0表示同一个集合B．集合SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0与SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0表示同一个集合C．方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0的所有解的集合可表示为SKIPIF1<0D．集合SKIPIF1<0不能用列举法表示10．已知集合SKIPIF1<0，则有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题11．已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为_________．12．集合SKIPIF1<0的元素个数为_________．四、解答题13.用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2）方程SKIPIF1<0+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.14．已知集合SKIPIF1<0为小于6的正整数}，SKIPIF1<0为小于10的素数}，集合SKIPIF1<0为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（2）试用列举法表示集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．B能力提升1．已知集合SKIPIF1<0，则C集合中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．43．（多选）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．设关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0