人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 拓展 一元二次（分式）不等式解法及对勾函数（原卷版）

第第页拓展一一元二次（分式）不等式解法（含参数讨论问题）一、知识清单知识点01：一元二次不等式的有关概念1、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数）②SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数）③SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数）④SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均为常数）2、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的SKIPIF1<0的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.知识点02：四个二次的关系1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数SKIPIF1<0，我们把使SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0叫做二次函数SKIPIF1<0的零点．2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，它的解按照SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可分三种情况，相应地，二次函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0的解集.判别式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二次函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0的图象一元二次方程SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的根有两个不相等的实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)有两个相等的实数根SKIPIF1<0没有实数根SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的解集SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的解集SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点03：一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；2：写出相应的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0，计算判别式SKIPIF1<0：①SKIPIF1<0时，求出两根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（注意灵活运用十字相乘法）；②SKIPIF1<0时，求根SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0时，方程无解3：根据不等式，写出解集.知识点04：解分式不等式1、分式不等式定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为整式且SKIPIF1<0的不等式称为分式不等式。2、分式不等式的解法①移项化零：将分式不等式右边化为0：②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0二、题型精讲题型01一元二次不等式（不含参）的求解（首项系数为正）【典例1】若实数SKIPIF1<0满足不等式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是__________.【典例2】SKIPIF1<0的解集是_______.【典例3】不等式SKIPIF1<0的解集为______．【变式1】不等式SKIPIF1<0的解集为___________【变式2】不等式SKIPIF1<0的解集为______.题型02一元二次不等式（不含参）的求解（首项系数为负）【典例1】不等式SKIPIF1<0的解集为___________【典例2】不等式SKIPIF1<0的解集是__________.【典例3】不等式SKIPIF1<0的解集为___________.【变式1】一元二次不等式SKIPIF1<0的解集为______________【变式2】不等式SKIPIF1<0的解集为______．【变式3】不等式SKIPIF1<0的解为___________.题型03分式不等式【典例1】不等式SKIPIF1<0的解集为__________.【典例2】不等式SKIPIF1<0的解集为________．【典例3】不等式SKIPIF1<0的解集是________．【典例4】不等式SKIPIF1<0的解集是__________.【变式1】不等式SKIPIF1<0的解集是___________.【变式2】不等式SKIPIF1<0的解集为______.【变式3】解不等式SKIPIF1<0；题型04一元二次不等式（含参）的求解（两根大小不确定从两根相等开始讨论）【典例1】求关于x的不等式SKIPIF1<0的解集．【典例2】解下列关于SKIPIF1<0的不等式：SKIPIF1<0．【典例3】已知关于x的不等式SKIPIF1<0．(1)若不等式的解集为SKIPIF1<0，求a，b的值：(2)若SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0．【典例4】已知一元二次函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求实数a的取值范围；(2)求关于x的不等式SKIPIF1<0的解集．【变式1】已知关于x的不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．(1)求实数a，b的值；(2)解关于x的不等式SKIPIF1<0．【变式2】已知不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．(1)求实数a，b的值；(2)解不等式SKIPIF1<0．题型05一元二次不等式（含参）的求解（首项系数含参从0开始讨论）【典例1】已知函数SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0.【典例2】（1）若不等式SKIPIF1<0对一切实数SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．【典例3】已知SKIPIF1<0，解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．【典例4】已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0；(2)解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0.【变式1】已知二次函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．(2)解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．【变式2】已知不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，(1)求a，b的值；(2)解关于x的不等式SKIPIF1<0．【变式3】解关于x的不等式SKIPIF1<0．题型06一元二次不等式（含参）的求解（不可因式分解型）【典例1】解关于x的不等式SKIPIF1<0．【典例2】解下列关于SKIPIF1<0的不等式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；【变式1】（2023·全国·高三专题练习）解下列关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．

第07讲拓展二基本不等式与对勾函数一、知识清单1、基本不等式常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数）、代（1的代入）、解（整体解）.①凑：凑项，例：SKIPIF1<0；凑系数，例：SKIPIF1<0；②拆：例：SKIPIF1<0；③除：例：SKIPIF1<0；④1的代入：例：已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.解析：SKIPIF1<0.⑤整体解：例：已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是正数，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.解析：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.2、对勾函数对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）常考对勾函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）定义域SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0奇偶性奇函数奇偶性奇函数单调性SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减单调性SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减二、题型精讲题型01直接法【典例1】函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【典例2】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．有最小值SKIPIF1<0 B．有最大值SKIPIF1<0C．有最小值2 D．有最大值2【典例3】代数式SKIPIF1<0取得最小值时对应的SKIPIF1<0值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．2SKIPIF1<0 D．4题型02凑配法【典例1】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最值情况是（

）A．有最大值SKIPIF1<0 B．有最小值6 C．有最大值SKIPIF1<0 D．有最小值2【典例2】已知非负数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是___________.【典例3】当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则a的取值范围是__________．【变式1】若SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.题型03分离法【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】函数SKIPIF1<0的最大值为________.【典例3】已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小值是______．【变式1】当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．4【变式2】解答下列问题：(1)已知SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最小值；(2)已知SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0最小值．题型04换元法【典例1】已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为________.【典例3】求下列函数的最小值（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【变式1】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为________.【变式2】（1）求函数SKIPIF1<0的最小值及此时SKIPIF1<0的值；（2）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求此函数的最小值及此时SKIPIF1<0的值.题型05常数代换“1”的代换【典例1】设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【典例2】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可以是__________．【典例3】已知正数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.【典例4】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______．【变式1】正实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．3 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_________．【变式3】已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.【变式4】已知正数S