精炼总结平抛运动的知识点例题与练习题有答案

第4节抛体运动的规律【学问要点】1、分解平抛运动的理论根据上节的试验探究得到了这样的结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，程度方向的分运动是匀速直线运动。这个结论还可从理论上得到论证：物体以确定初速度v程度抛出后，物体只受到重力的作用，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与所受合外力方向一样，大小为a＝mg/m＝g，方向竖直向下；由于物体是被程度抛出的，在竖直方向的初速度为零。所以，平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动。而程度方向上物体不受任何外力作用，加速度为零，所以程度方向的分运动是匀速直线运动，速度大小就等于物体抛出时的速度v。OxyOxyv图4－1如图4－1所示，以物体程度抛出时的位置为坐标原点，以程度抛出的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。〔1〕位移：程度方向的分运动x＝vt竖直方向的分运动y＝EQ\F(1,2)gt2〔2〕轨迹：从以上两式中消去t，可得y＝x2y＝x2是平抛运动物体在随意时刻的位置坐标x与y所满意的方程，我们称之为平抛运动的轨迹方程。〔3〕速度：程度分速度vx＝v，竖直分速度vy＝gt根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度〔即合速度〕大小v＝设这个时刻物体的速度与竖直方向的夹角为θ，则有tan

θ＝＝。3、对平抛运动的进一步探讨〔1〕飞行时间：由于平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，有，即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。〔2〕程度射程：由于平抛运动在程度方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的程度射程即落地点与抛出点间的程度间隔x＝vt＝v即程度射程与初速度v与下落高度h有关，与其他因素无关。〔3〕落地速度：根据平抛运动的两个分运动，可得落地速度的大小以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有即落地速度也只与初速度v与下落高度h有关。xyOvty图4－2vxvyB〔x′，0〕A〔x，yxyOvty图4－2vxvyB〔x′，0〕A〔x，y〕xsvθθфθ〔5〕速度与位移两方向间的关系：做平抛运动的物体在随意时刻随意位置处，设其末速度方向与程度方向的夹角为θ，位移与程度方向的夹角为ф。如图4－2所示，由平抛运动规律得tan

θ＝，tanф＝

＝＝所以，tanθ＝2tanф〔6〕平抛物体速度反向延长线的特点：如图6－43所示，设平抛运动物体的初速度为v，从坐标原点O到A点的时间为t，A点的坐标为〔x，y〕，B点的坐标为〔x′，0〕，则由平抛运动的规律可得x＝vt，y＝EQ\F(1,2)gt2，vy＝gt又tan

θ＝＝，联立以上各式解得＝。即做平抛运动的物体在随意时刻瞬时速度的反向延长线确定通过此时程度位移的中点。xyOvvxyOvvxvy图4－3如图4－3，物体以初速度v斜向上抛出，我们以物体分开手的位置为坐标原点，以程度抛出的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。物体在程度方向不受任何外力的作用，所以物体在程度方向做匀速直线运动，速度vx＝vcosθ，则物体位置的横坐标随时间变更的规律为x＝vxt＝vtcosθ；物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体的加速度a＝g，方向竖直向下。留意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于vy＝vsinθ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变更的关系为y＝vyt－EQ\F(1,2)at2＝vt

sin

θ－EQ\F(1,2)gt2。5、斜抛物体的运动轨迹从以上两式中消去t，可得y＝－＋tanθ·x因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下探讨：〔1〕对y＝－ax2＋bx＋c，当x＝时，y有最大值ym＝＋c。所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当x＝时，y有最大值ym＝。对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。〔2〕设斜抛运动轨迹方程中的y＝0，则有x1=0，x2＝式中x2的物理意义是斜上抛运动的程度射程〔如炮弹放射后在同一程度面上的弹着点与放射位置的间隔〕。由此式可以知道，要增大射程，一是要增大放射速度，二是适当调整抛射方向，由程度射程表达式可知，在v确定时，当θ＝45°〔θ常称作投射角〕时，程度射程有最大值xm＝。6、斜抛物体的速度随时间变更的规律我们已经知道，斜抛运动可以看成是程度方向速度为v

cos

θ与竖直方向初速度为v

sin

θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t后，物体程度方向的速度vxt＝vcosθxyOvvxtθ图4－4vyt竖直方向的速度xyOvvxtθ图4－4vyt根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度〔即合速度〕大小v＝速度的方向可用图4－4中的θ表示，tanθ＝【例题解析】图4－5hθAv0【例1】如图4－5所示，一高度为hθ＝30°的斜面连接，一小球以v0＝5m/s的速度在程度面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间〔平面与斜面均光滑。图4－5hθAv0＝v0t＋EQ\F(1,2)g

sin

θ

t2。由此可求得落地的时间t。问：你同意上述解法吗？假设同意，求出所需的时间；假设不同意，则请说明理由，并求出你认为正确的结果。【解析】不同意上述解法，小球应在A点分开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。正确的解法是：假设小球干脆落至地面，则小球在空中运动的时间为t＝落地点与A点的程度间隔x＝v0t＝5×0.2m=1m。斜面底宽l＝hcotθ＝0.2×EQ\r(,3)m≈0.35m。因为x＞l，所以小球分开A点后的确不会落到斜面上，而是干脆落至地面，因此落地时间即为平抛运动时间0.2s。【例2】飞机在2km的高空以360km/h的速度沿程度航线匀速飞行，飞机在地面上视察者的正上方空投一包袱。〔g取10m/s2，不计空气阻力〕〔1〕试比较飞行员与地面视察者所见的包袱的运动轨迹。〔2〕包袱落地处离地面视察者多远？离飞机的程度间隔多大？〔3〕求包袱着地时的速度大小与方向。【解析】〔1〕飞机上的飞行员以正在飞行的飞机为参照物，从飞机上投下去的包袱由于惯性，在程度方向上仍以360km/h的速度沿原来的方向飞行，但由于分开了飞机，在竖直方向上同时进展自由落体运动，所以飞机上的飞行员只是看到包袱在飞机的正下方下落，包袱的轨迹是竖直直线；地面上的视察者是以地面为参照物的，他看见包袱做平抛运动，包袱的轨迹为抛物线。〔2〕抛体在空中的时间取决于竖直方向的运动，故t＝＝20s包袱在完成竖直方向2km运动的同时，在程度方向的位移是x＝v0t＝＝2000m即包袱落地位置距视察者的程度间隔为2000m。空中的包袱在程度方向与飞机是同方向同速度的运动，即程度方向上它们的运动状况完全一样，所以，落地时包袱与飞机的程度间隔为零。〔3〕包袱着地时，对地面速度可分解为程度方向与竖直方向的两个分速度，vx＝v0＝100m/s，vy＝gt＝10×20m/s＝200m/s故包袱着地速度的大小为vt＝m/s＝100EQ\r(,5)m/s≈224m/s。而tanθ＝＝＝2故着地速度与程度方向的夹角为θ＝arctan2。【例3】一程度放置的水管，距地面高h＝1.8m，管内横截面积S2，有水从管口处以不变的速度v＝2.0m/s源源不断地沿程度方向射出。设出口处横截面积上各处水的速度都一样，并假设水流在空中不散开，g取10m/s2，不计空气阻力，求水流稳定后在空中有多少立方米的水？【解析】水由出口处射出到落地所用的时间为t＝单位时间内喷出的水量为Q＝Sv空中水的总量为V＝Qt由以上三式联立可得图4－6AOvV＝Svm3＝2.4×m3图4－6AOv【例4】如图4－6所示，高为h的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点的正下方，则油滴的落地点必在O点的_______〔填“左〞或“右〞〕方，离O点的间隔为______________。【解析】因为油滴自车厢顶部A点脱落后，由于惯性在程度方向具有与车厢一样的初速度，因此油滴做平抛运动，程度方向做匀速直线运动x1＝vtAOAx1x2xO图4－7AOAx1x2xO图4－7又因为车厢在程度方向做匀减速直线运动，所以车厢〔O点〕的位移为x2＝vt－EQ\F(1,2)at2。如图4－7所示，x＝x1－x2，所以油滴落地点必在O点的右方，离O点的间隔为

EQ\F(a,g)h。【例5】在电影或电视中常常可以看到这样的惊险场面：一辆高速行驶的汽车从山顶上落入山谷。为了拍摄重为15000N的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车来代替实际汽车。设模型汽车与实际汽车的大小比例为1∶25，则山崖也必需用1∶25的比例模型来代替真实的山崖。设电影每秒钟放映的胶片张数是确定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以到达以假乱真的视觉效果，在实际拍摄的过程中，电影摄影机每秒拍摄的胶片数应为实景拍摄的胶片数的几倍？模型汽车在山崖上坠落前的行驶速度应是真实汽车的实际行驶速度的几倍？【解析】由h＝EQ\F(1,2)gt2，可得h∝t2，又h模＝EQ\F(1,25)h实，所以有t模＝EQ\F(1,5)t实，故实际拍摄时每秒钟拍摄的胶片张数应是实景拍摄时胶片张数的5倍。因为模型汽车飞行时间是实际汽车飞行时间的EQ\F(1,5)，而模型汽车在程度方向飞行的间隔为实际汽车在程度方向飞行间隔的EQ\F(1,25)，则由x＝v0t可得v0模＝EQ\F(1,5)v0实。图4－8xy【例6】视察节日焰火，常常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰火升空后突然爆炸成许很多多小块〔看作发光质点〕，各发光质点抛出速度v图4－8xy【解析】设某一发光质点的抛出速度为v0，与程度方向夹角为θ，将v0沿程度方向〔x轴〕与竖直方向〔y轴，向上为正方向〕正交分解。由抛体运动的探讨可知质点的位置坐标为x＝v0

cos

θ

·ty＝v0sin

θ

·t－EQ\F(1,2)gt2。联立以上两式，消去θ即得x2＋(y＋EQ\F(1,2)gt2)2＝

(v0t)2这是一个以C〔0，－EQ\F(1,2)gt2〕为圆心、以v0t为半径的圆的方程式。可见，只要初速度v0一样，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上〔在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花〞球一面扩大，一面下落〕，如图4－8所示。高一物理必修2章节练习题〔平抛运动〕一、选择题做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是〔A〕Ａ.大小相等，方向一样Ｂ.大小不等，方向不同Ｃ.大小相等，方向不同Ｄ.大小不等，方向一样在高空匀速程度飞行的飞机，每隔1s投放一物体，则〔AC〕Ａ.这些物体落地前排列在一条竖直线上从高h处以程度速度v0抛出一物体，物体落地速度方向与程度地面夹角最大的时候，h与v0的取值应为以下四组中的〔D〕Ａ.h＝30m，v0＝10m/sＢ.h＝30m，v0＝30m/sＣ.h＝50m，v0＝30m/sＤ.h＝50m，v0＝10m/s物体做平抛运动时，它的速度方向与程度方向的夹角α的正切tanα随时间t变更的图像是图1中的〔B〕tantanα0ttanα0ttanα0ttanα0tABCD图1如图2所示,重物A、B由刚性绳拴接,跨过定滑轮处于图中实际位置,此时绳恰好拉紧,重物静止在程度面上,用外力程度向左推A,当A的程度速度为vA时,如图中虚线所示,则此时B的速度为(C)30060300600vAF图2Ｂ.Ｃ.Ｄ.对于一个做平抛运动的物体，它在从抛出开始的四段连续相等的时间内，在程度方向与竖直方向的位移之比，以下说法正确的选项是〔C〕Ａ.1:2:3:4；1:4:9:16Ｂ.1:3:5:7；1:1:1:1Ｃ.1:1:1:1；1:3:5:7Ｄ.1:4:9:16；1:2:3:4在用描迹法＂探讨平抛物体的运动＂的试验中，让小球依次沿同一轨道运动，通过描点画出小球做平抛运动的轨迹，为了可以精确地描绘出运动的轨迹，下面列出了一些操作要求，你认为正确的选项有〔ABCD〕Ａ.通过调整，使斜槽的末端保持程度Ｃ.每次必需由静止释放小球Ｆ.将球位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打着伞以3m/s的速度向东急行，假设渴望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向〔AC〕Ａ.应向前倾斜，与竖直方向成370角 Ｂ.应向后倾斜，与程度方向成530角Ｃ.应向前倾斜，与程度方向成530角 Ｄ.应竖直向上acbdO图3如图3所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd，从a点正上方Ｏ以速度v程度抛出一个小球，它落在斜面的b点；假设小球从Ｏ以速度2v程度acbdO图3Ａ.b与c之间某一点Ｂ.c点Ｃ.d点Ｄ.c与d之间某一点ＡＢ图4平抛物体的运动规律可以概括为两点：〔1〕程度方向做匀速运动；〔2〕竖直方向做自由落体运动.为了探究平抛物体的运动规律，可做下面的试验：如图4所示，用小锤打击弹性金属片，Ａ球就程度习出，同时Ｂ球被松开，做自由落体运动，无论Ａ球的初速度大小如何，也无论两球开始距地面高度如何，两球总是同时落到地面，这个试验〔ＡＢ图4Ａ.只能说明上述规律中的第〔1〕条Ｂ.只能说明上述规律中的第〔2〕条二、填空题小球在离地面高为h处，以初速度v程度抛出，球从抛出到着地，速度变更量的大小为，方向为竖直向下如图5所示，飞机间隔地面高Ｈ＝500m，程度飞行速度为v1＝100m/s，追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使投弹击中汽车，则飞机应在距汽车程度间隔v1v2图5Ｈx＝800mv1v2图5ＨＡＡＣＢ图6如图6所示为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分，图中方格的边长为5cm，假设取g＝10m/s2,则〔1〕闪光频率是10Ｈz.〔2〕小球运动的程度分速度为1.5m/s.〔3〕小球经过Ｂ点时速度的大小为2.5m/s.x1ABx2A´B´图7一个同学做＂探讨平抛物体运动＂试验时，只在纸上登记了重垂线的方向，遗忘在纸上登记斜槽末端位置，并只在坐标上描出了如图7所示的曲线.如今在曲线上取Ａ、Ｂ两点，用刻度尺分别量出它们到y轴的间隔AA´＝x1x1ABx2A´B´图7三、计算题Ａ、Ｂ两小球同时从距地面高为h＝15m处的同一点抛出，初速度大小均为v0＝10m/s.Ａ球竖直向下抛出，Ｂ球程度抛出，〔空气阻力不计，g取10m/s2〕.求：〔1〕Ａ球经多长时间落地？〔2〕Ａ球落地时，Ａ、Ｂ两球间的间隔是多少？解：〔1〕Ａ球做竖直下抛运动，由平抛运动规律可知联立方程①②③解得：④〔2〕Ｂ球做平抛运动，由平抛运动规律可知联立方程②④⑤⑥解得：x＝10m、y＝5m此时，Ａ球与Ｂ球的间隔Ｌ为：所以，Ａ球经1s落地；Ａ球落地时，Ａ球与Ｂ球的间隔.跳台滑雪是英勇者的运动，它是利用依山势特殊建立的跳台进展的，运发动穿着专用滑雪板峭带雪杖在助滑路上获得高速后起跳，在空中飞行一段间隔后着陆，这项运动极为壮丽，设一位运发动由a点沿程度方向跃起，到b点着陆，如图8所示测得ab间间隔Ｌ＝40m，山坡倾角θ＝300,试计算运发动起跳的速度与他在空中飞行的时间.〔不计空气阻力，g取10m/s2〕解：由题意知，运发动