重要几何模型12-3角平分线四大模型【原卷版+解析】

第十二章重要几何模型3角平分线四大模型【题型1】角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。【典题1】(1)如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是cm(2)如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．【巩固练习】1.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝．2.已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．【题型2】截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。【典题1】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．【巩固练习】1.已知在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝2∠B，AD＝3，AC＝5，则BC＝．2.已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．3.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC＝CD，求证：∠B+∠D＝180°．4.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AE+CD＝AC；(3)求证：OE＝OD．【题型3】角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。模型分析：构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。【典题1】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．【巩固练习】1.如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．2如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE=12(AC﹣AB)．(提示：延长BE交AC于点3.已知：如图，∠BAD＝∠CAD，AB＞AC，CD⊥AD于点D，H是BC中点．求证：DH=12(AB﹣【题型4】角平分线+平行线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA//ON,交OM于点Q.则△POQ是等腰三角形.模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。【典题1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．(1)求证：BE平分∠ABC；(2)求证：AD+BC＝AB；(3)若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为．2.四边形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠BCD交AB于点E，ED⊥CD于点D，已知∠B＝40°，∠BCD＝70°．(1)求∠CED的度数；(2)求证：AD＝AE．3.如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，MN∥PQ，∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．(1)求证：BC⊥AC；(2)过点C作直线交MN于D(不与A重合)，交PQ于E，①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE＝AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD，BE，AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．1如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，(1)求证：BF＝CG；(2)若AB＝7，AC＝3，求AF的长．2.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC．求证：∠BAD+∠C＝180°．3.已知△ABC中，D为BC的中点，AG平分∠BAC,CG⊥AG于G，连结DG，若AB=6,AC=44.如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．(1)求∠AEB的度数；(2)求证：CE＝DE．5.如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．(1)线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；(2)判断△BEG的形状，并说明理由．

第十二章重要几何模型3角平分线四大模型【题型1】角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。【典题1】(1)如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是cm(2)如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．解析(1)如图①，作DE⊥AB于E，∵BC＝6cm，BD＝4cm，∴CD＝2cm，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm，故答案为：2；(2)证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE，同理，PF＝PE，∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC．【巩固练习】1.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝．答案50°解析延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝(x﹣40)°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣(x°﹣40°)﹣(x°﹣40°)＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵PA=PAPM=PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故答案为：50°．2.已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB．证明过E点作EF⊥AB于F，如图，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EF⊥AB，∴EC＝EF，∵E是CD的中点，∴ED＝EC，∴EF＝ED，而EF⊥AB，ED⊥AD，∴AE平分∠DAB．【题型2】截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。【典题1】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．解析PB+PC＞AB+AC．如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP，由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，又AP是公共边，AE＝AC，在△ACP与△AEP中AE=AC∠EAP=∠CAP∴△ACP≌△AEP(SAS)，从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，而BE＝AB+AE＝AB+AC，故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC．【巩固练习】1.已知在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝2∠B，AD＝3，AC＝5，则BC＝．答案8解析如图在BC边上截取CE＝AC，∵CD＝CD，∠ACD＝∠ECD，∴在△ACD和△ECD中AC=CE∠ACD=∠ECD∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴AD＝DE，∠A＝∠1，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，∵∠1＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝DA，∴BC＝EC+BE＝AC+DA＝3+5＝8，故答案为：8．2.已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．证明在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD=12∠在△ABD和△EBD中BE=BA∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBD．(SAS)∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC=1∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE+EC＝AB+CD．3.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC＝CD，求证：∠B+∠D＝180°．证明如图，过C作CE⊥AB于点E，作CF⊥AD交AD的延长线与点F，∵AC平分∠BAD，∴CE＝CF，在Rt△BCE和Rt△DCF中BC=CDCE=CF∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，∴∠B＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠B+∠ADC＝180°．4.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AE+CD＝AC；(3)求证：OE＝OD．答案(1)120°(2)略(3)略解析(1)解：在△ABC中，∠B＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°．∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC＝∠OAB＝12∠BAC，∠OCD＝∠OCA＝12∠在△OAC中，∠AOC＝180°﹣(∠OAC+∠OCA)＝180°﹣12(∠BAC+∠ACB)＝180°﹣1(2)证明：∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图，在△AOE和△AOF中&∴△AOE≌△AOF(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∴∠AOF＝60°，∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°，又∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COF，在△COD和△COF中&∠COD∴△COD≌△COF(ASA)，∴CD＝CF．又∵AF＝AE，∴AC＝AF+CF＝AE+CD，即AE+CD＝AC；(3)证明：∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF，∴OE＝OF，OF＝OD，∴OE＝OD．【题型3】角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。模型分析：构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。【典题1】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．证明如图所示，延长BA，CE交于点F，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，又∵AB＝AC，在Rt△ABD和Rt△ACF中∠DBA=∠ACFAB=AC∴Rt△ABD≌Rt△ACF(ASA)，∴BD＝CF，在Rt△FBE和Rt△CBE中，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠CBE，在Rt△FBE和Rt△CBE中∠FBE=∠CBEBE=BE∴Rt△FBE≌Rt△CBE(ASA)，∴EF＝EC，∴CF＝2CE，∴BD＝2CE．【巩固练习】1.如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．证明如图，延长AD交BC于点F，∵BE是角平分线，AD⊥BE，∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，又∵∠AFB＝∠1+∠C，∴∠2＝∠1+∠C．2如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE=12(AC﹣AB)．(提示：延长BE交AC于点证明如图：延长BE交AC于点F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE在△ABE和△AFE中∠AEB=∠AEFAE=AE∴△ABE≌△AFE(ASA)∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C．∴BF＝CF，∴BE=12BF=∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，∴BE=12(AC﹣3.已知：如图，∠BAD＝∠CAD，AB＞AC，CD⊥AD于点D，H是BC中点．求证：DH=12(AB﹣证明延长CD交AB于E，在△EAD和△CAD中∠EAD=∠CADAD=AD∴△EAD≌△CAD，∴AE＝AC，ED＝DC，∵ED＝DC，BH＝HC，∴DH=12∴DH=12(AB﹣AE)=12(【题型4】角平分线+平行线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA//ON,交OM于点Q.则△POQ是等腰三角形.模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。【典题1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．(1)求证：BE平分∠ABC；(2)求证：AD+BC＝AB；(3)若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积．解析(1)证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：∵AD∥BC，∴∠M＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠M，∴AB＝MB，∵AE⊥BE，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC；(2)证明：∵AB＝MB，BE⊥AE，∴AE＝ME，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△MCE中，AE=ME∠AED=∠MEC∴△ADE≌△MCE(SAS)，∴AD＝MC，∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；(3)解：∵AB＝MB，AE＝ME，∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，∴△ABM的面积＝2×4＝8，∵△ADE≌△MCE，∴△ADE的面积＝△MCE的面积，∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为．答案9解析∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝9∴MN＝9，故答案为：9．2.四边形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠BCD交AB于点E，ED⊥CD于点D，已知∠B＝40°，∠BCD＝70°．(1)求∠CED的度数；(2)求证：AD＝AE．答案(1)55°(2)略解析(1)∵CE平分∠BCD交AB于点E，∠BCD＝70°，∴∠BCE＝∠DCE＝35°，∵ED⊥CD于点D，∴∠CDE＝90°，∴∠CED＝90°﹣∠DCE＝55°；(2)过E点作EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE＝35°，∠AEF＝∠B＝40°，∴∠DEF＝∠CED﹣∠CEF＝55°﹣35°＝20°，∴∠AED＝∠AEF﹣∠DEF＝20°，∵AD∥BC，∴AD∥EF，∴∠ADE＝∠DEF＝20°，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE．3.如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，MN∥PQ，∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．(1)求证：BC⊥AC；(2)过点C作直线交MN于D(不与A重合)，交PQ于E，①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE＝AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD，BE，AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．解析(1)证明：∵MN∥PQ，∴∠NAB+∠ABQ＝180°，∵AC、BC分别平分∠NAB和∠ABQ，∴∠BAC＝12∠NAB，∠ABC＝12∠∴∠BAC+∠ABC＝12∠NAB+12∠∴∠BAC+∠ABC＝12在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣(∠BAC+∠ABC)＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥AC；(2)①证明：延长AC交PQ点F，∵MN∥PQ，∴∠AFB＝∠FAD，∵AC平分∠NAB，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝FB，∵BC⊥AC，∴C是AF的中点，∴AC＝FC，在△ACD与△FCE中&∠DAC∴△ACD≌△FCE(ASA)，∴AD＝EF，∵AB＝FB＝EF+BE，∴AD+BE＝AB②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB＝BE如图3，延长AC交PQ点F，∵MN∥PQ，∴∠AFB＝∠FAN，∠DAC＝EFC，∵AC平分∠NAB，∴∠BAF＝∠FAN，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝FB，∵BC⊥AC，∴C是AF的中点，∴AC＝FC，在△ACD与△FCE中&∴△ACD≌△FCE(ASA)，∴AD＝EF，∵AB＝FB＝BE﹣EF，∴AD+AB＝BE1如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，(1)求证：BF＝CG；(2)若AB＝7，AC＝3，求AF的长．答案(1)略(2)5解析(1)证明：如图，连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE＝EC，∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中BE=CEEF=EG∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，∴BF＝CG．(2)解：在RT△AEF和RT△AEG中AE=AEEF=EG∴RT△AEF≌RT△AEG(HL)，∴AF＝AG，∵Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，∴BF＝CG，∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF，∴2AF＝10，∴AF＝5．2.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC．求证：∠BAD+∠C＝180°．证明在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△ABD和△EBD中AB=BE∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠A＝∠BED，AD＝DE，∵AD＝DC，∴DE＝DC，∴∠C＝∠DEC，∵∠BED+∠DEC＝∠A+∠DEC＝∠A+∠C＝180°，即∠BAD+∠C＝180°．3.已知△ABC中，D为BC的中点，AG平分∠BAC,CG⊥AG于G，连结DG，若AB=6,AC=4答案1解析延长CG交AB于点E，∵AG平分∠BAC,CG⊥AG∴