专题04相似三角形的证明与计算(原卷版+解析)

相似三角形的证明与计算华师版数学九年级上册期末考试，通常用“相似三角形的证明与计算”，作为解答题的第二题。该题由于是第二个解答题，难度不大。关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质。1．已知：如图，△ABC中，，平分．(1)求证：；(2)试说明．2．如图，已知D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，DEBC，DFAC．(1)求证：△ADE∽△DBF；(2)若，，求△ADE的面积．3．如图，在水平桌面上的两个“E”，当点在一条直线上时，在点O处用①号“E”（大“E”）测得的视力与用②号“E”（小“E”）测得的视力效果相同．(1)与相似吗？请说明理由．(2)图中满足的数量关系为___________．(3)若，①号“E”的测量距离，要使得测得的视力相同，则②号“E”的测量距离为___________．4．已知：如图，在△ABC中，点、分别在、上，平行于，点在边上，且，与相交于点求证：AB·GE=EF·AF．5．如图，点B，C，E在同一条直线上，且．点A和点D在的同侧，．(1)求证：；(2)若，求CD的长．6．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB,AC上，，连接BE,CD相交于点O，．(1)求线段的长；(2)若，求的面积．7．如图，在四边形中，，，点E在上，．(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)若，，，求的面积．8．如图，已知D、E、F分别是△ABC的、、边上的点，，(1)求证：△ADE∽△DBF；(2)若，，求的面积．9．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，．(1)求证：；(2)求．10．如图，在中，D，E分别是上的点，的平分线交于点G，交于点F．（1)求证：；(2)若，求的长．11．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，(1)求证：；(2)如图求的值．12．如图，在中，，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且．若，，，求BD的长．13．如图，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以1的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．(1)求经过几秒，△PBQ的面积等于？(2)△PBQ的面积能否等于？请说明理由．(3)求经过多少秒，与相似？14．如图，已知中，，点D、E分别在边、上，．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若，，，求点E到的距离．15．如图，正方形中，对角线相交于点O，点P在上，连接，延长交于点Q，过点P作分别交于点E、F．(1)求证：△APE∽△DBQ；(2)求证：．16．如图，是一块三角形的铁皮，长为，边上的高长为，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边在上，其余两个顶点E，H分别在上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽．17．如图1，中，，是的高．(1)△ADE与相似吗？为什么？(2)如图2，若，，的中点为F，的中点为M，连接，求的长．18．如图，，分别是的边，上的点，，，，．(1)求证：△ABD∽△ACB；(2)若，求的长．19．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，(1)试说明：△ABC∽△ADE；(2)若AC=2AE，BC=6，求DE的长．20．在中，，，是的角平分线．(1)找出图中的相似三角形，并证明；(2)求出的值．21．如图，在△ABC中，点D、F分别是边、上的点，和交于点E．(1)如果BF·AB=BD·BC，求证：EF·CE=DE·AE；(2)如果AE·BF=2AF·DE，求证：是△ABC的中线．22．如图，，且，点D在内部，连接．(1)求证：．(2)若，且，求的长．23．已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且．(1)求证：;(2)求证：．24．如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部,当她向前再步行12m到Q点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部.已知小萌的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求两路灯之间的距离.(2)当小萌在A，B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由.25．如图，中，，，过点的射线与斜边交于点，且满足，于点，求证：．26．如图，在矩形中，，，是边的中点，点在线段上，过作于，设．(1)求证：．(2)当点在线段上运动时，是否存在实数，使得以点，，为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．27．如图，平行四边形ABCD中，，交于F．(1)求与周长之比；(2)如果的面积为25，求四边形的面积．28．如图，在△ABC中，，D是AB上一点，且，交CD的延长线于点E．(1)求证：△ACB∽△DEB；(2)若，，求BE的长．29．如图，在△ABC中，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使．(1)求证：；(2)当时，求的长．30．已知：如图，在梯形中，，对角线相交于点E，点F在边上，且．已知．(1)求：的长；(2)填空：若，则___________．相似三角形的证明与计算华师版数学九年级上册期末考试，通常用“相似三角形的证明与计算”，作为解答题的第二题。该题由于是第二个解答题，难度不大。关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质。1．已知：如图，△ABC中，，平分．(1)求证：；(2)试说明．【答案】(1)见解析；(2)见解析【详解】（1）证明：∵，平分，∴，∴；（2）解：在和中，，∴，∴，即，∵∴．2．如图，已知D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，DEBC，DFAC．(1)求证：△ADE∽△DBF；(2)若，，求△ADE的面积．【答案】(1)见解析；(2)4【详解】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，∴△ADE∽△DBF．（2）解：∵△ADE∽△DBF，，∴，∵，∴，∴△ADE的面积是4．3．如图，在水平桌面上的两个“E”，当点在一条直线上时，在点O处用①号“E”（大“E”）测得的视力与用②号“E”（小“E”）测得的视力效果相同．(1)与相似吗？请说明理由．(2)图中满足的数量关系为___________．(3)若，①号“E”的测量距离，要使得测得的视力相同，则②号“E”的测量距离为___________．【答案】(1)相似，理由见解析；(2)；(3)5【详解】（1）解：相似，理由如下：如图，连接，，根据题意得：，，∴，∴；（2）解：∵∴，即；故答案为：（3）解：∵，，，∴，解得：．故答案为：54．已知：如图，在△ABC中，点、分别在、上，平行于，点在边上，且，与相交于点求证：AB·GE=EF·AF．【答案】见解析【详解】证明：∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．5．如图，点B，C，E在同一条直线上，且．点A和点D在的同侧，．(1)求证：；(2)若，求CD的长．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．6．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB,AC上，，连接BE,CD相交于点O，．(1)求线段的长；(2)若，求的面积．【答案】(1)10；(2)2.8【详解】（1）解∶∵，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，解得：；（2）解∶∵，∴△ODE∽△OBC，∴，，∵，∴，，∴．7．如图，在四边形中，，，点E在上，．(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)若，，，求的面积．【答案】(1)见解析;(2)【详解】（1）∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴△ADE∽△BEC；（2）∵△ADE∽△BEC，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．8．如图，已知D、E、F分别是△ABC的、、边上的点，，(1)求证：△ADE∽△DBF；(2)若，，求的面积．【答案】(1)详见解析;(2)【详解】（1）证明：，，△ADE∽△DBF（2）解：，又△ADE∽△DBF，，9．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，．(1)求证：；(2)求．【答案】(1)见解析;(2)．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．10．如图，在中，D，E分别是上的点，的平分线交于点G，交于点F．（1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【详解】（1）证明：平分，，又，；（2）解：，，，，又，，．11．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，(1)求证：；(2)如图求的值．【答案】(1)见解析；(2)【详解】（1）解：∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∴，即，∵，∴，即．12．如图，在中，，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且．若，，，求BD的长．【答案】BD的长为或．【详解】解：设，则，在中，，则，由题意可得：又∵∴∴∴，即，化简可得解得：，BD的长为或．13．如图，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以1的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．(1)求经过几秒，△PBQ的面积等于？(2)△PBQ的面积能否等于？请说明理由．(3)求经过多少秒，与相似？【答案】(1)1;(2)不能，理由见解析;(3)经过或秒，与相似【详解】（1）解：设经过x秒以后△PBQ面积为，则

，整理得：，解得：，∵当时，，∴不合题意，答：1秒后△PBQ的面积等于；（2）解：的面积不能等于，理由如下∶设经过t秒以后△PBQ面积为，则，整理得：，，所以此方程无解，故的面积不能等于．（3）设经过m秒，与相似，当时，即，解得；当时，，即，解得；综上所述，当或时，与相似．14．如图，已知中，，点D、E分别在边、上，．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若，，，求点E到的距离．【答案】(1)证明见解析;(2)【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，∴△ABD∽△DCE．（2）解：，，，，，∵△ABD∽△DCE，，即，解得，如图，过点作于点，过点作于点，则，，，，即，解得，即点到的距离为．15．如图，正方形中，对角线相交于点O，点P在上，连接，延长交于点Q，过点P作分别交于点E、F．(1)求证：△APE∽△DBQ；(2)求证：．【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】（1）∵四边形为正方形，∴，，∴．∵，∴，∴，即，∴△APE∽△DBQ；（2）由（1）可知．∵，，∴．∵四边形为正方形，∴，∴，∴，即．16．如图，是一块三角形的铁皮，长为，边上的高长为，要将它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边在上，其余两个顶点E，H分别在上，且矩形的面积是三角形面积的一半，求这个矩形的长和宽．【答案】长为，宽为【详解】解：设矩形的长为，的高为h，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即：，，∴矩形宽为，∵，∴，即，解得：，∴，∴这个矩形的长为，宽为．17．如图1，中，，是的高．(1)△ADE与相似吗？为什么？(2)如图2，若，，的中点为F，的中点为M，连接，求的长．【答案】(1)，理由见解析；(2)【详解】（1）、是的高．，，，，即，，；（2）连接、，∵是的高，为的中点，∴在中，，同理可得，∴，∵是的中点，∴，由，设，∴，∴，∵∴，∵，且，∴．∴．18．如图，，分别是的边，上的点，，，，．(1)求证：△ABD∽△ACB；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）解：∵，，，．∴，∴，∵，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB．（2）∵△ABD∽△ACB，∴，又∵，∴．19．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，(1)试说明：△ABC∽△ADE；(2)若AC=2AE，BC=6，求DE的长．【答案】(1)见解析;(2)3【详解】（1）解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，∴∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠C，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴，∵AC=2AE，BC=6，∴，∴DE=3，即DE的长是3．20．在中，，，是的角平分线．(1)找出图中的相似三角形，并证明；(2)求出的值．【答案】(1)△BDC∽△ABC，证明见解析;(2)【详解】（1）△BDC∽△ABC．证明：，，，∵BD是△ABC的角平分线，，，，∴△BDC∽△ABC．（2）解：，，，，，，设，，∽，，，，解得，不符合题意，舍去，，．21．如图，在△ABC中，点D、F分别是边、上的点，和交于点E．(1)如果BF·AB=BD·BC，求证：EF·CE=DE·AE；(2)如果AE·BF=2AF·DE，求证：是△ABC的中线．【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】（1）证明：∵BF·AB=BD·BC，∴，∵，∴，∴，又∵，∴△AEF∽△CED，∴,∴EF·CE=DE·AE；（2）过D作交于G，则，∴，∵AE·BF=2AF·DE，∴，∴，即，∵，∴，∴D为的中点，是△ABC的中线．22．如图，，且，点D在内部，连接．(1)求证：．(2)若，且，求的长．【答案】(1)见解析;(2)【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．23．已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且．(1)求证：;(2)求证：．【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】（1）证明：∵，∴，∵菱形，∴，∴，∴，∵中，点E是的中点，∴，∴，∵，∴．∴，即．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．24．如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部,当她向前再步行12m到Q点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部.已知小萌的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=xm.(1)求两路灯之间的距离.(2)当小萌在A，B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由.【答案】(1)18m;(2)两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m【详解】（1）如图，连接AC，∵DP⊥AB，CB⊥AB，∴，∴∽，∴，即：，解得：x=3，∴AB=2×3+12=18（m）（2）如图，当小萌在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为ON，在B路灯下的影子长度为OM，∵AD⊥AB，BC⊥AB，OE⊥OB，∴，∴∽，∽，∴，，则，，整理得：，，ON+OM=MN=由（1）得：AB=18m，∴MN=，解得：MN=3.6m，故：两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m25．如图，中，，，过点的射线与斜边交于点，且满足，于点，求证：．【答案】证明见解析【详解】过作于，则，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，．26．如图，在矩形中，，，是边的中点，点在线段上，过作于，设．(1)求证：．(2)当点在线段上运动时，是否存在实数，使得以点，，为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析;