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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年福建省莆田十中高三(上)模拟数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2),P(X≤5)=0.55,则P(X≤1)=A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.92.已知A={x|mx+1mx−1≤0},若2∈A,则m的取值范围是A.−12≤m<12 B.−12≤m≤123.若抛物线y2=2px的准线经过双曲线x2−y2A.−2 B.−3 C.−4 D.−54.已知四棱锥P−ABCD的各顶点在同一球面上,若AD=2AB=2BC=2CD=4,△PAB为正三角形,且面PAB⊥面ABCD,则该球的表面积为(

)A.133π B.16π C.5235.已知等比数列{an}中,a1=1,Sn为{an}A.7 B.9 C.15 D.306.已知函数f(x)=alnx+bb,其中a,b均为正数.若f(8b)−f(3b)=2,则e−A.2e B.e2 C.27.有一组样本数据:x1,x2,…,x8,其平均数为2,由这组样本数据得到新样本数据:x1,x2,…,x8A.众数 B.中位数 C.方差 D.极差8.若曲线y=ax+1ex有且仅有一条过坐标原点的切线,则正数a的值为A.14 B.24 C.1二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.若a=log30.3,b=30.3,A.b<a B.c<b C.a<c D.a<b10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,已知O(0,0),A(2,0),点P满足PAPO=的轨迹为圆C,下列结论正确的是(

)A.圆C的方程是(x+2)2+y2=9

B.过点A且斜率为12的直线被圆C截得的弦长为4305

C.圆C与圆(x−1)2+(y−4)211.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=f(x)ey+f(y)eA.f(0)=0 B.f(−1)=−e2

C.exf(x)为奇函数 D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知复数z=2cosθ+isinθ1+i(θ∈R)的实部为0,则tan2θ=13.已知空间中有三点O(0,0,0),A(1,−1,1),B(1,1,0),则点O到直线AB的距离为______.14.已知2x2+y2−2xy−2x−1=0.若y>x>1,求y的最大值为______;若x>1且四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校体育节组织比赛,需要志愿者参加服务的项目有:60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力.

(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务,求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下,选择3000米服务的概率;

(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况,从志愿者中抽取了15名同学,其中有9名首选100米,6名首选4×100米接力.现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选4×100米接力的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望.16.(本小题15分)

在如图所示的几何体中,PA⊥平面ABCD,PA//QD,四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AB=PA=1,PQ=22.

(Ⅰ)求证:直线PB//平面DCQ;

(Ⅱ)求直线PB与平面PCQ所成角的正弦值;

(Ⅲ)求平面PCQ与平面DCQ17.(本小题15分)

三角学于十七世纪传入中国,此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究,对三角学的现代化发展作出了巨大贡献,三倍角公式就是三角学中的重要公式之一,类似二倍角的展开,三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和,再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.

(1)证明:sin3x=3sinx−4sin3x;

(2)若sin10°∈(1n+1,18.(本小题17分)

已知P为平面上的动点,记其轨迹为Γ.

(1)请从以下两个条件中选择一个,求对应的Γ的方程.①已知点T(−1,0),直线l:x=−4,动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为12;②设E是圆O:x2+y2=4上的动点,过E作直线EG垂直于x轴,垂足为G,且GP=32GE.

(2)在(1)的条件下,设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A,B,若过点K(1,0)的直线m的斜率存在且不为0,设直线m交曲线Γ于点M,N,直线n过点T(−1,0)且与x轴垂直,直线AM交直线n于点19.(本小题17分)

对于数列{an},数列{an+1−an}称为数列{an}的差数列或一阶差数列.{an}差数列的差数列,称为{an}的二阶差数列.一般地,{an}的k阶差数列的差数列,称为{an}的k+1阶差数列.如果{an}的k阶差数列为常数列,而k−1阶差数列不是常数列,那么{an}就称为k阶等差数列.

(1)已知20,24,26,25,20是一个k阶等差数列{an}的前5项.求k参考答案1.A

2.A

3.C

4.C

5.C

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.BD

11.ABC

12.4313.3014.3

3

15.解:(1)记作事件A为“选择60米袋鼠跳服务”,事件B为“3000米服务”,

则P(A)=C52C63=12,P(AB)=C41C63=15,

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1512=25,

即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下,选择3000米服务的概率25;

(2)X0123P12216274所以E(X)=0×126516.(Ⅰ)证明:因为PA//QD,PA⊄平面DCQ,QD⊂平面DCQ,

所以PA//平面DCQ,

因为四边形ABCD为平行四边形,

所以AB/​/CD,

又AB⊄平面DCQ,CD⊂平面DCQ,

所以AB/​/平面DCQ,

因为PA∩AB=A,PA、AB⊂平面PAB,

所以平面PAB/​/平面CDQ,

又PB⊂平面PAB,所以直线PB/​/平面DCQ.

(Ⅱ)解:因为∠ABC=60°,∠BAC=90°,AB=1,

所以AC=3,BC=2=AD,

又PA⊥平面ABCD,PA//QD,PA=1,PQ=22,

所以DQ=PA+PQ2−AD2=1+8−4=3,

以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则P(0,0,1),B(1,0,0),C(0,3,0),D(−1,3,0),Q(−1,3,3),

所以PB=(1,0,−1),PC=(0,3,−1),CQ=(−1,0,3),

设平面PCQ的法向量为n=(x,y,z),则n⋅PC=3y−z=0n⋅CQ=−x+3z=0,

取y=1,则x=33,z=3,所以n=(33,1,3),

设直线PB与平面PCQ所成角为θ,则sinθ=|cos<PB,n>|=|PB⋅n17.解:(1)证明:sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcosx⋅cosx+(1−2sin2x)sinx=2sinx(1−sin2x)+sinx−2sin3x=3sinx−4sin3x;

(2)由(1)可知,sin30°=3sin10°−4sin310°=12,

即sin10°是方程4x3−3x+12=0的一个实根.

令f(x)=4x3−3x+12,f′(x)=1218.解:(1)选①,设P(x,y),

由(x+1)2+y2|x+4|=12,

化简得x24+y23=1,

即所求轨迹Γ的方程为x24+y23=1.

选②,设P(x0,y0),G(x0,0),

由GP=32GE,

得E(x0,23y0),

代入圆O的方程O:x2+y2=4,

则x02+(23y0)2=4,

整理得x024+y023=1,

即所求轨迹Γ的方程为x2419.解:(1)由题意数列{an+1−an}称为数列{an}的差数列或一阶差数列.

{an}差数列的差数列,称为{an}的二阶差数列,

{an}的k阶差数列的差数列,称为{an}的k+1阶差数列.

可得{an}的一阶差数列为4,2,−1,−5;

二阶差数列为−2,−3,−4;

三阶差数列为−1,−1,−1为常数列,故{an}为三阶等差数列,即k=3,

二阶差数列的第4项为−5,一阶差数列的第5项为−10,即a6−a5=−10,故

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