2024-2025学年福建省莆田十中高三（上）模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省莆田十中高三（上）模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，P(X≤5)=0.55，则P(X≤1)=A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.92.已知A={x|mx+1mx−1≤0}，若2∈A，则m的取值范围是A.−12≤m<12 B.−12≤m≤123.若抛物线y2=2px的准线经过双曲线x2−y2A.−2 B.−3 C.−4 D.−54.已知四棱锥P−ABCD的各顶点在同一球面上，若AD=2AB=2BC=2CD=4，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，则该球的表面积为(

)A.133π B.16π C.5235.已知等比数列{an}中，a1=1，Sn为{an}A.7 B.9 C.15 D.306.已知函数f(x)=alnx+bb，其中a，b均为正数.若f(8b)−f(3b)=2，则e−A.2e B.e2 C.27.有一组样本数据：x1，x2，…，x8，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：x1，x2，…，x8A.众数 B.中位数 C.方差 D.极差8.若曲线y=ax+1ex有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为A.14 B.24 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若a=log30.3，b=30.3，A.b<a B.c<b C.a<c D.a<b10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知O(0,0)，A(2,0)，点P满足PAPO=的轨迹为圆C，下列结论正确的是(

)A.圆C的方程是(x+2)2+y2=9

B.过点A且斜率为12的直线被圆C截得的弦长为4305

C.圆C与圆(x−1)2+(y−4)211.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)ey+f(y)eA.f(0)=0 B.f(−1)=−e2

C.exf(x)为奇函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=2cosθ+isinθ1+i(θ∈R)的实部为0，则tan2θ=13.已知空间中有三点O(0,0,0)，A(1,−1,1)，B(1,1,0)，则点O到直线AB的距离为______．14.已知2x2+y2−2xy−2x−1=0.若y>x>1，求y的最大值为______；若x>1且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．

(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；

(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4×100米接力.现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选4×100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．16.(本小题15分)

在如图所示的几何体中，PA⊥平面ABCD，PA//QD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=PA=1，PQ=22．

(Ⅰ)求证：直线PB//平面DCQ；

(Ⅱ)求直线PB与平面PCQ所成角的正弦值；

(Ⅲ)求平面PCQ与平面DCQ17.(本小题15分)

三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简．

(1)证明：sin3x=3sinx−4sin3x；

(2)若sin10°∈(1n+1,18.(本小题17分)

已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ．

(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的Γ的方程.①已知点T(−1,0)，直线l：x=−4，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为12；②设E是圆O：x2+y2=4上的动点，过E作直线EG垂直于x轴，垂足为G，且GP=32GE．

(2)在(1)的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点K(1,0)的直线m的斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M，N，直线n过点T(−1,0)且与x轴垂直，直线AM交直线n于点19.(本小题17分)

对于数列{an}，数列{an+1−an}称为数列{an}的差数列或一阶差数列.{an}差数列的差数列，称为{an}的二阶差数列.一般地，{an}的k阶差数列的差数列，称为{an}的k+1阶差数列.如果{an}的k阶差数列为常数列，而k−1阶差数列不是常数列，那么{an}就称为k阶等差数列．

(1)已知20，24，26，25，20是一个k阶等差数列{an}的前5项.求k参考答案1.A

2.A

3.C

4.C

5.C

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.BD

11.ABC

12.4313.3014.3

3

15.解：(1)记作事件A为“选择60米袋鼠跳服务”，事件B为“3000米服务”，

则P(A)=C52C63=12，P(AB)=C41C63=15，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1512=25，

即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率25；

(2)X0123P12216274所以E(X)=0×126516.(Ⅰ)证明：因为PA//QD，PA⊄平面DCQ，QD⊂平面DCQ，

所以PA//平面DCQ，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AB/​/CD，

又AB⊄平面DCQ，CD⊂平面DCQ，

所以AB/​/平面DCQ，

因为PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

所以平面PAB/​/平面CDQ，

又PB⊂平面PAB，所以直线PB/​/平面DCQ．

(Ⅱ)解：因为∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=1，

所以AC=3，BC=2=AD，

又PA⊥平面ABCD，PA//QD，PA=1，PQ=22，

所以DQ=PA+PQ2−AD2=1+8−4=3，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，D(−1,3,0)，Q(−1,3,3)，

所以PB=(1,0,−1)，PC=(0,3,−1)，CQ=(−1,0,3)，

设平面PCQ的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PC=3y−z=0n⋅CQ=−x+3z=0，

取y=1，则x=33，z=3，所以n=(33,1,3)，

设直线PB与平面PCQ所成角为θ，则sinθ=|cos<PB，n>|=|PB⋅n17.解：(1)证明：sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcosx⋅cosx+(1−2sin2x)sinx=2sinx(1−sin2x)+sinx−2sin3x=3sinx−4sin3x；

(2)由(1)可知，sin30°=3sin10°−4sin310°=12，

即sin10°是方程4x3−3x+12=0的一个实根．

令f(x)=4x3−3x+12，f′(x)=1218.解：(1)选①，设P(x,y)，

由(x+1)2+y2|x+4|=12，

化简得x24+y23=1，

即所求轨迹Γ的方程为x24+y23=1．

选②，设P(x0,y0)，G(x0,0)，

由GP=32GE，

得E(x0,23y0)，

代入圆O的方程O：x2+y2=4，

则x02+(23y0)2=4，

整理得x024+y023=1，

即所求轨迹Γ的方程为x2419.解：(1)由题意数列{an+1−an}称为数列{an}的差数列或一阶差数列．

{an}差数列的差数列，称为{an}的二阶差数列，

{an}的k阶差数列的差数列，称为{an}的k+1阶差数列．

可得{an}的一阶差数列为4，2，−1，−5；

二阶差数列为−2，−3，−4；

三阶差数列为−1，−1，−1为常数列，故{an}为三阶等差数列，即k=3，

二阶差数列的第4项为−5，一阶差数列的第5项为−10，即a6−a5=−10，故