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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年云南省高三(上)月考数学试卷(9月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(1+i)(2+i)(3+i)=(

)A.−10i B.10i C.−10 D.102.用card(A)表示有限集合A中元素的个数,例如,A={a,b,c},则card(A)=3.对于任意两个有限集合A,B,若card(A)=8,card(B)=6,card(A∩B)=4,则card(A∪B)=(

)A.10 B.12 C.14 D.183.在平行四边形ABCD中,已知AC=(5,4),BD=(1,2),则ABA.5 B.9 C.13 D.184.已知a=log25,b=log38,c=0.30.2,则aA.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c5.已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形,且该圆锥底面圆和顶点都在球O的球面上,则球O的体积为(

)A.22π B.42π6.中华人民共和国体育代表团参加夏季奥运会以来,中国健儿们不断取得好成绩,到今天成长为体育大国,从2000年以来,金牌情况统计如下(不含中国香港、中国台湾):

中国体育代表团夏季奥运会获得金牌数届数第27届第28届第29届第30届第31届第32届届数代码t123456地点2000年

悉尼2004年

雅典2008年

北京2012年

伦敦2016年

里约热内卢2021年

东京金牌数(y)283248382638根据以上数据,建立y关于t的线性回归方程,若不考虑其他因素,根据回归方程预测第33届(2024年巴黎奥运会)中国体育代表团金牌总数为(

)

(b,a精确到0.01,金牌数精确到1,参考数据:i=16A.29 B.33 C.37 D.457.若x0是函数f(x)=ex−2−lnx−2的零点,则A.e B.e2 C.2 D.8.已知函数f(x)=sin(2x+π3),将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则A.π12 B.π6 C.π4二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.某个单选题(只有一个选项符合题目要求)为:给出以下4个命题,命题序号为①②③④(注:命题具体内容省略),则所有正确命题的序号是:

A.①②B.③④C.①④D.②③

根据以上信息,则下列判断正确的是(

)A.①②③④中可能有3个正确 B.若①错误,则③一定正确

C.①②有一个正确,③④有一个错误 D.若②正确,则④一定错误10.已知数列{anan+1}(n∈N∗)A.若{an}是等比数列,则公比为2

B.{a2n}是公比为2的等比数列

C.11.如图,曲线C是一条“双纽线”,其C上的点满足:到点F1(−2,0)与到点F2(2,0)的距离之积为4,则下列结论正确的是A.点D(22,0)在曲线C上

B.点M(x,1)(x>0)在C上,则|MF1|=22

C.点Q在椭圆x26+y22=1上,若F1Q⊥三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知{an}是公差为2的等差数列,且a5+a13.自然常数e是自然对数的底数,大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近e的分数,称小于2.718281的值为弱值,大于2.718282的值为强值.由21<e<31,取2为弱值,3为强值,得a1=2+31+1=52,故a1为弱值,与上一次的强值3计算得a14.动圆M经过原点,且与直线x=−2相切,记圆心M的轨迹为C,直线y=2x与C交于A,B两点,则|AB|=四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,C=2π3,D为AB边上一点.

(1)若D为AB的中点,且CD=3,求b;

(2)若CD平分∠ACB,且CD=16.(本小题12分)

如图,四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为1和2的正方形,侧棱DD1垂直于上、下底面,且DD1=2.

(1)证明:直线AA1//17.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex−12x2+ax+a.

(1)若f(x)为增函数,求a的取值范围;

(2)若f(x)有两个极值点18.(本小题12分)

羽毛球比赛采用21分制,比赛规则如下:一场比赛为三局两胜制,在一局比赛中,每赢一球得1分,先得21分且至少领先2分者获胜,该局比赛结束;当比分打成20:20后,以投掷硬币的方式选择发球权,随后得分者拥有发球权,一方领先2分者获胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛,假设甲发球时甲得分的概率为34,乙发球时甲得分的概率为12,各球的比赛结果相互独立,且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为20:20.

(1)若再打两个球,这两个球甲得分为X,求X的分布列和数学期望;

(2)求第一局比赛甲获胜的概率p1;

(3)用19.(本小题12分)

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233,右焦点为F(2,0).

(1)求C的方程;

(2)设动直线l:y=kx+m与双曲线C有且只有一个公共点P(P在第一象限),且与直线x=32相交于点Q.参考答案1.B

2.A

3.B

4.A

5.D

6.C

7.C

8.B

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.24

13.6

14.6

15.解:(1)在△ABC中,a=4,C=2π3,因为D为AB的中点,所以CD=12(CA+CB),

两边平方得CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB),

则3=1416.解:(1)证明:设AC∩BD=O,连接C1O,A1C1,

由棱台的性质知A1C1/​/AC,

又根据题意可知A1C1=2,AO=2,

∴四边形AOC1A1为平行四边形,∴AA1//OC1,

又OC1⊂平面BC1D,AA1⊄平面BC1D,

∴直线AA1/​/平面BC1D;

(2)∵DD1⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,

∴DA,DC,DD1两两垂直,

故建系如图:

∵DD1=2,∴D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,1,2),

∴DC117.解:(1)f′(x)=ex−x+a,f(x)为增函数,则f′(x)≥0恒成立,

设g(x)=ex−x+a,则g′(x)=ex−1,

令g′(x)=0,则x=0,

当x<0时,g′(x)<0,所以f′(x)在(−∞,0)上单调递减;

当x>0时,g′(x)>0,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增,

所以x=0是函数f′(x)的极小值点,

故当f′(0)=1+a≥0,即a≥−1,f′(x)≥0恒成立,

所以当f(x)为增函数,a的取值范围为[−1,+∞);

(2)证明:f′(x)=ex−x+a,由(1)知当f′(0)<0,

即a<−1时,f(x)有两个极值点x1,x2,

故f′(x1)=f′(x2)=0,设x1<0,则x2>0,

设ℎ(x)=f′(x)−f′(−x)=ex−x+a−(e−x+x+a)=ex−e−x−2x,x>0,

则ℎ′(x)=ex+e−x−2>018.解:(1)依题意,X的所有可取值为0,1,2,

设打成20:20后甲先发球为事件A,则乙先发球为事件A−,

所以P(A)=P(A−)=12,

所以P(X=0)=P(A)⋅P(X=0|A)+P(A−)⋅X012P31115故X的数学期望为E(X)=0×316+1×1132+2×1532=4132;

(2)设第一局比赛甲获胜为事件B,

则P(B|X=0)=0,P(B|X=1)=P(B),P(B|X=2)=1,

由(1)知,P(X=0)=316,P(X=1)=1132,P(X=2)=1532,

由全概率公式得:

P(B)=P(X=0)⋅P(B|X=0)+P(X=1)⋅P(B|X=1)+P(X=2)⋅P(B|X=2),

即P(B)=316×0+1132×P(B)+153219.解:(1)设双曲线C的半焦距为c,由题意知c=2,而ca=233,解得a=3,

由b2=c2−a2=1,所以C的方程为x23

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