2024-2025学年广东省揭阳市两校高三（上）联考数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省揭阳市两校高三（上）联考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={0,1,2,3}，B={x∈N|x2−5x+4≥0}，则A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{0,1} D.{1,2,3}2.“x2≤x”是“1x≥1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)=(2−a)x+3a,x<1x−1,x≥1的值域为R，那么实数aA.(−∞,−1] B.[−1,2) C.(0,2) D.(−2,1]4.如图，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在函数y=ax的图象上，点D在函数y=logax的图象上，若四边形ABCD为正方形，则A.32

B.2

C.3

D.5.已知sinθ+sin(θ+π3)=1A.12 B.33 C.26.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为(    )(参考数据：lg2=0.3010.)A.10 B.12 C.14 D.167.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A.32 B.22 C.8.已知数列{an}满足a1=1，前n项和为Sn，aA.22024−1 B.3×21012−1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列大小关系正确的是(

)A.1.92<21.9 B.22.9<10.已知函数f(x)=asinx−cos2x，则(

)A.f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)的图象关于点(π,0)对称

C.当a=−2时，函数f(x)在(π6,π2)上单调递增

D.若函数f(x)11.已知函数f(x)=lg(x2+1+x)+ex−A.1 B.2 C.3 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.定义运算abcd=ad−bc，则不等式ax11x+113.已知过原点O的直线与y=log3x交于A，B两点(A点在B点左侧)，过A作x轴的垂线与函数y=4x交于C点，过B点作x轴的垂线与函数y=2x交于D点，当CD14.已知f(x)是定义在R上的单调函数，f[f(x)−2x]=3，对x∈R恒成立，则f(3)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，2bcosC=2a−c．

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC的面积为103，设D是BC的中点，求sin∠BAD16.(本小题15分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2AA1=2A1B1=2，∠ABC=60°，AA1⊥平面ABCD．

17.(本小题15分)

设函数f(x)=axb+x2(a≠0,x>0)，满足：①f(1)=12；②对任意x>0，f(x)=f(1x)恒成立．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数f(x)的图象上18.(本小题17分)

已知函数f(x)=2exex+1+k是奇函数.(e是自然对数的底)

(1)求实数k的值；

(2)若x>0时，关于x的不等式f(2x)≤mf(x)恒成立.求实数m的取值范围；

(3)设g(x)=f(x)+11−f(x)，对任意实数a，b，c∈(0,n]，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax2−lnx−x．

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(Ⅲ)当a=0时，试判断函数F(x)=2sinx−f(x)−2x的零点个数，并给出证明．参考答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.CD

11.CD

12.(−4,0]

13.2

14.9

15.解：(1)∵2bcosC=2a−c，

∴由正弦定理得，2sinBcosC=2sinA−sinC，

即2sinBcosC=2sin(π−B−C)−sinC，

即2sinBcosC=2sin(B+C)−sinC，

即2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，

即2cosBsinC=sinC，

∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，∴cosB=12，

∵B∈(0,π)，

∴B=π3；

(2)12acsinB=103⇒12⋅a⋅5⋅32=103⇒a=8，

b=a16.解：(1)证明：如图所示，连接AC，A1C1，

因为ABCD−A1B1C1D1为棱台，所以A，A1，C1，C四点共面，

又因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，

又因为AA1∩AC=A且AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，

因为CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CC1．

(2)取BC中点Q，连接AQ，

因为底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，

所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD，

由于AA1⊥平面ABCD，以A为原点，分别以直线AQ，AD，AA1为x轴、y轴和z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),A1(0,0,1),D1(0,1,1),Q(3,0,0)，

假设点E存在，设点E的坐标为(3,λ,0)17.解：(1)已知函数f(x)=axb+x2(a≠0,x>0)，

因为f(1)=12，

所以ab+1=12，

整理得2a=b+1，①

又对任意x>0，f(x)=f(1x)恒成立，

此时axb+x2=a⋅1xb+(1x)2，

整理得b+x2=bx2+1恒成立，②

联立①②，解得a=b=1，

所以f(x)=xx2+1；

(2)证明：由(1)知f(x)=xx2+1，

可得f′(x)=(1−x)(1+x)(1+x2)2，

当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x>118.解：(1)由函数f(x)=2exex+1+k是奇函数，定义域为R，可得f(0)=0，即1+k=0，解得k=−1，

当k=−1时，f(x)=2exex+1−1=ex−1ex+1，f(−x)=e−x−1e−x+1=−ex−1ex+1=−f(x)，则f(x)为奇函数，所以k=−1成立；

(2)若x>0时，关于x的不等式f(2x)≤mf(x)恒成立，即为e2x−1e2x+1≤m⋅ex−1ex+1，

即有m≥(ex+1)2e2x+1恒成立．

设ℎ(x)=(ex+1)2e2x+1=1+2exe2x+1=1+2ex+1e19.解：(Ⅰ)因为f(x)=ax2−lnx−x，x∈(0,+∞)，

所以f′(x)=2ax−1x−1=2ax2−x−1x，

当a≤0时，2ax2−x−1<0恒成立，

所以f′(x)<0，

当a>0时，令2ax2−x−1=0，

解得x=1+1+8a4a(舍负)，

令f′(x)>0，得x>1+1+8a4a，

令f′(x)<0，得0<x<1+1+8a4a．

综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减，

当a>0时，f(x)在(0,1+1+8a4a)上单调递减，在(1+1+8a4a,+∞)上单调递增．

(Ⅱ)由f(x)≥0恒成立，得ax2≥lnx+x在(0,+∞)上恒成立，

所以a≥1x+lnxx2在(0,+∞)上恒成立，

令g(x)=1x+lnxx2(x>0)，

只需a≥g(x)max，

则g′(x)=−1x2+x−2xlnxx4=−1x2+1−2lnxx3=−x+1−2lnxx3，

令ℎ(x)=−2lnx−x+1(x>0)，

易知ℎ(x)=−2lnx−x+1在(0,+∞)上单调递减，

又ℎ(1)=0，

所以当x∈(0,1)时，ℎ(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，

即g(x)max=g(1)=1，

所以a≥1，

所以a的取值范围为[1,+∞)．

(Ⅲ)当a=0时，F(x)=2sinx+lnx+x−2x=lnx−x+2sinx，x>0，

则F′(x)=1x−1+2cosx，

令G(x)=F′(x)=1x−1+2cosx,x>0，

则G′(x)=−1x2−2sinx，

当x∈(0,π)时，G′(x)<0，所以F′(x)在(0,π)上单调递减，

又F′(1)=2cos1>0,F′(π2)=2π−1<0，

所以F′(x)在(0,π)上存在唯一的零点，

设F′(x)在(0,π)上的零点为x0(1<x0<π2)，

可得当x∈(0,x0)时，F′(x)>0，

当x∈(x0,π)时，F′(x)<0，

所以F(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,π)上单调递减，

解法一：F(12)=ln12−12+2sin12=−l