2024-2025学年安徽省皖江名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省皖江名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|x<2}，B={x|(x−1)2<4}，则A∪B=A.{x|x<2} B.{x|−1<x<2} C.{x|x<3} D.{x|−1<x<3}2.已知复数z满足z(2−i)=(1+i)2，则复数z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量a、b满足a=(1,3)，|a−A.[2,6] B.[2,23] C.[24.立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有(    )种．A.20 B.4 C.60 D.805.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率为5%，加工出来的零件混放在一起．已知1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则任取一个零件，它是次品的概率为(

)A.0.0525 B.0.0532 C.0.0175 D.0.01556.已知直线x−y−k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有|OAA.[6,+∞) B.[6,27.已知函数f(x)=x+4x,x>0log2|x|,x<0，g(x)=A.−28 B.28 C.−14 D.148.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知x2+y2=r2(r>0)，求x+y的最大值.我们令x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=r(cosθ+sinθ).这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知A(x,y)A.12 B.14 C.16 D.18二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，正方体ABCD−A1B1C1A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4

B.四棱锥C−ABC1D1的体积为13

C.两条异面直线D110.已知数列{an}满足a1A.an=n+1 B.{an}的前n项和为n(n+2)2

C.{(−1)nan}11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点M(−a,0)，N(a,0)距离之积等于a2(a>0)的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当a=2时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是(

)A.点P的横坐标的取值范围是[−2,2] B.|OP|的最大值是22

C.△PMN面积的最大值为2 D.|PM|+|PN|的取值范围是[4,42三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cosα+cosβ=1010，sinα+sinβ=31013.椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点14.“算24”游戏是以除去大小王的52张扑克牌为载体，任意抽取4张，把扑克牌对应的4个整数(A=1,J=11,Q=12,K=13)通过加减乘除(没有乘方开方)以及括号运算，使最后的运算结果是24的一个数学游戏.因为和扑克牌的花色无关，所以游戏可以看作在集合M={n|n≤13,n∈N∗}={1,2,3,⋯,13}中每次任选1个数，选4次得到4个整数，记为数组(a,b,c,d)，因为算24和选取4个数的顺序无关，可以假设a≤b≤c≤d.比如(3,4,6,11).显然游戏不同的牌组就对应不同的数组，那么所有不同的数组一共有______个.如果数组为(1,6,6,8)，写出一个结果为24四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，且4S=3(b2−a2−c2)．

(1)求B；

(2)若16.(本小题15分)

如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2，AB=22，SC=4，M是SB的中点，MC⊥BD．

(1)证明：SA⊥平面ABCD；

(2)若点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为3010，求17.(本小题15分)

高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为p(0<p<1)，有3个选项正确的概率为1−p.在一次模拟考试中：

(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p；

(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=13，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.且经过点(2,3)．

(1)求C的方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA19.(本小题17分)

给出以下三个材料：

①若函数f(x)可导，我们通常把导函数f′(x)的导数叫做f(x)的二阶导数，记作f″(x).类似的，函数f(x)的二阶导数的导数叫做函数f(x)的三阶导数，记作f‴(x)，函数f(x)的三阶导数的导数叫做函数f(x)的四阶导数……，一般地，函数f(x)的n−1阶导数的导数叫做函数f(x)的n阶导数，记作f(n)(x)=[fn−1(x)]′，n≥4；

②若n∈N∗，定义n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1；

③若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a,b)上具有任意阶的导数，那么对于任意x∈(a,b)有g(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+⋯，我们将g(x)称为函数参考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.A

8.D

9.ABC

10.AD

11.BCD

12.−113.(−214.1820

6÷(1−6÷8)

15.解：(1)由三角形面积公式及条件可知：4S=3(b2−a2−c2)=2acsinB，

由余弦定理知：b2−a2−c2=−2accosB，

所以−3cosB=sinB⇒tanB=−3，

因为B∈(0,π)，所以B=2π3；16.解：(1)证明：如图，取AB的中点N，连接MN，CN，设BD与CN交于Q点，

在底面矩形ABCD中，易知tan∠DBC=DCBC=2=tan∠BNC=BCBN，

所以∠BNC=∠DBC，所以可得BD⊥CN，

因为MC⊥BD，MC∩NC=C，MC、NC⊂平面CMN，

所以BD⊥平面CMN，又MN⊂平面CMN，

所以BD⊥MN，易知MN//SA，所以BD⊥SA，

又底面ABCD是矩形，SA=AD=2，AB=22，SC=4，

所以AC=4+8=23，所以SA2+AC2=SC2，

所以SA⊥AC，又AC与BD相交，且AC，BD⊂平面ABCD，

所以SA⊥平面ABCD；

(2)由上可知SA⊥AD，SA⊥AB，AB⊥AD，

以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则A(0,0,0)、S(0,0,2)、C(2,22,0)、B(0,22,0)、M(0,2,1)，

设平面AMC的法向量为m=(x,y,z)，

则AC=(2,22,0)，AM17.解：(1)根据题意可知，X=0，4，6，

若该题有2个选项正确，则P(X=0)=23P，P(X=6)=13P，

若该题有3X

0

4

6

P

2

1−p1所以E(X)=0×23p+4×(1−P)+6×13p=4−2p=3，

解之得p=12；

(2)不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件A1，“有3个选项正确”为事件A2，

若小明选择方案①，记小明该题得分为X，则X的可能取值为2，3，对应概率为：

P(X=2)=P(A2)=23，P(X=3)=P(A1)=13，

故E(X)=2×23+3×13=73；

若小明选择方案②，记小明试题得分为Y，则Y的可能取值为0、4、6，对应概率为：

P(Y=0)=P(A1)×C51C31+P(A18.解：(1)因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.且经过点(2,3)，

所以4a2−9b2=1a2+b2a2=2，解得a2=1，b2=3，

故双曲线方程为C：x2−y23=1．

(2)当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=kx+mx2−y23=1⇒(3−k2)x2−2kmx−m2−3=0，

故3−k2≠0x1+x2=2km3−k2x1x2=−m