2024-2025学年广西南宁三中五象校区高二（上）月考数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁三中五象校区高二（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|log2(x+1)≤2}，B={−3,−1,2,5}，则A∩B=A.{−3,−1} B.{−1,2} C.{2} D.{2,5}2.已知两条直线l1：ax+4y−1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=2”是“l1//A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知直线l倾斜角的余弦值为−55，且经过点(2,1)，则直线l的方程为A.2x+y−5=0 B.2x−y−3=0 C.x−2y=0 D.x+2y−4=04.已知向量a，b的夹角为2π3，且|a|=5，|b|=4，则a在A.−38b B.−58b5.已知函数为f(x)=−x2−2ax−a,x<0,ex+lnA.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,1] D.[0,+∞)6.已知a=20.1，b=log52，A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c7.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b2=9A.32 B.2 C.7二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。8.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是(

)A.极差是4B.众数小于平均数C.方差是1.8D.数据的80%分位数为49.已知a>0，b>0，且a+b=1，则(

)A.ab≥14 B.a2+b210.A.三棱锥B1−A1D1P的体积为定值

B.直线B1E//平面A1BD

C.当A1P⊥AC1时，A111.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是

．12.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=13.已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题13分)

某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩(满分为100分)，按分数分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数)；

(2)若认定评分在[80,90)内的学生为“运动爱好者”，评分在[90,100]内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率．15.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2．

(1)求证：平面PAC⊥平面PDC；

(2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax−b1+x2是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=−1．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断并证明f(x)在[−1,1]上的单调性；

(3)解不等式17.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,a−ca+b=sinA−sinBsinC．

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圆的面积为12π，且18.(本小题17分)

如下图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且EF//AC；将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

(1)求证：EF⊥PC；

(2)若BE=2AE，二面角P−EF−C是直二面角，求二面角P−CE−F的正切值；

(3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．

参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.C

8.AC

9.BD

10.AD

11.(−8,2)∪(2,+∞)

12.−213.[2,3)

14.解：(1)根据题意可得(0.005+0.015+0.02+0.03+m+0.005)×10=1，解得m=0.025；

∵前几组的频率依次为0.05，0.15，0.2，0.3，

∴估计这100名学生成绩的中位数为70+0.5−0.05−0.15−0.20.03=70+103≈73.3分；

(2)∵在[80,90)与[90,100]内的学生的频率之比为0.25：0.05=5：1，

∴抽取的6名学生在[80,90)内有5人，在[90,100]有1人，

∴再从这6名学生中随机抽取2名学生共有C62=15个结果，

而抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各15.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

由题知，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，所以∠BAC=∠CAD=45°，

由余弦定理得CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos45°=2+4−22×2×22=2，

所以CD=2，又AC=AB2+BC2=2，所以AC2+CD2=AD2，

即AC⊥CD，因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，

因为CD⊂平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC．

(2)由(1)知，PD在平面PAC内的射影为PC，所以CE16.解：(1)函数f(x)=ax−b1+x2是定义在[−1,1]上的奇函数，

f(−x)=−ax−b1+x2=−ax−b1+x2=−f(x)，解得：b=0，

∴f(x)=ax1+x2，而f(1)=−1，解得a=−2，

∴f(x)=−2x1+x2，x∈[−1,1]．

(2)函数f(x)=−2x1+x2在[−1,1]上为减函数；证明如下：

任意x1，x2∈[−1,1]且x1<x2，

则f(x1)−f(17.解：(1)由正弦定理得a−ca+b=sinA−sinBsinC=a−bc，化简得a2+c2−b2=ac，

结合余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=12，而B∈(0,π)，所以B=π3．

(2)设△ABC的外接圆半径为R，则外接圆面积S=πR2=12π，解得R=23．

根据正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R=43．

由18.解：(1)因为AC⊥BC，AC/​/EF，

所以EF⊥BC，即EF⊥FC，EF⊥PF，PF∩FC=F，PF，FC⊂平面PFC，

EF⊥平面PFC，PC⊂平面PFC，

所以EF⊥PC．

(2)因为二面角P−EF−C是直二面角，

所以平面PEF⊥平面EFC，平面PEF∩平面EFC=EF，PF⊥EF，PF⊂平面PEF，PF⊥平面EFC，

以FE，FC，FP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设平面CEF法向量为n=(0,0,1)，

P(0,0,43),C(0,23,0),E(43,0,0),