2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设a、b为向量，则“a⋅b>0”是“a、b的夹角是锐角”的(

)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：

①两球都不是白球；

②两球中恰有一白球；

③两球中至少有一个白球．

其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③3.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.直线MB与直线B1D1相交，直线MB⊂平面ABC1

B..直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D

C.直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面4.已知f(x)是定义在R上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数ga(x)=f(x)−f(a)x−aA.若f(x)在R上单调递增，则存在实数a，使得ga(x)在(a,+∞)上单调递增

B.对于任意实数a，若ga(x)在(a,+∞)上单调递增，则f(x)在R上单调递增

C.对于任意实数a，若存在实数M1>0，使得|f(x)|<M1，则存在实数M2>0，使得|ga(x)|<M2

D.二、填空题：本题共12小题，共54分。5.直线x+3y+5=06.已知复数z满足z−i=3+4i(i是虚数单位)，则|z|=______7.已知随机变量X的方差D[X]=1，则随机变量Y=3X+2的方差D[Y]=______．8.已知α为第二象限角，sinα+cosα=33，则cos2α=9.在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=23，则△ABC的面积是______．10.已知向量a、b满足|a|=|b|=2，且a−b在a上的数量投影为2+11.设f(x)=−x+a,x≤0,x+1x,x>0.若f(0)12.设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)=0.若y=f(x)+a⋅2x是奇函数，y=f(x)+3x13.已知关于x的不等式|x−a|<|x|+|x+1|的解集为R，则a的取值范围为______．14.已知A(−2,0)，B(2,0)，若曲线(xa+yb)(xa−15.已知全集U={(x,y)|x，y∈R}，若集合A⊆U，且对任意(x1,y1)∈A，均存在(x2,y2)∈A，使得：x1y2+x2y1=0，则称集合A为“对称对点集”.给出如下集合：

(1)A={(x,y)|x，y∈Z}；

16.关于x的方程2ln(ax+b2)=4三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元．

(1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第n(n≤18)年后所获利润f(n)；

(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？18.(本小题14分)

已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．

(1)当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；

(2)当三棱锥M−ACO的体积最大时，求θ的值．19.(本小题14分)

为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的2×2列联表．性别愿意不愿意男生610女生186(1)根据该2×2列联表，并依据显著水平α=0.05的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；

(2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量X，求X的分布及期望E[X]．

附：P(χ220.(本小题18分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率e=22，点P，Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为32．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点H(−2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程；

(3)直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−21.(本小题18分)

若函数f(x)满足：对任意正数s，t，都有f(s)+f(t)<f(s+t)，则称函数f(x)为“H函数”．

(1)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=ln(x+1)是否为“H函数”，并说明理由；

(2)若函数y=3x+x−3a是“H函数”，求实数a的取值范围；

(3)若函数f(x)为“H函数”，f(1)=1，对任意正数s、t，都有参考答案1.B

2.A

3.D

4.D

5.150°

6.5

7.9

8.−9.210.56π

11.{a|a≤2}

12.−1613.{a|−1<a<0}

14.(0,15.(1)(4)

16.e217.解：(1)由题意知，每年各种费用等差数列，设纯收入与年数n的关系为f(n)，

则f(n)=21n−[2n+n(n−1)2×2]−25=20n−n2−25，

由f(n)>0得n2−20n+25<0，解得10−53<n<10+53，

又因为n∈N，所以n=2，3，4，18，

即从第2年该公司开始获利；

18.(12分)

解：(1)连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．

又PO=62−42=25，∴MD=5.又OC=4，OM=3．

又MD//PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．

∵MO/​/PB，∴∠MOC=60°或120°.…(5分)

当∠MOC=60°时，∴MC=13．

∴cos∠DMC=MDMC=6513，∴∠DMC=arccos6513

当∠MOC=120°时，∴MC=37.∴cos∠DMC=MDMC=18537，∴∠DMC=arccos18537

综上异面直线MC与PO19.解：(1)零假设H0：学生性别与是否愿意参加健美操无关，

由题意可知，χ2=40×(6×6−18×10)224×16×16×24=5.625>3.841，

依据α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；

(2)因为愿意参加的所有学生中，男生与女生之比为1：3，

所以选取的8位学生中有2名男生，6名女生，

由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，

则P(X=0)=CX

0

1

2

P

1

315所以E(X)=0×12820.解：(1)由题意，因为P(a,0)，Q(0,b)，△POQ为直角三角形，所以|PQ|=a2+b2=3．

又e=ca=22,a2=b2+c2，所以a=2,b=1,c=1，所以椭圆的标准方程为x22+y2=1．

(2)由(1)知，F1(−1,0)，显然直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y=k(x+2)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x22+y2=1y=k(x+2)，消去y得，(1+2k2)x2+8k2x+8k2−2=0，

所以Δ=(8k2)2−4(1+2k2)(8k2−2)=8(1−2k2)>0，即0<k2<12．

且x1+x2=−8k21+2k2,x1x2=8k2−21+2k2，

因为AF1⊥BF1，所以AF1⋅BF1=0，

所以(−1−x1,−y1)(−1−x2,−y2)=0，即21.解：(1)对于任意s，t∈(0,+∞)，f1(s)+f1(t)=s2+t2，f1(s+t)=(s+t)2，

所以f1(s+t)−[f1(s)+f1(t)]=(s+t)2−(s2+t2)=2st>0，

即f1(s)+f1(t)<f1(s+t)成立，

故f1(x)=x2是“H函数”；

对于f2(x)=ln(x+1)，

取s