江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(1+i)z=1−2i3，则z的共轭复数为(

)A.32−12i B.322.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象如图，则f[g(1)]的值为(

)x123f(x)230

A.3 B.0 C.1 D.23.设集合A={x||x−2|≤1}，B={x|log2x<1}，C={x|x∈A且x∉B}，则C=A.⌀ B.[1,2) C.[2,3] D.(2,3]4.命题p:−3≤x≤1，q:x≤a.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是(

)A.(−3,+∞) B.[−3,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)5.设f(x)是定义域为R的奇函数，f(−3)=−7，当x≥0时，f(x)=ax+b，则f(1)=A.1 B.−36−1 C.36.我们知道当0<x<2或x>4时，2x>x2.若a=log23A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a7.函数f(x)=13x3−x2+ax，对任意x1，x2A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞)8.若ea=e3b+eA.2 B.1+ln2 C.1 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=xlnx，则(

)A.f(x)在(1,+∞)单调递增

B.f(x)有两个零点

C.f(x)的最小值为−1e

D.y=f(x)在(1,0)10.设偶函数f(x)的定义域为R，若f(2x−1)−1为奇函数，则(

)A.f(1)=1

B.f(x+2)=f(2−x)

C.函数f(x)的一个周期是6

D.f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2024)=202411.已知a>b>1，则(

)A.ba>b+1a+1 B.lnb<a−1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=2x+1,x≤0,−log213.设幂函数f(x)=mxm−32，则不等式f(3−a)>f(2a)的解集为14.已知曲线f(x)=x2与g(x)=a+lnx有公共切线，则实数a的最大值为四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某品牌空调销售商发现：1月份到7月份，空调月销售量y(单位：台)与月份x线性相关.根据统计得下表：月份x123456销量y122133415263(1)计算得月份x与销量y满足y=10x+t.试估计7月份该品牌空调的销售量(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X的分布列和数学期望．16.(本小题12分)设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3=7a(1)求{an(2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bn17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，M是BC中点，N是PD中点．

(1)证明：直线MN//平面PAB;(2)设PG=2GC，求平面PCD与平面GMN18.(本小题12分)已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C在第一象限上的点A(1)求点A的坐标;(2)在x轴上任取一点P，直线AP交直线y=3于点Q，求OP(3)设点M在椭圆C上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S1=219.(本小题12分)已知函数f(x)=(1(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a=−12时，证明：曲线y=f((3)若函数ℎ(x)=(x−1)x2f′(x)在[2,+∞)上单调递减，求实数a参考答案1.A

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.D

8.B

9.ACD

10.ABD

11.BC

12.2313.(1,3)

14.1+ln15.解：(1)x=1+2+3+4+5+66=3.5，

y=12+21+33+41+52+636=37，

又回归直线过样本中心点(x,y)，所以37=10×3.5+t，得t=2，

所以y=10x+2，当x=7时，y=72，

所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台；

(2)因为y=37，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，

所以X=0，1，2，3，

所以P(X=0)=C33C616.解：(1)设{an}的公比为q，

因为S3=7a1，

所以a1(1+q+q2)=7a1，

因为a1≠0，

所以q2+q−6=0，

因为q>0，

所以q=2，

又因为a1，a3，20+a2成等差数列，

所以2a3=a1+20+a2，

即8a1=a1+20+2a1，

得17.(1)证明：取PA的中点为Q，连接QB，QN，

∵Q，N分别为PA，PD的中点，

∴QN=12AD且QN//AD．

又BM=12AB，BM//AB，

故QN=BM且QN//BM，

故四边形BMNQ为平行四边形，MN//BQ，

MN⊄平面PAB，BQ⊂平面PAB，

故直线MN/​/平面PAB；

(2)由PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD为正方形，得直线AB，AD，AP两两垂直，

以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，N(0,1,1)，M(2,1,0)，

所以PD=(0,2,−2)，CD=(−2,0,0)．

设平面PCD的法向量为n=(x1,y1,z1)，

所以n⋅PD=2y1−2z1=0,n⋅CD=−2x1=0.

令y1=1，得n=(0,1,1)．

设平面GMN的法向量为m=(x18.解：(1)由椭圆E:x24+y2=1的左，右焦点分别为F1(−3,0)，F2(3,0)，

设A(m,n)，m>0，n>0，因为AF1⊥AF2，可得AF1⋅AF2=(−3−m,−n)(3−m,−n)=0，

整理得m2+n2=3，又因为m24+n2=1，

联立方程组m24+n2=1m2+n2=3

解得m=263，n=33，

所以点A坐标为(263,33).

(2)设P点坐标为(p,0)，则可得Q点坐标为(26−2p,19.(1)解：当a=−1时，f(x)=(1x−1)ln(x−1)，所以f(2)=0，

可得f′(x)=−1x2ln(x−1)+(1x−1)1x−1=−1x2ln(x−1)−1x，所以f′(2)=−12，

所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=−12x+1；

(2)证明：当a=−12时，f(x)=(1x−12)ln