高一上学期数学期末考重难点归纳总结（解析版）-人教版高中数学精讲精练必修一

高一上学期数学期末重难点归纳总结考点一集合【例1-1】（2023秋·辽宁）设集合，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，所以.故选：B.【例1-2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，集合，则集合A∩B=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】】由题意可得，集合表示时线段上的点，集合表示时线段上的点，则表示两条线段的交点坐标，联立，解得，满足条件，所以.故选：C.【例1-3】（2023秋·广东广州）设为实数，集合，，满足，则的取值范围是．【答案】【解析】当时，，解得，此时满足，则；当时，由，得，解得，所以的取值范围是.故答案为：【一隅三反】1．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，则

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故选：D2．（2022秋·全国·高一期中）（多选）若{1,2}⊆B{1,2,3,4}，则B=（

）A．{1,2} B．{1,2,3} C．{1,2,4} D．{1,2,3,4}【答案】ABC【解析】∵{1,2}⊆B{1,2,3,4}，∴B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}，故选：ABC3．（2023·北京）（多选）已知集合，集合，则集合可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因为集合，对于A：满足，所以选项A符合题意；对于B：满足，所以选项B符合题意；对于C：满足，所以选项C符合题意；对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC.考点二常用的逻辑用语【例2-1】（2023·全国·高一专题练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．必要条件 B．充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：A.【例2-2】（2023·江苏连云港）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D【例2-3】（2022秋·全国·高一期末）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，解得或，由于⫋或，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【一隅三反】1（2023秋·湖南益阳）“”是“关于的一元二次方程有实数根”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为关于的一元二次方程有实数根，所以，所以或，因为是集合或的真子集，所以“”是“关于的一元二次方程有实数根”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023秋·江西宜春）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命题“，”的否定是“，”，故选：C3．（2023秋·高一课时练习）命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】命题“存在，使”是假命题，命题的否定：“，有”是真命题．由，解得，由已知m的取值范围是，所以.故选：B.考点三基本不等式【例3-1】（2023秋·宁夏吴忠）已知正数x，y满足，则的最小值是.【答案】【解析】因为，所以，即，因为正实数，所以，，所以，当且仅当等号成立.故答案为：.【例3-2】（2022秋·海南·高一校考期中）命题“，关于的不等式<5成立”为假命题，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】依题意，命题“，关于的不等式成立”，当时，，当且仅当，即时取等号，因此，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：【例3-3】（2022秋·山东）（多选）已知，，且，下列结论中正确的是（

）A．的最小值是 B．的最小值是2C．的最小值是 D．的最小值是【答案】CD【解析】由，且，对于A中，由，当且仅当时，等号成立，所以，解得，即的最大值为，所以A错误；对于B中，由，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以B错误；对于C中，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，所以C正确；对于D中，由，当且仅当时，等号成立，的最小值是，所以D正确.故选：CD.【一隅三反】1．（2022·江苏连云港）（多选）下列说法中正确的是（

）A．存在，使得不等式成立 B．若，则函数的最大值为C．若，则的最小值为1 D．函数的最小值为4【答案】ABD【解析】A：当时，显然不等式成立，因此本选项正确；B：当时，，因为，当且仅当取等号，即当时取等号，于是，所以本选项正确；C：因为，所以由当且仅当时取等号，因此本选项不正确；D：，当时，即当时取等号，因此本选项正确，故选：ABD2．（2023·黑龙江齐齐哈尔）（多选）已知正数a，b满足，则（

）A．的最大值是 B．ab的最大值是C．的最大值是 D．的最小值是2【答案】ABC【解析】由得，当且仅当时取等，A正确；由得，当且仅当时取等，B正确；对C，因为，a，b为正数，则，，当时去等，故C正确；对D，，当且仅当时等号成立，故D错误，故选：ABC.3．（2023·辽宁大连）（多选）已知不等式对任意恒成立，则满足条件的正实数a的值可以是（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】BCD【解析】令，则.由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立,所以要使对任意正实数恒成立,只需即，得，解得（舍去），或，得，故选：BCD.4．（2023秋·福建莆田）已知若正数、满足，则的最小值为．【答案】/0.8【解析】已知正数、满足，则，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.考点四二次函数与一元二次不等式【例4-1】（2023秋·福建莆田）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AD【解析】由的解集为或得，故故A正确，，故D正确，对于B，，解得，故B错误，对于C，为，解得，故C错误.故选：AD【一隅三反】1．（2022秋·全国·高一期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】ABD【解析】由于不等式的解集为，所以和是的两个实数根，所以，故，，故AB正确，对于C,不等式为，故，故C错误，对于D,不等式可变形为，解得，故D正确，故选：ABD2．（2023秋·广西钦州·高一校考开学考试）解关于的不等式.【答案】答案见解析【解析】因为可化为，当时，不等式可化为，则不等式解集为；当时，可化为，当，即时，可得不等式解集为；当，即时，可得不等式解集为；当，即时，可得不等式解集为；当时，可化为，此时显然，可得不等式解集为；综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.3．（2023秋·河南）已知函数．(1)若关于的不等式的解集为，求的值；(2)当时，解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由题意可知，关于的不等式的解集为，所以关于的方程的两个根为1和2，所以，解得，则．（2）由条件可知，，即，当时，解得或；当时，解得；当时，解得或．综上可知，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.考点五函数的基本性质【例5-1】（2023秋·陕西渭南）已知的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题设，则，可得，所以函数定义域为.故选：A【例5-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于是定义在上的偶函数，故，则的图象关于直线对称；对任意的，都有恒成立，即对任意的，有，则，故在上单调递减，根据对称性可知在上单调递增，故由得，即，解得，即不等式的解集为，故选：C【例5-3】（2022秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）（多选）下列各组函数表示的是不同函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】ACD【解析】A.的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；B.的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；C.的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；D.，由得，所以的定义域为，由，得或，所以函数的定义域为或，所以不是同一函数，故错误；故选：ACD【一隅三反】1．（2023秋·黑龙江哈尔滨）（多选）在下列函数中，值域是的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对A，函数在R上是增函数，由可得，所以函数的值域为，故正确；对B，函数，函数的值域为，故错；对C，函数的定义域为，因为，所以，函数的值域为，故正确；对D，函数的值域为，故错；故选：AC．2．（2022秋·全国·高一期中）（多选）关于函数，下列说法正确的是（）A．定义域为 B．是偶函数C．在上递减 D．图像关于原点对称【答案】CD【解析】对于A，函数，有，即函数的定义域为，A错误；对于B，的其定义域为，有，所以为奇函数，B错误；对于C，和函数在上递减，所以函数在上递减，C正确；对于D，由B的结论，为奇函数，其图像关于原点对称，D正确.故选：CD．3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得：对一切实数恒成立，当时，则对一切实数恒成立，符合题意；当时，则，解得；综上所述：，即实数的取值范围是.故答案为：.4（湖北省鄂州市部分高中教研协作体2022-2023学年高一上学期期中数学试题）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【解析】根据题意得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：5．（2023·全国·高一专题练习）设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】①当时，当时，，故趋近于时，趋近于，故不存在最大值；②当时，，故不存在最大值；③当时，当时，；当时，，故若存在最大值，则，即；综上所述，实数a的取值范围为；故答案为：．考点六指数函数【例6-1】（2023春·江苏淮安）已知幂函数，则过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是幂函数，，故则，令，即，得，故过定点.故选：【例6-2】（2023秋·江苏常州）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵满足对任意，都有成立，∴在上是减函数，，解得，∴a的取值范围是.故选：C．【例6-3】（2023秋·江苏南通）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B【例6-4】（2024·陕西宝鸡·校考一模）已知是奇函数，则（

）A．2 B． C．1 D．-2【答案】A【解析】因为函数是奇函数，所以满足，即，化简为，得，，此时，函数的定义域为，成立.故选：A【一隅三反】1．（2022秋·高一单元测试）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数是实数集上的减函数，因为二次函数的开口向下，对称轴为，所以二次函数在时单调递增，在时单调递减，由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，故选：C2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【【解析】的定义域为，，所以是奇函数，由于，所以在上单调递增.故选：A考点七对数函数【例7-1】（2023秋·重庆沙坪坝）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，由题意知：在区间上单调递增且，，解得：，则实数的取值范围是.故选：C.【例7-2】（2023秋·重庆涪陵）已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是上的单调递减函数，所以，解得．故选：C．【例7-2】（2023秋·安徽）已知实数a，b，c满足，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，即，即．，，综上可知.故选:A．【一隅三反】1．（2023·四川绵阳）不等式“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】】，解得，，解得，因为，但，故“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A2．（2023秋·江苏）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，可得的对称轴的方程为，由函数在上单调递减，则满足在区间单调递减且，即且，解得，即实数的取值范围是.故选：D.3．（2023秋·天津南开）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数在上单调递减，所以在单调递增且在大于零恒成立.所以.故选：C4．（2023秋·湖南常德）下列三个数：，，，大小顺序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，所以，所以，，所以.故选：C考点八零点【例8-1】（2023秋·广东茂名）函数的一个零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，又，，根据零点存在性定理及函数的单调性可得函数在内有零点，故选：B.【例8-2】（2022秋·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习）若不等式在上有解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若，当，因为在定义域内单调递减，则可得，符合题意；若，如图所示，可得，解得；

综上所述：的取值范围是.故选：D.【例8-3】（2022春·辽宁盘锦）校考阶段练习）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数，，的零点分别为，，，可得函数，，与图象交点的横坐标分别为，，，在同一直角坐标系中作出四个函数的图象如图所示：由图知，，，所以，故选：A【一隅三反】1．（2022秋·甘肃·高一统考期中）的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在上单调递增，且，所以函数零点所在区间为.故选：C2．（2023北京）已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意：的零点，则，令，则，而，则其图象可由图象向下平移2个单位得到，故可作出函数的大致图象如图：

由此可知应介于两数之间，结合选项可知可能的结果为，故B，C，D错误，A正确，故选：A3．（2023·江苏淮安）函数，，的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：，，的零点即为图象与图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图：根据图象可知：，故选：C.4（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数有零点时，的范围是.【答案】【解析】有零点，等价于有解，令，得，；当，即时，；当，即时，；若，则，当且仅当时取等号，所以；若，则，当且仅当时取等号，所以，即；综上可得.所以的范围是.故答案为：5．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为【答案】【解析】方程化为：，则或，由，得或，解得或，由方程有五个不同的实数根，得方程有三个不同的实数根，因此直线与函数的图象有3个交点，在直角坐标系中作出的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个交点，所以实数的取值范围为.故答案为：考点九函数的综合运用【例9】（2023秋·江西宜春）已知函数是定义在上的奇函数，且(1)求m，n的值；(2)求使成立的实数a的取值范围．【答案】(1)，(2)实数a的取值范围是【解析】1）（1）解法一：因为函数是定义在上的奇函数，所以，得，解得，经检验，时，是定义在上的奇函数．法二：是定义在上的奇函数，则在上恒成立，即在上恒成立，则，所以，又因为，得，所以，．（2）（2）由（1）知，．因为是定义在上的奇函数，所以由，得，设，且，则，∵，∴，，，∴，∴，∴在上是增函数．所以，即，解得．故实数a的取值范围是．【一隅三反】1．（2023秋·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数为奇函数．(1)求的值(2)解不等式(3)求的值域．【答案】(1)(2)(3)【解析】1）由题意可得：，所以，因为，所以．（2）不等式等价于，则，化简得，所以，所以，所以不等式的解集为．（3）令，则，整理得，即，又，所以，解之得：或，所以的值域为.2（2023秋·江苏镇江）设函数是定义域为R的偶函数.(1)求p的值；(2)若在上最小值为，求k的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）函数是定义域为的偶函数，可得，即为，化为，由，可得，即；（2），设，由，递增，可得，设，对称轴为，当时，在,递增，可得的最小值为，解得，舍去；当时，在处取得最小值，且为，解得舍去），综上可得，；3．（2022秋·全国·高一期末）已知函数

.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求使的x的取值范围.【答案】(1)(2)f（x）为奇函数，证明见解析(3)答案见解析【解析】（1）要使函数有意义，则，∴的定义域为.（2）函数定义域为，关于原点对称，又∵，∴为奇函数.（3）即，当时，由于函数是定义域上的增函数，原不等式等价为，即，又的定义域为，，当时，由于函数是定义域上的减函数，原不等式等价为：，即，又的定义域为，，综上，使的x的取值范围为：当时为；当时为.4（2023秋·辽宁·高二校联考开学考试）已知函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)当时，，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由是奇函数，得，即，所以，整理得，对于定义域内的每一个恒成立，所以，解得．当时，为奇函数，符合题意；当时，，不存在．综上，.（2）解：，其中，易知在上单调递减，所以．设，则，由，得在上恒成立，令，其中，因为函数、均为上的增函数，故在上单调递增，所以，则，故实数的取值范围为．考点十三角函数定义【例10-1】（2023春·四川达州）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则点到原点的距离为，则.故选：D.【例10-2】（2024秋·广东）若，，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】由，，得，而，即，解得，因此，所以.故选：B【例10-3】（2023秋·内蒙古包头）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.【一隅三反】1．（2023·北京）以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角的终边过点，则＝（）A． B． C． D．3【答案】D【解析】由题意角的终边过点，因此，则由两角差的正切公式得.故选：D.2．（2023春·江西吉安·高一校联考期中）（多选）已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以，而为锐角，所以，选项A正确；，所以选项C正确；因为为锐角，所以，因此选项D正确，由，所以选项B不正确，故选：ACD3．（2023秋·江西南昌）若，则.【答案】【解析】，.故答案为：.4．（2024秋·内蒙古呼和浩特）若，，则．【答案】/【解析】由题设.故答案为：考点十一诱导公式及恒等变化【例11-1】（2023春·新疆和田·高一校考阶段练习）已知.(1)化简；(2)若，求的值；【答案】(1)；(2).【解析】（1）依题意，.（2）由（1）知，，当为第一象限角时，，，当为第四象限角时，，，所以.【例11-2】（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1），因为，所以，又，所以．（2）由（1）知，因为，所以，令，则，，所以【一隅三反】1．（2022秋·山东）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C2．（2023秋·江苏常州）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A3．（2023秋·江苏南京）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则．【答案】/【解析】由角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，可得，根据三角函