第四章 指数函数与对数函数 章末测试（基础）（解析版） -人教版高中数学精讲精练必修一

第四章指数函数与对数函数章末测试（基础）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2023河北）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，所以，解得．故选：D.2．（2023湖南）函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数，因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，所以，解得，故选：C3．（2023浙江）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为：，即或，所以定义域为：.故选：D.4．（2022秋·江西抚州·高一校考期末）设函数，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】函数，即有，，则有．故选：C.5．（2022秋·高一单元测试）已知关于x的不等式，则该不等式的解集为（

）A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4) D．(－4，1]【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选：B．6．（2023湖北）函数y＝的图象大致是()A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，当时，，此时为开口向上的抛物线，对称轴为轴，当时，，此时表示函数向下平移一个单位，故选B.7．（2023·天津河东）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，因为为单调递减函数，且函数在上递减，所以函数的单调递增区间为.故选：A8．（2023福建）若函数的值域为，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，当时，函数的值域为，即故选：B二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022秋·高一单元测试）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（

）A．y=x3+x B．y=log2xC．y=2x2-3 D．y=x|x|【答案】AD【解析】A中，y=x3+x为奇函数，且存在零点x=0，与题意相符；B中，y=log2x定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y=2x2-3为偶函数，与题意不符；D中，y=x|x|是奇函数，且存在零点x=0，与题意相符.故选：.10．（2023西藏）设函数=ln(x2-x+1)，则下列命题中正确的是（

）A．函数的定义域为RB．函数是增函数C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x=对称【答案】AD【解析】A正确，∵x2-x+1=>0恒成立，∴函数的定义域为R；B错误，函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；C错误，由x2-x+1=可得y=ln(x2-x+1)≥，∴函数的值域为；D正确，，故函数的图象关于直线x=对称.故选：.11．（2022·高一单元测试）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，错误；，正确；，正确；，正确.故选12．（2023春·浙江杭州·高一校考阶段练习）已知函数，若，则的所有可能值为（

）A．1 B． C．10 D．【答案】AD【解析】当时，由可得当，可得解得的所有可能值为：或故选：AD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2023春·广东云浮·高一校考阶段练习）若，，则．【答案】1【解析】因为，所以所以.故答案为：114．（2022秋·黑龙江双鸭山）函数的零点的个数为．【答案】1【解析】根据题意，令，则，做出函数与的图象，由图可知与的图象只有一个交点，即方程只有一个解，故函数的零点的个数为1.故答案为：1.15．（2023江西）的值域是.【答案】【解析】令t＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则t≥﹣4，则≤＝16，又∵＞0，故函数的值域是（0，16]，故答案为：（0，16]16．（2023秋·宁夏银川）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学（一个数学分支）里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的有（填写序号）①

②③

④【答案】②④【解析】对于①，，显然无解，对于②，，易得，符合题意，对于③，，显然无实数解，

对于④，，如下图所示，作出两函数，，显然两函数有交点，即存在一个点，使得，故答案为：②④.解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）已知且，函数是指数函数，且．(1)求和的值；(2)求的解集．【答案】(1)(2)【解析】1）由题意得，，解得或(不符合题意，舍去)，由，且，得．（2）由（1）得，，即为，设，则原不等式化为解得或，∵，∴，∴，得，∴原不等式的解集为．18．（2023·河南三门峡·）已知函数（且）的图象过点．(1)求a的值；(2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．【答案】(1)(2)定义域为，在上单调递增，单调递增区间为【解析】（1）解：（1）由条件知，即，又且，∴．（2）（2）．①由，得，∴的定义域为．∵，∴是偶函数；②，∵函数单调递增，函数在上单调递增，故的单调递增区间为．19．（2022·高一课时练习）已知函数f(x)＝log2.（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若值域为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋>0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知解得<a<.故所求a的取值范围为.（2）要使f(x)的值域为R，则有t＝ax2＋(a－1)x＋的值域必须包含(0，＋∞)．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴相交且开口向上，∴即0<a≤或a≥.故所求a的取值范围为..20．（2023秋·新疆伊犁）已知函数是偶函数.当时，.(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；(2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）设，则，则，因为为偶函数，所以，所以，作出的图象如图：

因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；所以实数的取值范围是.（2）令，即，由（1）作出的图象如图：

由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.21．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.【答案】(1)(2)当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元(3)4【解析】（1）由题意可知；（2）设利润为万元，则有，当时，，该函数是增函数，当时，有最大值，当时，，当时，有最大值，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）设利润为万元，则有，当时，，该函数是增函数，当时，有最大值，舍去，当时，，该二次函数的对称轴为，当时，有最大值，即.22．（2023秋·浙江）已知函数，，，且函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)若对任意的，总存在