中考数学复习：二次函数

中考数学专题二次函数

(共40题)

1.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：y=

-_^-6交丫轴于点(：.点E是直线AB上的动点，过点E作EF，x轴交AC于点F,交抛物

2

线于点G.

(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；

(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为

顶点的四边形是矩形？求出此时点E,H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为。E上一动点，求LAM+CM它

2

的最小值.

2.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)与x轴交于A,B两点，与y轴的正半轴交于点C,其

顶点为D.

(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示)；

(2)设SABCD：S^ABD=k,求k的值；

(3)当^BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.

V'

“八

3.如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛

物线y=-x2+2x+l与y轴交于点C.

(1)求直线y=kx+b的函数解析式；

(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+l上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,

求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

(3)若点E在抛物线y=-x2+2x+l的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最

4.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对

称轴是直线x=l

(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标.

(2)动点M从点0出发，以每秒2个单位长度的速度沿X轴正方向运动，同时动点N从

点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同

时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为

t秒.

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形.

②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

5.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A（-1,0）,B（5,0）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将RQACD

沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试

探究：在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

V

6.我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（aWO）表示，对于这样的抛物线：

（1）当抛物线经过点（-2,0）和（-1,3）时，求抛物线的表达式；

（2）当抛物线的顶点在直线y=-2x上时，求b的值；

（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点Ai、A2、…，仆在直线y=-2x上，横坐标

依次为-1,-2,-3,-n（n为正整数，且nW12）,分别过每个顶点作x轴的垂线，

垂足记为团、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某

一条经过点Dn,求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长.

v=-2x

7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1,0）,B（4,0）,C（0,

-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不

存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，4PBC面积最大，求出此时P点坐标和4PBC的最大面积.

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分另I］在X轴，y轴的正半轴上，且

OA=4,OC=3,若抛物线经过。，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F,点D,E

的坐标分别为（3,0）,（0,1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想4EDB的形状并加以证明；

（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在X轴上，请问是否存在以点A,F,M,N为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=Lx+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=

2

--x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

2

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

S,

①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,ACDE的面积为Si，ABCE的面积为S2,求二

S2

的最大值；

②过点D作DFLAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得4CDF中的某个角恰好等

于/BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

10.已知二次函数y=-x2+bx+c+l,

①当b=l时，求这个二次函数的对称轴的方程；

②若C=-Lb2-2b,问：b为何值时，二次函数的图象与X轴相切？

4

③若二次函数的图象与x轴交于点A（X1，0）,B（X2,0）,且X1<X2，与y轴的正半轴交于

点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴I与X轴、直线BM、直线AM分

别交于点D、E、F,且满足迈=工，求二次函数的表达式.

EF3

11.如图，抛物线y=-lx2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为（6,

2

0）,点C坐标为（0,6）,点D是抛物线的顶点，过点D作X轴的垂线，垂足为E,连接BD.

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标;

（2）点F是抛物线上的动点，当NFBA=/BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN〃x轴与抛物线交于点N,点P在X轴上,

点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.

12.抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1,0）和点B（5,0）.

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线y=3x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，

5

直线PM〃y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.

①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中，4PCD的面积是否存在最大值？若存在，求

出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连结PB,过点C作CQ_LPM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得^CNQ与△PBM

相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(aWO)与y轴交与点C(0,3),与x

轴交于A、B两点，点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=l.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从

B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，

另一个点也停止运动，设^MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系，

并求S的最大值；

(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t,使AMBN为直角三角形？若存在，求出t

值；若不存在，请说明理由.

v

14.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-3,0),B(-2,3),C(0,3),其顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时，求m的值；

(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求4APC的面积的最大值；

(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点，过点E作EF〃ND

交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标;

若不能，请说明理由.

15.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象经过A（-1,0）、B（4,0）、C（0,2）

三点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足/DBA=/CAO（0是坐标原点），求点D的

坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、

F,若/kPEB、^CEF的面积分别为Si、S2,求S1-S2的最大值.

16.如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（-1,0）,D（-2,5）两点，与x轴另一交点为A,

点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ_Lx轴，分别交直线AD、抛物线于点Q,P.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P,使/APB=90。，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接BQ,一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q,再沿线

段QD以每秒加个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动

过程中用时t最少？

17.如图1,抛物线Ci：y=x2+ax与C2：y=-x?+bx相交于点0、C,G与C2分别交x轴于点

B、A,且B为线段AO的中点.

⑴求总的值；

b

(2)若OCJ_AC,求△OAC的面积；

(3)抛物线C2的对称轴为I,顶点为M,在(2)的条件下：

①点P为抛物线C2对称轴I上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

②如图2,点E在抛物线C2上点0与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？

若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.

18.如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A(8,0),B(0,4),D(-1,

0),点C与点B关于X轴对称，连接AB、AC.

(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(2)有一动点E从原点0出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作X轴的垂线，

交抛物线于点P,交线段CA于点M,连接PA、PB,设点E运动的时间为t(0<t<4)秒，

求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得4ABH是直角三角形？若存在，请直接写出

点H的坐标；若不存在，请说明理由.

19.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,

0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D是y轴上的一点，且以B,C,D为顶点的三角形与aABC相似，求点D的坐标;

(3)如图2,CE〃x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H

且与V轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时，四边形

CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

(4)若点K为抛物线的顶点，点M(4,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找

20.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(aWO)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,

2),直线y=Lx+l与抛物线交于B,D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C,圆C与直线m

2

交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)证明：圆C与x轴相切；

(3)过点B作BE_Lm,垂足为E,再过点D作DF_Lm,垂足为F,求BE：MF的值.

21.如图1,抛物线y=L<2+bx+c经过A（-2«,0）、B（0,-2）两点，点C在y轴上，

3

△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运

动，设运动时间为t秒（t>0）,过点D作DE_LAC于点E,以DE为边作矩形DEGF,使点F

在X轴上，点G在AC或AC的延长线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF,当点D的对称点D，落在抛物线上时，

求此时点A的坐标；

（3）如图2,在X轴上有一点M（2-质，0）,连接BM、CM,在点D的运动过程中，设矩

形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S,直接写出S与t之间的函数关系式，并写出

自变量t的取值范围.

22.如图，在平面直角坐标系中，ZkABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,抛物线y=-x?+bx+c

经过A,B两点，其中点A,C的坐标分别为（1,0）,（-4,0）,抛物线的顶点为点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A,B重合），过点E作x轴的垂

线，交抛物线于点F,当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P,使4PEF是以EF为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.如图1,点A坐标为(2,0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为X轴上一

动点，且在点A右侧，连接BC,以BC为边在第一象限内作等边ABCD,连接AD交BC于E.

(1)①直接回答：/XOBC与4ABD全等吗？

②试说明：无论点C如何移动，AD始终与0B平行；

(2)当点C运动到使AC2=AE・AD时，如图2,经过0、B、C三点的抛物线为九试问：yi

上是否存在动点P,使4BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不

存在，说明理由；

(3)在(2)的条件下，将yi沿X轴翻折得y2,设y1与yZ组成的图形为M,函数y=Jjx+«m

的图象I与M有公共点.试写出：I与M的公共点为3个时，m的取值.

24.如图，抛物线y=ax2-2x+c(aWO)与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点，已知点A

(-2,0),点C(0,-8),点D是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)如图1,抛物线的对称轴与X轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将4EBP沿

直线EP折叠，使点B的对应点B,落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点，点N

是平面内一点，当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.

25.抛物线y=x?+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0),与y轴交于C.

(1)若m=-3,求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

(2)如图1,在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上

有一点E,{JSAACE=_SAACD，求点E的坐标；

3

(3)如图2,设F(-1,-4),FG±y于G,在线段OG上是否存在点P,使NOBP=/FPG?

若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

26.如图，OM的圆心M(-1,2),0M经过坐标原点O,与y轴交于点A.经过点A的

一条直线I解析式为：y=-LX+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过X轴上点D(2,

0)和点C(-4,0).

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线I是0M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线I垂直，垂足为E；PF〃y轴，交直线I于点F,

是否存在这样的点P,使4PEF的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及4PEF面积

的最小值；若不存在，请说明理由.

27.如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,并经过B（4,4）和C（6,0）两点，点D的

坐标为（4,0）,连接AD,BC,点E从点A出发，以每秒后个单位长度的速度沿线段AD

向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间

为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；

（3）设点E从点A出发时，点E,F,G都与点A重合，点E在运动过程中，当4BCG的面

积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径

28.抛物线y=ax2+bx+c过A(2,3),B(4,3),C(6,-5)三点.

(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DELAB交AC于点E,若满足还

AE2

求点D的坐标；

(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线UAB,若点P在直线I上运动，点Q在X轴上

运动，是否存在这样的点P、Q,使得以B、P、Q为顶点的三角形与4ABF相似，若存在，

求P、Q的坐标，并求此时ABPCl的面积；若不存在，请说明理由.

29.如图，己知抛物线y=ax2+^x+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于丁C,且A(2,0),

5

C(0,-4),直线1：y=-上x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+£x+c上的一动点，

25

(2)如图(1),过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；

(3)如图(2),过点P作PH_Ly轴，垂足为H,连接AC.

①求证：4ACD是直角三角形；

②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与4ACD相似？

30.如图，已知抛物线y=ax2-2、Eax-9a与坐标轴交于A,B,C三点，其中C(0,3),Z

BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线I与射线AC,AB分别交于点

M,N.

(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若APAD为等腰三角形，求出点P的坐标;

(3)证明：当直线I绕点D旋转时，」_+工均为定值，并求出该定值.

AMAN

31.《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-且经过原点o,与x轴的另

3

一个交点为A,则a=.

【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物

线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图②.直接写出图象G对应的函数解析式.

【探究】在图②中，过点B(0,1)作直线I平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为

点C,D,E,F,如图③.求图象G在直线I上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x

的取值范围.

【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出4PDE的面积

图①图②图③

32.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标

为(4,t)(t>0),二次函数y=x2+bx(b<0)的图象经过点B,顶点为点D.

(1)当t=12时，顶点D到x轴的距离等于；

(2)点E是二次函数y=x2+bx(b<0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)，

求OE・EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

(3)矩形OABC的对角线OB、AC交于点F,直线I平行于x轴，交二次函数y=x?+bx(b<0)

的图象于点M、N,连接DM、DN,当△DMN丝△FOC时，求t的值.

.在平面直角坐标系中，直线交轴于点交轴于点抛物线2

33y=-ax+lyB,xA,y=-Xx+bx+c

42

经过点B,与直线y=-lx+1交于点C(4,-2).

4

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME〃y轴交直线BC

于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时，求的周长.

(3)将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°,得到△AQiBi，点A,0,B

的对应点分别是点Ai，OnBi,若△AQiBi的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点

Ai的坐标.

34.已知，抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点，与y轴交于点C,抛

物线的对称轴是直线x=LD为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE二工.

2

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)求证：直线DE是4ACD外接圆的切线；

(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使SAACP=LSMCD，求点P的坐标；

2

(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与4ACD相似，直接写出点M

的坐标.

35.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=-Lx2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C

3

三点，其中点A的坐标为（-3,0）,点B的坐标为（4,0）,连接AC,BC.动点P从点A

出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点。出

发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，

另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.

（1）填空：b=,c=；

（2）在点P,Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等

腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点N的坐标为（-上，0）,线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线

2

y=-x2+bx+c经过A,B两点，点P在线段OA上，从点0出发，向点A以每秒1个单位的速

度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒加个单位的速度匀速

运动，连接PQ,设运动时间为t秒.

（1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE〃y轴，交AB于点E,过点Q作QF〃y轴，交抛物线于点F,连接EF,当

EF〃PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问：是否存在t的值，使以B,Q,M为顶

点的三角形与以0,B,P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说

37.如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B,C,经过B,C两点的抛物线y=ax2+bx+c

与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B,C,Q为顶点的三角形为直角三角形？若

存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过S（0,4）的动直线I交抛物线于M,N两点，试问抛物线上是否存在定点T,使得

不过定点T的任意直线I都有NMTN=90。？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明

（1）直接写出抛物线Ci的对称轴是,用含a的代数式表示顶点P的坐标；

（2）把抛物线Ci绕点M（m,0）旋转180。得到抛物线C2（其中m>0）,抛物线C2与x轴

右侧的交点为点B,顶点为点Q.

①当m=l时，求线段AB的长；

②在①的条件下，是否存在4ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明

理由；

③当四边形APBQ为矩形时,请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a=3时矩形APBQ

的面积.

39.已知二次函数y=ax2-4ax+a?+2(a<0)图象的顶点G在直线AB上，其中

A(-A,0)、B(0,3),对称轴与X轴交于点E.

2

(1)求二次函数y=ax2-4ax+a2+2的关系式；

(2)点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；

(3)在x轴上方，是否存在整数m,使得当时2<xW型也时，抛物线v随x增大而增大?

32

若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由.

40.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，

交y轴于点C,直线y=x-3经过B、C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点C作直线CD±y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动

点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE，x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,

连接AC,过点M作MN1AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t

之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

（3）在（2）的条件下，连接PC,过点B作BCUPC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD

于点T,连接0Q交CD于点S,当ST=TD时，求线段MN的长.

留用图

参考答案与试题解析

（共40题）

L（2017•兰州）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A（-4,-4）,B（0,4）两点,

直线AC：y=-Lx-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF_Lx轴交AC于

2

点F,交抛物线于点G.

（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为

顶点的四边形是矩形？求出此时点E,H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为。E上一动点，求LAM+CM它

2

的最小值.

【解答】解：(1):点A(-4,-4),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,

.f-16-4b+c=-4

1c=4

・•.尸，

1c=4

抛物线的解析式为y=-x2-2x+4；

(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,

.[n=4

I-4k+n=-4

•.产，

In=4

直线AB的解析式为y=2x+4,

设E(m,2m+4),

/.G(m,-m2-2m+4),

•.•四边形GEOB是平行四边形，

/.EG=OB=4,

/.|-m2-2m+4-2m-4=4,

m=-2或m=2+2或m=2-2-/2，

AG(-2,4)或(2+2血，-12-12、次)或(2-2，弧,-12+12%次).

(3)①如图1,

由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4,

.,.设E(a,2a+4),

:直线AC：y=-1.x-6,

2

F(a,-—a-6),

2

设H(0,p),

:以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形，

:直线AB的解析式为y=2x+4,直线AC：y=--6,

2

；.ABJ_AC,

；.EF为对角线,

(-4+0)=—(a+a),—(-4+p)=—(2a+4--a-6),

22222

a=-2,P=-1,

AE(-2,0).H(0,-1)；

②如图2,

由①知，E(-2,0),H(0,-1),A(-4,-4),

.\EH=V5>AE=2遍，

设AE交。E于G,取EG的中点P,

PE=E,

2

连接PC交。E于M,连接EM,

.•.EM=EH=A/5，

返

.PET_1

MEV52

■.ME_V5_1

'AE了

VZPEM=ZMEA,

ME-AE2

•PMME1

"AM^AE^2'

,-.PM=XAM,

2

.-.XAM+CM的最小值=PC,

2

设点P(p,2p+4),

VE(-2,0),

.\PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,

VPE=2ZE,

2

；.5(p+2)2=3,

4

；.p=-$或p=-2(由于E(-2,0),所以舍去),

22

p(-A,-1),

2

VC(0,-6),

PC=+(-1+6)

2

即:LAM+CM=5避

22

图1

2.(2017・贵港)如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)与x轴交于A,B两点，与y轴的正半

轴交于点C,其顶点为D.

(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示)；

(2)设SABCD：Sz\ABD=k,求k的值；

(3)当4BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.

【解答】解：

(1)在y=a(x-1)(x-3),令x=0可得y=3a,

AC(0,3a),

*•'y=a(x-1)(x-3)=a(x2-4x+3)=a(x-2)2-a,

：.D(2,-a)；

(2)在y=a(x-1)(x-3)中，令y=0可解得x=l或x=3,

；.A(1,0),B(3,0),

；.AB=3-1=2,

••SAABD="--X2Xa=a,

2

如图，设直线CD交x轴于点E,设直线CD解析式为丫=1«+13,

把C、D的坐标代入可得,解得［k=-2a,

12k+b=-aIb=3a

直线CD解析式为y=-2ax+3a,令y=0可解得x=3,

2

；.E(◎,0),

2

BE=3-W=W

22

SABCD=SABEC-*-SABED=—X—X(3a+a)=3a,

22

SABCD：SAABD=(3a)：a=3,

k=3；

(3)VB(3,0),C(0,3a),D(2,-a),

ABC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(-a-3a)2=4+16a2,BD2=(3-2)2+a2=l+a2,

VZBCD<ZBCO<90°,

.'△BCD为直角三角形时，只能有NCBD=90。或/CDB=90。两种情况，

①当/CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+l+a2=4+16a2,解得a=-D(舍去)或a=l,

此时抛物线解析式为y=x2-4x+3；

②当NCDB=90。时，贝!|有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+l+a2=9+9a2,解得a=-返(舍去)或a=返,

__22

此时抛物线解析式为尸返x2-2&X+WZ2；

22

综上可知当4BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2-4x+3或尸返x2-2yx+?返.

22

3.(2017•滨州)如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、

B(0,3),抛物线y=-x2+2x+l与y轴交于点C.

(1)求直线y=kx+b的函数解析式；

(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+l上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,

求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

(3)若点E在抛物线y=-X2+2X+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最

小值.

【解答】解：

⑴由题意可得［Yk+b=0,解得昼，

1b=3b=3

直线解析式为y=3x+3；

4

(2)如图1,过P作PH_LAB于点H,过H作HQ_Lx轴，过P作PQ_Ly轴，两垂线交于点

Q，

图1

则/AHQ=NABO,且/AHP=90°,

.•.ZPHQ+ZAHQ=ZBAO+ZABO=90°,

；./PHQ=/BAO,且NAOB=NPQH=90",

.•.△PQH^ABOA,

•PQ_HQ_PH

••丽OAAB)

设H(m,口m+3),贝PQ=x-m,HQ=2m+3-(-x2+2x+l),

44

VA(-4,0),B(0,3),

/.OA=4,OB=3,AB=5,且PH=d,

■Tirr1-3-(-x2+2x+l),

•x~m_4____________________d

•,q4T

整理消去m可得d=lx2-x+l=l(x-反)2+lPl,

555880

；.d与x的函数关系式为d=a(X-旦)2+1左，

5880

V-l>0,

5

当*="时，d有最小值，此时y=-(3)2+2X至+1=_112，

88864

当d取得最小值时P点坐标为(旦，豆旦)；

864

(3)如图2,设C点关于抛物线对称轴的对称点为由对称的性质可得CE=CE,

.•.CE+EF=C'E+EF,

/.当F、E、U三点一线且CT与AB垂直时CE+EF最小，

VC(0,1),

：.C(2,1),

由(2)可知当x=2时，d=Ax(2-A)2+芷久”，

58805

即CE+EF的最小值为

5

4.(2017•广安)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相

交于点B,对称轴是直线x=l

(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标.

(2)动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从

点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同

时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为

t秒.

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形.

②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

(1):抛物线y=-x2+bx+c对称轴是直线x=l,

/.-——=1,解得b=2,

2X(-1)

•抛物线过A(0,3),

c=3,

.♦.抛物线解析式为y=-X2+2X+3,

令y=0可得-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3,

.'.B点坐标为(3,0)；

(2)①由题意可知ON=3t,OM=2t,

：P在抛物线上，

；.P(2t,-4t2+4t+3),

:四边形OMPN为矩形，

，ON=PM,

/.3t=-4t2+4t+3,解得t=l或t=-上(舍去),

4

.,.当t的值为1时，四边形0MPN为矩形；

②：A(0,3),B(3,0),

.•.0A=0B=3,且可求得直线AB解析式为y=-x+3,

.•.当t>0时，OQWOB,

当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况,

由题意可知0M=2t,

；.Q(2t,-2t+3),

2t-3

0Q=V(2t)2+(-2t+3)2=V8t2-12t+9,BQ=J-3)2+(-2t+3)2=后,

又由题意可知0<t<L

当OB=QB时，则有力|2t-3|=3,解得t=H2返(舍去)或t=€3/2；

44

当OQ=BQ时，则有98t2-12t+9=&⑵-3L解得t=>|;

综上可知当t的值为殳见2或二时，△BOQ为等腰三角形.

44

5.(2017•宜宾)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A(-1,0),B(5,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC