2025年高考数学复习大题题型归纳：圆锥曲线中定值问题的七种类型（解析）

第10讲圆锥曲线中定值问题的七种类型

考法呈现

和线段有关的最值

弘题型一：和斜率有关的定值问题

例题分析

【例1】

已知4B是椭圆C上的两点，4(2,1),力、B关于原点。对称，M是椭圆C上异于48的一点，直线MA和MB的斜

,

率满足媪4kMB=—

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率存在且不经过原点的直线Z交椭圆C于P,Q两点(P,Q异于椭圆C的上、下顶点)，当小OPQ的面积最大

时，求kop/.Q的值.

【答案】(14+?=1

(2)~1

【分析】（1）利用两点的斜率公式计算化简即可；

（2）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式计算面积，结合基本不等式求出面积最大时的

关系式，再计算斜率之积即可.

【详解】(1)设易知8(—2,—1),由%A.=-3,

得匕1•吟=2y2-2=4-%2,

x—2%+22

化简得1+q=1,

o3

故椭圆C的标准方程为<+<=1.

o3

设I的方程为y=依+t(tK0),P(%i，yi),Q(x2,y2),

将y=fcc+t代入椭圆方程整理得，

2222

(1+2k2)x2+4ktx+2t-6=0,△=16k2t2—4(i+2/c)(2t-6)=8(6/-t+3)>0,

4kt2t2-6,2d力

与+七=一中，x1-x2=^(tK3),

则|PQI=Vfc2+1-+%2)2-41]%2=Vfc2+1-短

又原点。到/的距离为d=",

ljnclV22|th/3+6k2T2版|t|2+3+6/c2-t23/

故SAOPQ=]d|PQl=T.-4T.—=--

当且仅当|t|=43+6上2一/时取等号,

此时3+61=2户(户H3),△。尸Q的面积最大.

+稣k=力、2=(k%l+t)(Z%2+。_心1%2+砥-l+—2)+/

°°Q%1%2%1%2%1%2

_fc2I,-4kt/(1+2/)_-6.+/_(3-2-)+/=_1

-2t2-6+2产-6-2t2-6-2t2-6-2,

求定值问题常见类型以及解题策略：

(1)常见类型：

①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式后再化

简，即可得出定值；

②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用条件化简，

即可证明；

③证明线段长度、面积、斜率(或以上量的和、差、积、商)等为定值，写出各量的目标函数

解析式，再做消参处理即可.

(2)常用策略：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

变式训练

【变式1-1】椭圆。1+5=1(。>6>0)的离心率6=/过点(0,百).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点G，0)且斜率不为0的直线1与椭圆交于M,N两点，椭圆的左顶点为A,求直线与直线2N的斜率之

积.

【答案】(哼+?=1

(2)-|

【分析】(1)利用两点的斜率公式计算化简即可；

(2)设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式计算面积，结合基本不等式求出面积最大时的

关系式，再计算斜率之积即可.

【详解】(1)设易知B(—2,—1),由=—：'

得W,瞿=-42/-2=4—-

22

化简得:+9=1,

OD

故椭圆C的标准方程为《+。=1.

o3

%

(2)

设/的方程为y=kx+t(t丰0),P(%i，yi),Q(x2,y2)>

将丫=fcr+t代入椭圆方程整理得，

2222

(1+2k2万2+4ktx+2t-6=0,△=16k2t2_4(1+2fc)(2t-6)=8(6/-t+3)>0,

“1+"2=一哀声，尤1/2=苗记«片3）,

22

贝|]IPQI=v/c+1-v(^i+x2y-4%1%2=v/c+1'

又原点。至"的距离为d=7fer

21thz3+6k2T2V2田2+3+662-产3V2

故SAOPQ=22

\d\PQ\=y1+2/c-2,l+2k2

当且仅当|t|=，3+6H—t2时取等号,

此时3+6fc2=2t2(t243),AOPQ的面积最大.

yi?_("i+t)(k%2+t)%2%1无2+砥%1+%2)+/

故kop-k°Q

Xl%21112%1%2

产(1+2/)_—6依+[2_(3—2产)+产

=.•岩+1

2t2-6~2t2-6-2t2-62

2

【变式1-2］如图，椭圆E:?+y2=i（a>1）的左、右顶点分别为4,8,Q（—a,a）,N为椭圆上的动点且在第

一象限内，线段QN与椭圆E交于点M（异于点N）,直线。Q与直线交于点P,。为坐标原点，连接M4,M4,AP,

且直线AM与BP的斜率之积为-

(1)求椭圆E的方程.

(2)设直线4V,4P的斜率分别为七42，证明：的"2为定值•

2

【答案】(％+V=i

⑵-

【分析】(1)根据题意，设出点的坐标，利用斜率公式，建立方程，可得答案;

(2)根据设出点的坐标以及直线方程，联立椭圆与直线，写出韦达定理，利用点的坐标表示处直线并求出

交点，利用斜率公式，写出代数式，化简可得答案.

【详解】(1)设直线4"与BP的斜率分别为以M/BP，则心M/BP=—3，

2

设顺配.)，由椭圆E:va+y2=i(a＞。)，且分别为其左右顶点，则4(—a,0),B(a,O),

因为M在椭圆E上，则料羽=1,即羽=1一志

设直线4M与BM的斜率分别为%M，kBM,

则%”.做“=七•卫=£=叁=与%=—3

DI1x()+axo-aXQ—alx^—a1x^—a1ar

由k4M,%1=k14M•^BM=—蔡"则一去=—茄，化简可得2a2=a?+9,

解得a?=9,由a>0,解得a=3,

则椭圆E:'+y2=1.

(2)由(1)可得4(一3,0),B(3,0),易知直线MN斜率存在，否则直线MN过点Q(-3,3),N就不在第一象限.

设直线MN:y=kx+m,由Q(—3,3)在直线MN上，贝!]3=—3k+ni,即m=3+3k,

y=kx+m

设M(%i，yD，N(%2，y2)，联立可得2d，即％2+9(kr+m)2—9=0,

—Fy=1

9,

化简可得：(1+9/c2)x24-18kmx+9m2—9=0,△=(18fcm)2—4(9m2—9)(1+9k2)>0,

由韦达定理，可得比1+久2=-\翳，打相=誓言，

直线=冬(％-3),直线。Q:y=—x,

%L3

联立可得：?=芝：一3)，则一%=含0-3)，-双打―3)=yi(x—3),

即3yl=尤Oi+%i-3),故乂=,则P(“--等二)，

yi+%1—3\yi+xi—3yi+xi—3/

3yl

-3yl_一，1

故的=潦T七=/号

3yi+3(yi+xi—3)%i+2yi—3'

42T。-；---+3

y1+x1-3

可得的•心=y•/京士，由yi=/bq+7n,y2=kx2+m,代入储,k2.

则k优=—丝北.一竺四—(/c%l4-m)(/c%2+m)

1肛+3xi+2/cxi+27n—3(%i+3)(%i+2yi+2m-3)'

k2x-[X2+rn2+km(x\+犯)

由m=3fc+3,贝!J/q•&

(%2+3)(%i+2k%i+6k+6-3)

k2x1X2+m2+km{xi+x2)k2x1X2+'m2+km(xi+x2)

一(%2+3)[(l+2k)%i+3(l+2⑼(1+2k)[%]%2+3(%]+%2)+9]，

将打+刀2=-黑工，％62=整会代入上式，并分子分母同乘以1+91,

十V/CLiyK

|-|.i,,_fc2(9m2-9)+m2(l+9fc2)+/cm-(—18km)

人12(l+2/c)[97n2-9-3xl8/cm+9(l+9/c2)]

97n2Zc2-9/c2+m2+9mzk2-18mzk2m2—9fc2

~—(l+2/c)(97n2-9-54/c7n+9+81/c2)~~(l+2/c2)(97n2+81/c2-54/cm)J

将TH=3k+3代入上式，则七1七2二-7(-l-+2k12)、[「9((9A:*2+9++91+8/1c弋)+_81/c2---5-4-/-c(3-k-+-3-)-]r

______________________9(2/+1)_______________________9___1

一(1+2〃)(81/+81+18'弘+81k2_i62/_i62k)—81-9,

【点睛】本题的关键解题思想为“设而不求”，设出点的坐标，利用椭圆与直线方程，建立等量关系，化简代

数式，即可解题.

【变式1-3］在平面直角坐标系％Oy中，已知定点F(l,0),定直线上％=4,动点P在/上的射影为Q,且满足

\PQ\=2\PF\.

(1)记点P的运动轨迹为凡求E的方程；

(2)过点F作斜率不为0的直线与E交于MN两点，2与X轴的交点为从记直线M"和直线N”的斜率分别为

klfk2f求证：fci+fc2=0.

【答案】(lg+9=l

(2)证明见解析

【分析】(1)设P(x,y),由|PQ|=2|PF|列式化简即可得E的方程；

(2)设过点尸作斜率不为0的直线为x=my+1,M(Xi，yD，NQx2,y2),联立直线与曲线E的方程，结合斜

率公式和韦达定理即可证明.

【详解】(1)设P(x,y),则Q(4,y),因为|PQ|=2|PF|,

所以|x-4|=2jQ-l)2+y2,化简得，9+9=1,

即E的方程为。+<=L

43

(2)由题意知”(4,0),

设过点F作斜率不为0的直线为x=my+l,N(x2fy2'),

x=my+1

22

联立％2y2可得，(3m+4)y4-6my—9=0,

—+—=1

43

则乃+乃=—品'为九=一高'

又的=年？B=含，

k=yi_|_y2_丫10丫2-3)+，2(呐-3)

12%]—4亚―4(%1-4)(%2—4)

,9xQZ6m、18m18m

2nly1丫2-3(%+丫2)_9瓶，37n2+4)(3m2+，_3m2+4+3瓶2+4_0

(X1-4)(X2-4)(%1-4)(%2-4)(xi-4)(X2-4)

所以的+B=0得证.

为题型二：和面积有关的定值问题

，题&例题分析

【例2】已知椭圆。5+捺=1缶>6>0)的左、右顶点分别为A,B,长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运

动，且△4BP面积的最大值为8.

⑴求C的方程；

(2)若直线I经过点Q(l,0),交C于M,N两点，直线力M,BN分别交直线久=4于D,E两点，试问△4BD与△力QE

的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】（底+5=1

（2）AABD^A4QE的面积之比为定值g

【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；

（2）利用韦达定理及面积公式计算即可.

【详解】（1）由题意得2a=2x2b,即a=2Z?①.

当点P为C的上顶点或下顶点时，△/8尸的面积取得最大值,

所以1x2bxa=8,即ab=8②.

联立①②，得a=4,b=2.

故C的方程为4+《=L

164

(2)

△ABD^LZQE的面积之比为定值.

由(1)可得/(-2,0),8(2,0),

由题意设直线1：%=my+(如力),

x=my+1,

联立y2/_得(4血2+i)y2+Qmy-12=0,

—I—=1.

I164

则A=64m2+48(4m2+1)>0,

8m12

yi+y=------—,ViV?=------n—，

八?4m2+lzi,zz4m2+1

3

所以小丫1及=5(乃+丫2)・

直线AM的方程为y=/(％+2),

令』，得>=署即”4,黑)

同理可得E(4,普).

故4ABD与△4QE的面积之比为

1

SAABD引力4\yD\4yi(x-2)4yi(my-1)叩/2—yi

2—2=4x

SMQE^\AQ\\yE\3也1丫2(#1+2)，2(myi+3)叩/2+3y2

|(yi+y2)-yi

基+152_4

=4x=4x=~

|仇+丫2)+3丫2|月+先2

即^ABD与△4QE的面积之比为定值小

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是化积为和，得到小当力=|(乃+丫2)，最后得到面积比值表达式,

再进行代换即可得到面积比值.

变式训练

【变式2-1】已知双曲线C:摄一，=l(a>0,b〉0),渐近线方程为y±]=0,点A(2,0)在。上;

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点4的两条直线4P,4Q分别与双曲线C交于P,Q两点(不与4点重合)，且两条直线的斜率的，而满足的+

卜2=1，直线PQ与直线久=2,y轴分别交于M,N两点，求证：△4MN的面积为定值.

【答案】(1*一9=1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据已知条件求得a,匕，从而求得双曲线C的方程.

(2)设出直线PQ的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据自+心=1列方程，判断出M

点的位置，从而求得A/MN的面积为定值.

【详解】(1)a>0,b>0,依题意，］a2=b=1,

la=2

所以双曲线C的方程为4一4=1.

41

(2)依题意可知PQ斜率存在，设方程为y=kx+m,P(xi，yi)>Q(x2,y2)>

y^kx+m+冷=若今

(1一丁=1(/62'_果

A=64k27n2+4(1—4fc2)(4m2+4)>0,m2+1—4fc2>0①，

k+卜_乃1y2_+——

i2%1—2%2—2%1无2—2(5+%2)+4

=2M-告)+(m_2k)(器)-4m=1

京+42T)14—'

1-4〃\l-4k2)+

整理得(m+2fc)(m+2fc-l)=0.

1)m+2fc=0,=PQ:y=kx—2k,过4(2,0)舍去，

2)m+2fc-1=0,=>PQ:y=kx—2k+1,过点(2,1),

此时，将m=1-2k代入①得(1-2k>+1-4/c2=2-4fc>0,fc<p

PQ与%=2交于点M(2,l),故SA4MN=/x2x1=1(定值)

【点睛】关键点睛：求解双曲线的标准方程，关键点在于根据已知条件求得a,b,a,b是两个未知数，所以

2

题目往往给定两个已知条件，如本题中的渐近线方程和4点坐标，有时候,还需要结合隐藏条件%2=a2+b"

来进行求解.

【变式2-2］已知椭圆的：+y2=1(a>1)与椭圆C?：1^+力=1(0<b<2V3)的离心率相同，且

椭圆。2的焦距是椭圆Q的焦距的百倍.

⑴求实数。和6的值；

⑵若梯形力BCD的顶点都在椭圆的上，AB//CD,CD=2AB,直线3。与直线相交于点尸.且点尸在椭

圆C2上，试探究梯形力BCD的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(l)a=2,b-^3

(2)是定值，该定值为苧.

【分析】(1)根据题意列出关于a,b的方程，即可求得答案;

（2）设C（X1，V1），O（X2，y2），P（xo，yo），表示出4B坐标，利用点差法推出直线CD的方程，进而联立椭圆

。方程，求得弦长|C0,结合点到直线的距离求得△PCD的面积，进而可求得梯形4BCD的面积为定值.

【详解】（1）由题意知，五三=绊或，且2疵F=2百•后二7,

a2V3

解得Q=2,b=V3.

（2）梯形4BCD的面积是定值，该定值为竽.

理由如下：

2

由⑴知的：^+y=1,C2：（+9=1,

设C(xi，yi),D(x2,y2)'P(x0,y0),则工+£=1,

因为4B〃CD,CD=2AB,所以48分别为尸DPC的中点,

作差可得，苧+羽+等+2yoyi-3=O.

因为居+1=!■,即羽=3-与,所以+4y（）yi=0.

同理可得，xox2+4yoy2=O,所以C,。都在直线+4%丁=0上,

即直线CD的方程为%0尤+4y0y=0.

(XX+4yoy=0

联立｛ORy2=i，可得旷2=品2=

则|“1-x2|=4，1月一、2l=

即|CO|二V(%1-X2)2+(71-72)2=

又因为点P到直线CD的距离d=产随=12=4,V3

J^+16走J福+16%J16-舄

所以△PCD的面积为SAPCD=||CD|=|^-=2V3.

16-舄

又因为△PBASAPCD,CD=2AB,所以S“co=4s”切，，S^BA=y,

所以梯形ABCD的面积为S梯形Men=SAPCD-SXPBA=学.

【点睛】难点点睛：本题是关于求解椭圆中的参数以及定值问题，综合性强；难点在于求解定值时，要有

明确的解题思路，即方程思想，利用联立方程，结合点的坐标求解弦长以及面积等，并且计算过程较为复

杂，计算量大，要十分细心.

222

【变式2-3]已知椭圆的：氏+方=l（a〉b〉O）,椭圆。2：亍+廿=1.点P为椭圆。2上的动点，直线。P与

椭圆的交于4B两点,且a=2而.

⑴求椭圆的的标准方程；

（2）以点P为切点作椭圆。2的切线2，2与椭圆的交于C,D两点，问：四边形力CBD的面积是否为定值？若是，

求出该定值；若不是，求出面积的取值范围.

【答案】（1焉+[=1

⑵四边形力CBD的面积为定值8V3

【分析】（1）根据向量的坐标关系，代入即可求解,

（2）根据切线的定义，联立直线与椭圆的方程，根据判别式为0可得k=-白，进而由弦长公式可得弦长,

4yo

以及点到直线的距离可得三角形的高，进而得面积.

【详解】（1）设P（%o，y。），4（%21），8（%2，及），因为土？=2而，所以％1=2%0，=2y0

因为点P为椭圆。2上的动点，所以J+羽=1，从而印+（半）2=1

即1+J=1,故椭圆的的标准方程（+9=1;

(2)

法一：设（7（%3，为），。（＞4，＞4），

当直线1的斜率存在时，设为k,则直线I的方程为y-y0=k（x-&）

y-yo=k(x-%o)

22

久2，=/+4[fc(x—x0)+yo]—4=0,即(1+4后)/+8fc(y0-kxo)x+4(y0-fcx0)-

T+y=1

4=0,

2

222

A=[8fc(y0-fcx0)]-4(1+4fc)[4(y0-fc%0)-4]=0(2y0k+蓝)=0=k=一/，即y()力0，代入

得直线I的方程为勾X+4yoy-4=0

'xox+4yoy-4=0

2

联立],y_1，消去y得/一2x0x+4-16羽=0

五+7=1

ICDI=J1+总"L%=『+京曰-4(4一16冠

注意到/+4羽=4化简得|CD|=工3(丸+16%)

又4(2久°,2y0),B(-2x0,-2y0)

所以点力到直线I:久ox+4yoy-4=0的距离为心=竿也=

J%o+16yoJ%o+16yo

所以点B到直线龙+4yoy—4=0的距离为d?=卜产-溺12

.+16近J.%6y.

故SABCD=SACD+SBCD=jlCDIdi+||CD|d2=1V3(4+12)=8百

当直线1的斜率不存在时，即即=。，若P(2,0)，贝U：l：x=2,

则C(2,g),0(2,一百),4(4,0),B(—4,0),

所以LBCD=SACD+SBCD=~\CD\dx+||CO|d2=8V3

同理可得，若P(—2,0),SABCD=8V3

综上，四边形4CBD的面积为定值8H.

法二：设。。：3，为)，。(刀4，、4)，

当直线I的斜率存在时，设直线/的方程为y=kx+m

ry=kx+m

-x2=>%2+4(fcx+m)2—4=0=>(1+4fc2)x2+Qkmx+4m2-4=0

匕+y=1

A=0=>(8km)2—4(1+4fc2)(4m2—4)=0=>4fc2—m2+1=0,

"y=fcxH-m

x2y2n%2+4（kx+m）2—16=0=>（1+4/c2）%2+8kmx+4m2-16=0

.16+T=1

-8km

…4=寿而

4m2—16

7

XO3X4A=---l---+----4-f--c-2

\CD\=Jl+的久3—X4|=HJ（的+应）2一4小必

222

—8km\4m—164V1+fc22

=H1+4k2）^4+16k—m

l+4fc21+4/

注意到巾2=41+1化简得|CD|=)篙,

原点。到直线1的高为d=黑=

又因为瓦？=2而，点P是。力的中点，所以点a到直线1的距离等于点。到直线1的距离,

由对称性可知，OB^-OA^-20P,所以点B到直线2的距离等于点。到直线I的距离的三倍，故SABCD=

SACD+SBCD^l\CD\d+^\CD\3d=2\CD\d=8百.

当斜率不存在时，同法一.

【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范

围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析几何中还要注意

向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，起到了重要的作用.

弘题型三：和周长有关的定值问题

忠,例题分析

【例3】已知尸为圆C：/+y2—2x—15=0上一动点，点N(—1,0),线段PN的垂直平分线交线段PC

于点Q.

⑴求点Q的轨迹方程；

(2)点M在圆/+产=3上，且M在第一象限，过点M作圆/+y2=3的切线交。点轨迹于4,B两点,

问A4BC的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

【答案】(1声+[=1

(22ABC的周长为定值4

【分析】(1)根据垂直平分线性质可知|PQ|=|QN|,可得|QN|+\QC\=4>\CN\,满足椭圆定义，由此可

求得Q点轨迹方程；

(2)设401，%),8(物力)，x1(x2e(0,2),分别求出|4C|,|BC|,再根据力B1OM,利用勾股定理分别求出

\AM\.\BM\,即可得出结论.

【详解】(1)由题意得：圆C:(x—l)2+y2=16,则圆心C(l,0),半径r=4,

设PN中点为K,则QK为线段PN的垂直平分线，则|PQ|=|QN|,

所以IQN|+\QC\=\QP\+|QC|=r=4>|NC|=2,

所以Q点轨迹是以GN为焦点，长轴长为4的椭圆，

即a=2,c=1,贝亚2—a2—c2—3,

则U=l.+）=1,故y"3—率羽=3—率

故|4C|=1（Xi-1尸+比=Jg-2巧+1+3一淆=出4-%）2=2一,

同理可得|BC|=2-

因为AB10M,\0M\=V3,

所以|4M|=川。4|2—|0"|2=J好+y23=Jxj+3-—3=>

同理可得|BM|=（刀2，

所以|48|+\AC\+\BC\=14M|+\BM\+\AC\+\BC\=1■久1+,|%2+2-1久i+2-=4,

即△力BC的周长为定值4.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

【变式3-1】已知椭圆r：捺+，=19>6>0)的左焦点为尸，左、右顶点分别为A,B,上顶点为P.

(1)若APFB为直角三角形，求「的离心率；

⑵若a=2,6=1,点Q,Q'是椭圆「上不同两点，试判断TPQ|=|PQ「是"Q,Q'关于y轴对称”的什么条件?

并说明理由；

(3)若a=2,6=百，点7为直线％=4上的动点，直线兀4,T8分别交椭圆「于C,。两点，试问AFCD的周

长是否为定值？请说明理由.

【答案】(1卓

(2)必要不充分条件，理由见解析

(3)是，理由见解析

【分析】(1)利用APFB为直角三角形得到丽•丽=0,转化为ac=^=。2—C2即可得e=$="二.

a2

(2)根据椭圆的对称性可证必要性，又反例可知不满足充分性.

(3)先证直线CD过椭圆的右焦点，可得AFCD的周长为4a=8

【详解】(1)

如图F(—c,O),P(O,b),B(a,O),

~PF=(-c,-b),而=(a,-b),

由题意而•而=0,即ac==a?—c2,故e=l—e2,

解得离心率e=早

(2)必要不充分条件.

必要性：根据椭圆的对称性可知，当Q,Q'关于y轴对称时，|PQ|=|PQ］成立;

„2门

充分性：椭圆方程为丁+俨=1,设Q(%,y),

4

\PQ\2=x2+(y-I/=-3y2-2y+5,在(-1,1)上不单调，

所以可举反例：分别取yi=0,乃=-|，

即Q(2,0),<2'(乎,-1)

使得IPQI=|PQ'|=遍，但Q，Q'不关于y轴对称.

(3)

由题意，4(—2,0),5(2,0),椭圆方程为9+9=1,

设T(4,t),则直线47的斜率为747T=£方程为：y=：(x+2),

联立椭圆方程得(27+t2)x2+4t2%+4t2-108=0,

/+-/，故和==，代入y=：(x+2)得次=蒜，

所以C(H，赤滔)，

同理直线BT的方程为：y=1(x—2),

联立椭圆方程得(3+t2)x2-4t2x+4t2-12=0,

xB+xD=京，故功=代入y=；(%-2)得y。=熹，

所以。(骁案)

18t-6t

wr以々—27+m3+m_24K产+9)_6t

历以KCD-5”2t22t2—6-4(81-t4)一屋浮

27+t2~3+t2

CD直线方程为y-=言?(久一蚩卷)，

令y=0,可得％=1,即直线CD恒过椭圆的右焦点.

所以△FCD的周长为定值4a=8.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为。i，yD,0：2。2)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，必要时计算△；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为X1+乂2、叼乂2(或乃+丫2、月丫2)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

22

【变式3-2】已知椭圆。宗+方=1口>6>0)的长轴长为4,A,3是其左、右顶点，M是椭圆上异于/,

B的动点，且々MZ,=—：•

(1)求椭圆。的方程；

⑵若尸为直线x=4上一点，PA,尸8分别与椭圆交于C,。两点.

①证明：直线CD过椭圆右焦点?2；

②椭圆的左焦点为Fi，求ACFi。的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【答案】(《+9=1

(2)①证明见解析；②定值为8.

【分析】(1)由题意可得a=2,>1(-2,0),1(2,0),设M(%o，yo)(x()不±2),可得炉部+4%=4抉，进而根

据题意即可求解;

(2)①设P(4,t)(tK0),联立直线和椭圆方程，求得C(兽,2；O>34^),进而得到尸2。F2D,

再根据向量共线的定义即可得证；②根据椭圆的定义即可求解.

【详解】（1）由已知得:a=2,4（一2,0）,8（2,0）,

设M（xo，yo）（&K±2）,因为M在椭圆上，所以扶就+4弟=4F①

因为卜“4-KMB-7^'7^^=-p

XQ-TZXQ-ZXQ-44

将①式代入，得4b2-房焉=12-3焉，得按=3,

(2)①证明：设P(4,t)(tK0),则kp4=gZp4：x=；y—2,

ot

同理可得々PB+2,

,x=-6y—o2“c

t/曰_18t54-2好

联立方程e比=i，何yc=加？'

X。=27+t2

.丁十石一

则c(篝，给

%=：y+2,

_6t_2t2-6

同理联立方程22，可得

xy3+t2秘=诉

—i—=1

.43

则。(宴弟)

又椭圆的右焦点为尸2(1，0)，

所以就=(需，券1,臣=(忌言)

m、.27—3/—6t18tM—9八

因----T-X-----7-----------TX-----T=0

27+t23+t227+t23+t2，

说明C,D,%三点共线，即直线CD恒过％点.

②周长为定值.因为直线CD恒过Fi点,

根据椭圆的定义，所以AC%。的周长为4a=8.

【变式3-3］在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆的：(x+1)2+产=；内切，且与圆c2：(x-1)2+y2=；

44

外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为&、A2,T为直线2:x=4上的动点，且7不在x轴上，直线T4与C的另

一个交点为M,直线?必与C的另一个交点为N,尸为曲线C的左焦点，求证：AFMN的周长为定值.

【答案】(19+9=1

(2)证明见解析

【分析】(1)设动圆P的半径为R，分析可得|PCi|+|PQI=4>£101=2,利用椭圆的定义可求得轨迹E

的方程；

(2)设点7(4,t)(t70),设W(x2,y2),写出直线T4、的方程，将这两条直线分别与曲线E

的方程联立，求出点M、N的坐标，可得出直线MN的方程，化简直线MN的方程，可知直线MN过椭圆E的

右焦点，再利用椭圆的定义可证得结论成立.

【详解】(1)解：设动圆P的半径为R,

由题意可知：圆的的圆心为的(一1,0),半径为玄圆。2的圆心为牝(1，0)，半径为右

因为£心|=2,则£心1<，?，所以，圆C2内含于圆Q,

因为动圆P与圆Ci内切，且与圆C2外切，

IPCJ=--R

则<1NIPCII+IPQI=4>CiQI=2,

\PC2\=9+R

所以，动圆P的圆心的轨迹E是以C1、为焦点的椭圆，

设其方程为宏+，=1(。>b>0)，其中2。=4,2c=2,

所以，a=2,b2=a2-c2=3,从而轨迹E的方程为。=1.

(2)证明：由题意可知&(一2,0)、42(2,0)、T(4,t)(t*0),

设“01，%)，N(%2，y2)，如下图所示：

F

直线&T的方程为y=：(x+2),直线的方程为y=1(%-2),

联立方程

y=1(x+2)

[RA消去y得(27+t2)x2+4t2%+4t2-108=0,

54-2/

由韦达定理可得-2.小=空罂,即

27+t2

贝帆=(01+2)=(

OO

联立方程《2222

2可得(3+t)x-4tx+4t-120,

—+

<4

由韦达定理可得2冷=笑萨，即冷=密

则%=；3-2）=；（骁一2）=盛，故点'（骁，器），

所以，-善

27+t23+t2

所以，直线MN的方程为y+Wj=—七（％—骁），

即丫=—；^x+7^=一1），且tH±3，

故直线MN过定点（1,0）,所以AFMN的周长为定值8,

当1=±3时，7（1,一|）或用（1,一|）、N（l,|）,

所以，过椭圆E的焦点（1,0）,此时AFUN的周长为定值4a=8,

综上所述，AFMN的周长为定值8.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

为题型四：和线段有关的定值问题

忠例题分析

【例4】如图，已知椭圆的：捻+，=l（a>b>0）的左右焦点分别为%,6，点人为的上的一个动点（非左

右顶点），连接力Fi并延长交Ci于点B,且△力NF?的周长为8,△4F1F2面积的最大值为2.

⑴求椭圆Cl的标准方程；

(2)若椭圆。2的长轴端点为F1/2，且C2与C1的离心率相等，P为与。2异于F1的交点，直线PF2交C1于M,N

两点，证明：|4B|+|MN|为定值.

【答案】(用+1=1

(2)证明见解析

【分析】(1)由△力BF2的周长为8和△力Fi&面积的最大值为2,有4a=8,be=2,解出a,6得椭圆方程;

(2)由已知求出椭圆。2的方程，设的方程，利用韦达定理和弦长公式，表示出|AB|和|MN|,化简

\AB\+|MN|为定值.

【详解】(1)•••△ABB的周长为8,由椭圆的定义得4a=8,即a=2,

又△小\?2面积的最大值为2,•・[•2c-b=2,即%=2,

2

va2=b2+c2,b2+c2=4,b2+=4,解得b=V2,

•••椭圆Cl的标准方程为9+?=1.

(2)由(1)可知%(-谊,0),F2(V2,0),椭圆J的离心率e=：=¥，

22,2,2<2p-2

设椭圆C2的方程为马+与=1，则有a'=VL彳=二=(9),解得b'=l,

椭圆。2的标准方程为'+必=i,

设P(%o，yo),8(电丫2)，••,点P在曲线。2上，；・1+2羽=2,

依题意，可设直线ZB,MN的斜率分别为七,々2，

则ZB,MN的方程分别为y=k^x+V2),y=的(％-鱼)，

干尾“匕_y。y。_%_式2_均__i

十7£七心一病百丁正一系3-xp--—5，

y=fci(%+V2)

联立方程组、A2消去y整理，得(2k/+i)x2+4立好x+4好一4=0,

4V2k?4k?-4

Xi+X7=-7,Xi.%2=~79

1N2妊+11L2好+1

同理可得：\MN\=

Z/<2।J-

4超+4=«-看)+4=8妊+2

=一/，；.|MN|

•••\AB\+|MN|=黑+需=6为定直

【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或月建立一元二次方程，然后借

助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.强化有关直线与椭圆联立得出一元二次

方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

22

【变式4-1】已知椭圆C：%+左=1(a>b>。)的焦距为4,左右顶点分别为&,42，椭圆上异于4，42

的任意一点尸，都满足直线P4,P4的斜率之积为-/

⑴若椭圆上存在两点当关于直线丫=%+根对称，求实数机的取值范围；

(2)过右焦点B的直线交椭圆于M,N两点，过原点。作直线儿W的垂线并延长交椭圆于点Q.那么，是否

存在实数上，使得高+春为定值？若存在，请求出左的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)(一手，手)

(2)存在，k*

【分析】⑴设P(x,y),则加公-kPA2=-1,又点尸在C上,利用待定系数法求出椭圆方程;设片皿：y=~x+t

联立/+2y2=8得出t,TH关系得出结果.

(2)设】MN：%=sy+2联立第2+2y2=8表示|MN|,I°Q：y=-sx联立%2+2y?=8得|OQ|,代入求得结果.

【详解】(1)由题意得：c=2,4(一%0),4(a,0),P(x,y),

,点。在。上，；.y2=b2—去％2代入①式，.・.2b2一今％2=a2—%2,a2=2b2,

c=2,a2=8,h2=4,椭圆。方程誉+?=1,

设片1%:y=-％+£联立％之+2y2=8得3x2—4tx+2t2—8=0,

△=(4t)2-12(2产-8)>0=>t2<12=>tE(-2V3,2V3),

G+t2=phh=^7^.

...Bi，%中点在/上