北师大版九年级上册九年级数学上册第2章《一元二次方程》教案

第二章一元二次方程

本/章/整/体/说/课

♦教学目标

如注媚’|

1.了解一元二次方程及有关概念.

2.会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.

3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.

4.提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题.

［过程‘苗；岩

1.通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析,建立数学模型,根据数学模型恰如其分地给出一

元二次方程的概念.

2.通过掌握形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程的解法一一直接开平方法，导入用配方法解一元二

次方程,再通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.

3.通过用已学的配方法解方程axe+bx+c=O(aWO)推导出一元二次方程的求根公式，导入用公式法解

一元二次方程.

4.通过实例探索一元二次方程的根与系数的关系.

「情感态度与价值则

1.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到一元二次方程也是刻画

现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.

2.经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想.

3.经历设置丰富的问题情境，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程

的意义和作用，激发学生的学习兴趣.

a教材分析

本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解

法），运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内

容.方程思想是科学研究中重要的数学思想，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识

的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.

在总体设计思路上，本章遵循了“问题情境一一建立模型一一解释、应用与拓展”的模式，首先通过具

体的问题情境建立有关方程，并归纳出一元二次方程的有关概念,然后探索其各种解法,并在现实情境中加

以应用,切实提高学生的应用意识和能力.

具体来讲,第1节通过丰富的实例，如“地毯四周有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题，建立一元

二次方程,让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想;第2~4节通过具

体方程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5节在求根公式的基础上，探索一元二

次方程的根与系数的关系;第6节再次通过几个问题情境加强一元二次方程的应用.

a教学重难点

【重点】

i.一元二次方程及其他有关的概念.

2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.

3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.

【难点】

1.用配方法解一元二次方程及实际问题.

2.用公式法解一元二次方程时的讨论.

3.一元二次方程的根的判别式的相关知识.

4.一元二次方程的根与系数的关系.

5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，理解方程的解与实际问题的解的区别.

°教学建议

1.联系已有的相关知识，如一次方程、方程组，以及函数知识，进一步提高学生整体应用数学建模思想

的意识和能力.一元二次方程的解法中，渗透“降次”的转化思想，体会不同解法的优缺点与相互的联系，培

养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底，对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作

为学生探究性学习的题材.

2.对于“一元二次方程的根的判别式”，为了教学，应适当添加习题，使学生理解一元二次方程的根的

存在情况与系数的关系.

3.对于“一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）”，为了后续学习（包括初、高中函数的学习）的

方便,可根据学生情况,在教学中安排1-2课时,组织学生进行这方面的简单探究活动.

4.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充，添加适当的

习题.

a课时划分

2课

1认识一元二次方程

时

2课

2用配方法求解一元二次方程

时

2课

3用公式法求解一元二次方程

时

1课

4用因式分解法求解一元二次方程

时

1课

一元二次方程的根与系数的关系

5时

2课

6应用一元二次方程

时

_1

课/时/教/学/详/案

1认识一元二次方程

1r知识写技能」

理解一元二次方程及其相关概念.

广过程'舫阴

经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系

的一个有效数学模型.

F情疏涯耳桶蚪

经历估计一元二次方程的解的过程，增进对方程的解的认识,进一步培养估算意识和能力，发展数感.

＜教学重难点

【重点】一元二次方程的概念及一般形式.

【难点】

1.由实际问题向数学问题转化的过程.

2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.

第UI课时

0整体设计

3教学目标

■知识写技能力

了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程.

限—;却

经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效

数学模型.

■情何战身雁观r

在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型.

r教学重难点

【重点】一元二次方程的概念和一般形式.

【难点】正确理解和掌握一般形式中的“a/O”，“项”和“系数”.

，建堇!备

【教师准备】预设学生学习过程中存在的问题.

【学生准备】复习有关方程的知识.

，教学过程

E新课导入

导入一：

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯,四周

未铺地毯的条形区域的宽度都相同（如图所示），你能求出这个宽度吗？

8m-------

如果设所求的宽度为Xm,那么你能列出怎样的方程？

导入二：

观察下面等式：

102+112+122=132+142.

你还能找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意，你能

列出怎样的方程？

导入三：

如下图所示,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端

下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动Xm,那么你能列出怎样的方程?

教师给出图片,学生观察、思考,然后教师提问，学生回答.

［设计意图］通过以上三个实例，在具体的情境中巩固列方程的一般思路，为概念的提出赋予实际的

意义.

陷新知构建

一、一元二次方程的概念

思路一

［过渡语］什么样的方程是一元二次方程呢？

由上面的三个问题,我们可以得到三个方程：

(8-2x)(5-2x)=18;

X2+(x+l)2+(X+2)2=(x+3)a+(X+4)2；

(X+6)2+72=102.

这三个方程有什么共同特点？

归纳:上面的方程经过整理后都是只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成axz+bx+c=

0(a,b,c为常数,aWO)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.

［知识拓展］符合一元二次方程即符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为

2;③是整式方程.

我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,aWO)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二

次项、一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数.

［设计意图］在方程的比较中得到概念，能够体现出合作探究的意识，同时提高了学生的归纳能力.

思路二

下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点？

(x-4)z+(X-2)2=X2；

(30-2x)(20-2X)=200.

先让学生在小组内讨论交流,然后回答问题.

教师总结:①相同点:都是整式方程,都只含有一个未知数.②不同点:一元一次方程中未知数的最高次

数是1,而这些方程中未知数的最高次数是2.

问题:类比一元一次方程，你能给这样的方程起个名字吗？带着这个问题,请大家填写下面的空格：

像这样,等号两边都是一—式,只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是—

(二次)的方程叫做一元二次方程.

强调:一元二次方程必须是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程.

【师生活动】现在请同学们观察下列方程,然后判断哪些是一元二次方程.

(1)X2+2X-4=0;(2)3xs+4x=9;(3)3yz-5x=7;(4)—=1;(5)y2-3y=0;(6)-=l.

2+

【师】大家先观察这六个方程,它们都是整式方程吗?如果不都是,请告诉老师,哪个方程不是整式方

程？

【生】(4)不是整式方程.

【师】哦，你真棒!方程⑷不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了，好,我们把它排除.接下

来,大家继续观察,告诉老师,哪些方程不是一元的？

【生】(3)不是一元的.

【师】嗯,很好!方程(3)含有x和y两个未知数,所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,

好,排除它.我们继续观察,谁能告诉老师，哪些方程不是二次方程？

【生】(2)不是二次方程.

【师】很好!方程⑵中未知数的最高次数是3,所以它不是一元二次方程,说的很棒!将它排除.现在

剩下了方程(1),(5),(6),观察一下它们都具备一元二次方程定义里面的三要素吗？

【生】具备.

【师】嗯，最终我们可以确定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.

教师让学生再举出一些不是一元二次方程的方程，以加深学生对一元二次方程概念的理解掌握.

［设计意图］通过问题的设计与讲解,类比一元一次方程和分式方程的定义学习一元二次方程，可使

学生深刻理解一元二次方程的定义，掌握定义中的三要素,实现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过渡，

以达到质的飞跃.

二、例题讲解

［过渡语］刚刚我们学习了什么是一元二次方程,现在我们通过下面的几个例题来看看同学们理解

的怎么样.

例1判断下列方程是否是一元二次方程.

⑴2x-X2——=0;

2

(2)2X2-X+5=0;

(3)ax2+bx+c=0;

(4)4X2--P7=0.

解：（1）（2）符合一元二次方程的概念,方程（3）中的a等于0时,方程不是一元二次方程，（4）不是整式方

程,所以（3）和（4）都不是一元二次方程.

［过渡语］下面我们再通过一个例题来理解一下一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系

数和常数项.

例2把方程3x（x-l）=2（x+2）+8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.

解:去括号,得3X2-3X=2X+4+8,

移项,合并同类项,得3X2-5X-12=0,

二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是T2.

［设计意图］通过例题的讲评,进一步加强学生对一元二次方程相关概念的理解，从而突破本节课的

重点和难点.

［知识拓展］对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点：（1）“aWO”是一元二次方程的一

般形式的一个重要组成部分，因为方程ax2+bx+c=0只有当aWO时,才叫做一元二次方程，当a=0,bWO

时，它是一元一次方程.（2）任何一个一元二次方程，经过整理都可以变为一般形式.（3）二次项系数、一次项

系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形

式.（4）要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.

亘课堂小结

1.只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax°+bx+c=O（a,b,c为常数,a/0）的形式,这样

的方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(aW0).ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b

分别称为二次项系数和一次项系数.

的：检测反馈

1.下列6个方程：⑴3X+2=-X2；(2)+y=5;⑶y2+2x-3=0;(4)mnx2+(m+n)x+l=O;(5)x2—2x+

4=0;(6)-+y+3=0.

2

其中是一元二次方程的是.(填序号)

解析:一元二次方程要符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方

程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).

2.将方程3X2=5X+2化为一元二次方程的一般形式为.

解析:一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(aW0),注意移项时要注意变号,答案为3xz-5x-2=0.

故填3X2-5X-2=0.

3.一元二次方程2xz+4xT=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为___.

解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为T,所以它们的和为2+4+(-1)=5.故填5.

4.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.-X2+5X=2B.2xs+7x-2=0

C.X2+=3D.7x-=2

2

解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.

叵板书设计

第1课时

1.一元二次方程的概念

2.例题讲解

例1

例2

J6布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第32页随堂练习.

【选做题】

教材第32页习题2.1的3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.一元二次方程的一般形式是

2.将方程-5xz+l=6x化成一般形式为•

3.将方程(x+l)z=2x化成一般形式为,

4.方程2xz=-8化成一般形式后,一次项系数为,常数项为.

5.方程5(X2-2x+l)=-32x+2的一般形式是,其二次项是_______,一次项

是—，常数项是

【能力提升】

6.若abWO,则-X2+-x=0的常数项是.

7.若方程a*+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程，则a

8.关于x的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0,当_______时，是一元二次方程，当_________时，是一元

一次方程.

【拓展探究】

9.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=xz-l.

(1)当k为何值时,方程为一元二次方程？

(2)当k为何值时,方程为一元一次方程？

【答案与解析】

1.ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,aWO)(解析:要注意不能漏掉括号内的条件.)

2.-5X2-6X+1=0(解析:要注意答案不唯一，如可以是5X2+6X-1=0.)

3.x?+l=0(解析：也可以是-X2-l=0.)

4.08(解析:整理成一般形式为2*+8=0,没有一次项,故一次项系数为0,常数项为8.)

5.5x2-22x+3=05x2-22x3

6.0

7.力1(解析:先整理成一般形式，即(a-l)XLx+7=0,再使二次项系数不为0,则a/1.)

8.mN4m=4

9.解:方程可化为(k-3)xz-kx+l=0.(1)若方程为一元二次方程，则k-3W0,即kW3.(2)若方程为一

元一次方程,则-=解得k=3.

■教学反思

I成功之J__处_______________

在实际教学中，有的学生对概念背得很熟，但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学

生存在的这些问题,本节课突出对概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创

造性学习.教学中，运用启发引导的方法让学生从实际的问题出发，观察发现并归纳出一元二次方程的概念,

启发学生发现规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的.

I不足之处

学生对于将一元二次方程化为一般形式感觉困难不大，但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项

时,部分学生容易忽略符号，作为第一次学习，这是难免的.

，再教设计

本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概念的推导和应用.在课堂教学中，可先从具体的背景

出发,激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价值，然后通过例题和练习进一步巩固对概念的理

解.

教材习题解管

随堂练习(教材第32页)

1.解：(答案不唯一)设直角三角形的三边长分别为x-1,X,x+l(x>l),根据题意,得(x-1)2+x2=(x+1)2,

化成一般形式为X2-4X=0.鼓励学生选定不同的量设为未知数,列出不同的方程.

2.解：(答案不唯一)原方程可以化为5X2+36X-32=0,二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.

习题2.1(教材第32页)

1.解：(1)设这个正方形的边长是xm(x>0),根据题意，得(x+5)(x+2)=54,即x2+7x-44=0.(2)设

三个连续整数依次为x,x+1,x+2,根据题意,得x(x+l)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242,即xz+2x-80=

0.允许学生选择不同量作为未知数,但要求列出一元二次方程.

2.解：(答案不唯一)如下表所示：

二次一次

项项常

方程一般形式

数项

系数系数

3X2=5X-13x2-5x+l=03-51

(x+2)(x-1)

X2+X-8=011

=68

4-7x2=07x2-4=070

4

3.解:设竹竿长为X尺,贝u门框?魅为(x-4)尺，门框高:为(x-2)尺,根据题意，得X2二=(x-4)2'+(x-2)2,即

X2-12X+20=0.

@备课资源

♦教学建议

学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元

一次方程的过程,在八年级已学过二元一次方程组的概念,经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过

程，已理解了“元”和“次”的含义,具备了学习一元二次方程的基本技能.

学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的

合作学习的经验和数学思考的能力，具备了一定的合作与交流的能力.

3经典例题

已知关于X的方程(2a-4)X2-2bx+a

=0.求满足下列条件时a,b的取值范围.

(1)方程为一元二次方程；

(2)方程为一元一次方程.

(解析)观察所给方程,根据一元二次方程和一元一次方程的定义确定a,b的取值范围.

解：⑴由题意,得2a-4W0,即a关2.

所以当aW2时,方程是一元二次方程.

(2)由题意,得2"

-2

解得a=2,bWO.

所以当a=2且bNO时,方程是一元一次方程.

［解题策略］只含有一个未知数X,并且可以化为axz+bx+c=O(a,b,c为常数,aWO)的形式的整式方

程是一元二次方程.利用概念解决问题时,应抓住其中本质的东西，一元二次方程与一元一次方程的区别是

未知数的最高次数分别是2和1.

第②课时

9整体设计

4教学目标

・知识写■技能.

探索一元二次方程的解或近似解.

■过程可制

通过具体实例探究一元二次方程的解.

产情感态度与界阿

经历方程的解的探索过程，增进对方程的解的认识,培养估算意识和能力.

♦教学重难点

【重点】探索一元二次方程的解或近似解.

【难点】培养学生的估算意识和能力.

，逢茎t备

【教师准备】预设课堂活动中学生可能提出的问题.

【学生准备】复习有关方程的知识.

，教学过程

况新课导入

导入一：

在小学的时候,我们经常用估算的方法计算一些问题.那么，你能估算方程2x^l3x+ll=0中x的取值

范围吗？

导入二:

［过渡语］我们来看看上节课的第一个问题.

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18的地毯,

四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如右图所示)，你能求出这个宽度吗？

如果设所求的宽度为xm,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大约是多少吗？

即新知构建

估算一元二次方程的解

1.引例

［过渡语］(针对导入二)你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗?

我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)=18.

思路一

⑴x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.

分析：因为40m2>18m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于。的，所以x不可能大于4,也不

可能大于2.5.

(2)你能确定x的大致范围吗？

分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计，精确度还有待于我们进一步去探讨.

(3)计算,填写下表：

(8-2x)(5-2x)40

4

0880

分析：由上表可以看出，如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,

那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.

（4）你知道所求宽度x（m）是多少吗?你还有其他求解方法吗？与同伴交流.

提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围，通过解一元一次方程等方法可以求出具体的

宽度.

思路二

（1）确定大致范围.

因为40m2>18mz,所以x不可能小于（），因为8-2x,5-2x都是大于。的，所以x不可能大于（）,

综合以上，分析x的大致范围是（）到（）之间.

（2）比较精确地估算.

填写下表后思考：

(2

X1)：,5

.5.5

(8-2x)(5-2x)

当x取0.5的时候,你发现了什么问题？当x取1.5的时候，你发现了什么？通过前面的发现，你怎

样更精确地确定宽度的范围？

2.做一做

［过渡语］刚刚我们解决了上一节课的第一个问题，我们再来看看上一节课的第三个问题能不能解

决.（附图）

在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(X+6)?+72=102,即X2+12X-15=0.

(1)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?为什么？

分析:若底端也滑动了1m,此时(1+6)2+7/102,因此滑动的距离是大于1m的.

(2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么？

分析:通过计算,可以得出下表,根据表格可知，

0.

X0t!3

5.5

-8-।3

X2+12X-15

15.752.2530

如果底端滑动的距离是2m或者3m,那么x=+12x-15的值都大于0,即(x+6)2+72>102,所以底端滑动

的距离小于2m.

(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

分析:根据前面的分析，得出x的取值范围大致是Kx<l.5,但这还不是一个很精确的数字.

(4)x的整数部分是几?十分位是几？

分析:通过计算，得出下表：

1.iT]L]-

X

1234

-00.2.3.

X2+12X-15

.59842976

根据上表思考：

当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值？（1.3更接近）

当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值？（1.2更接近）

当x取1.1的时候,与真实值是什么关系？（小于真实值）

当x取1.2的时候,与真实值是什么关系？（大于真实值）

综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是1.Kx<l.2.

所以x的整数部分是1,十分位是1.

［知识拓展］估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax?+bx+c=

O（aWO）,分别将x,x代入等式左边,当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根x,而且x〈X〈X.这是因

120102

为当a2+bxJc<0（或>0）而空+b/00（或〈0）时，在▲到X。之间由小变大时,ax^bx+c的值也将由小于

0（或大于0）,逐步变成大于0（或小于0）,其间axz+bx+c的值必有等于0的时候，此时的x的值就是原方

程的根x.

0

f3课堂小结

1.在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”，选

取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.

2.采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤：

（1）将方程变为一元二次方程的一般形式；

（2）根据实际情况确定方程的解的大致范围；

（3）根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行

验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个

整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分；

（4）保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似

W检测反馈

1.根据下表,判断方程axz+bx+c=O（a/O,a,b,c为常数）的一个解x的范围是)

3.3.33

X3

2324.25.26

axz+bx-o-o-o00

+c.07.06.02.03.09

A.3<x<3,23B.3.23<x<3.24

C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

解析：由表中的数据可知，当x的值由3.24变化到3.25时,axz+bx+c的值由-0.02变化到0.03,所以

在3.24到3.25之间存在一数值，使axz+bx+c的值等于0.故选C.

2.用22cm长的铁丝,折成一个面积为15cm2的矩形,设矩形的一边长为xcm,则x的大致范围是

（）

A.x>0B.0<x<l

C.Kx<2D.2<x<3

解析:对于实际问题的近似解的问题,应先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行

“夹逼”，逐步获得其近似解，“夹逼”思想是近似计算的重要思想.由题意可列出方程（ll-x）x=15,整理

得x『llx+15=0,估算此一元二次方程解的范围如下表所示：

X01234

1---

X2-11X+155

53913

由此可知，当x在1~2之间取某一值时,X2-11X+15可能等于零.故选C.

3.如图所示,某大学为改善校园环境,计划在一块长80m,宽60nl的长方形场地的中央建一个长方形网

球场，网球场占地面积为3500m2,四周为宽度相等的人行道,设人行道的宽为xm.

jr

(1)你能根据题意列出相应的方程吗？

⑵X可能小于0吗?说说你的理由；

(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；

(4)你知道人行道的宽x是多少吗?说说你的求解过程.

解：(1)由题意得，网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整

理得X2-70X+325=0.

(2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.

(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时，网球场的宽60-2x〈0,这不符合实际，当然x

更不可能大于40.

(4)由上面分析可知,x的大致范围应为0〈x〈30,在这个范围内估算方程的近似解如下表所示:

X231557

X2-70X+115--

)

3258924159116

显然，当x=5时，X2-70X+325=0.

因此,人行道的宽度应为5m.

15板书设计

第2课时

估算一元二次方程的解

⑴引例

⑵做一做

6布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第35页习题2.2.

二、课后作业

【基础巩固】

1.根据下表中的数据（精确到0.01）,判断方程xz+5x-3=0的一个解x的范围是（）

0.00.20.50.1.

X

0507500

-3.-1.-o.1.3.

X2+5X~3

0069253100

A.0.00<x<0.25B.0.25<x<0.50

C.0.50<x<0.75D.0.75<x<l.00

2.小颖对一元二次方程(8-2x)(5-2x)=18的根做了如下表所示的估计:

X0123

41—

(8-2x)(5-2x)4

082

由表格可知,此方程的一个根为（）

A.0B.1C.2D.3

3.根据方程x「3x-5=0可列下表，则x的取值范围是（）

X456

---

321

11

X2_3X_55・・5

3113

A.-3<x<-2或4<x<5

B.-2<x<-l或5<x<6

C.-3<x<-2或5<x<6

D.-2<x<-l或4<x<5

4.根据下表可知,方程X2+2X-10=0的一个近似解为.

X­•~4.1-4.2-4.3-4.4-4.5

X2+

・・-1.39-0.76-0.110.561.25

2x-10

【能力提升】

5.根据下表中的数据（精确到0.001）,猜想方程X2+2x-100=0的一个根大约是（）

9.039.049.059.9.

X

000060070

-0.3-0.10.000.0.

X2+2X-IOO

99983204405

A.9.025B.9.035C.9.045D.9.055

6.观察下表:

13

X)0.5122.531

.5.5

5X2-24X217.3-0.75L

901

+28825.255.252

从表中你能得出方程5X2-24X+28=0的根是多少吗?如果能,写出方程的根;如果不能,请写出方程根

的取值范围.

【拓展探究】

7.某校矩形操场的长比宽多14m,面积是3300m%求操场的宽的取值范围（精确到十分位）.

【答案与解析】

LC（解析：由表中的数据可知，当x的值由0.50变化至IJ0.75时,x=+5x-3的值由-0.25变化至1.31,所

以在0.50到0.75之间存在一数值，使x2+5x-3的值为0.故选C.）

2.B（解析：由表中的数据可知，当x的值等于1吐（8-2x）（5-2x）的值等于18,所以方程（8，x）•（5-2x）

=18的一个解为x=l.故选B.）

3.D（解析：由表中的数据可知，当x的值由-2变化到T时,X2-3X-5的值由5变化到T,所以在-2到T

之间存在一数值,使X2-3X-5的值等于0,同理,当x的值由4变化到5时,x2-3x-5的值由变化到5,所以

在4到5之间存在一数值，使x2-3x-5的值等于0.故选D.）

4.-4.3（解析：由表中的数据可知，当x=-4.3时,X2+2X-10的值更接近于0,所以方程xz+2x-10=0的

一个近似解为-4.3.）

5.C（解析：由表格可得,在9.040到9.050之间存在使方程x2+2x-100=0成立的x的值.故选C.）

6.解:根据表格中的数据,可以发现：当x=2时,5XL24X+28=0,故方程5x2-24x4-28=0有一个根是x

=2.又因为当x=2.5时,5X2-24X+28=-0.75,当x=3时,5x?-24x+28=1,故一元二次方程5xz-24x+28=

0的另一个根的取值范围是2.5<x<3.

7.解析:先设出未知数,列出方程,然后列表、取值、计算,缩小范围,确定符合题意的未知数的取值范

围.

解:设操场的宽为xm,则长为（x+14）m,根据题意得x（x+14）=3300,整理得x2+14x-3300=0.列表如

下：

550.5i5

X

010.80.91

X2+--88-1

14X-3300100.598.16.415

所以宽的取值范围是50.8m~50.9m.

SL教学反.

♦成功之处

课堂上把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励性的语言以

及小组合作学习等方式，帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作,

为学生提供展示自己聪明才智的机会,在此过程中，教师可以发现学生在分析问题和解决问题时的独到见

解以及出现的思维误区，这样可以使得老师更好地指导今后的教学.

♦不足之处

在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其

他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当地指导,包括知识的启发引导，使小组

合作学习更具实效性.

4再教设计

本节课的重点是使学生在求解的过程中体会方程解的含义.教师应引导学生讨论并探索求解的过程,

防止学生在求解过程中只注重数据的计算，而忽略了对数据特点的分析，忽视了探求的意识.

S教材习题解答

随堂练习(教材第34页)

解:将这五个连续整数中的第一个数设为X,那么其余四个数依次为x+1,x+2,x+3,x+4,根据题意,

得xz+(x+1”+(x+2)z=(X+3)?+(X+4)2,即xz-8x-20=0,可列下表：

X2-8X-20

所以x=-2或x=10,因此这五个连续整数依次为-2,T,0,1,2或10,11,12,13,14.

习题2.2(教材第35页)

1-解:设苗圃的宽为xm,则长为(x+2)m,根据题意,得x(x+2)=120,即X2+2x-120=0.列表如下:

X2+2X-120

所以苗圃的宽为10m,长为12m.

2.解:能.设矩形的宽为xm,则长为—