2024年重庆市渝中区某中学保送生数学试卷（附答案解析）

2024年重庆市渝中区巴蜀中学保送生数学试卷

一、填空题（每题7分，共70分）

1.（7分）有1、2、-2三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求

了倒数；小颖分别对这三个数求了-2次募.将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选

一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为.

2.（7分）已知a—=1,贝0暗口一厂2]+£^一磊的值为---------

3.（7分）如图，在平行四边形A8CZ）中，AC是对角线，ZC4B=90°,以点A为圆心，

以的长为半径作OA,交BC边于点E,交AC于点孔连接DE.且/ADE=30°,

AD=6,则阴影部分的面积为.

4.（7分）将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2

得到的大正方形的面积为5,图3得到的图形的外轮廓的周长为4+46，则图1中sin

ZCEB

x—mW—1

{X+1无、3有解且至多有6个整数解，且关于

1mv

y的分式方程——+3=—2的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和

-y-ii-y

为

111

6.（7分）若实数p、q,满足法+移'=8,q2-q=8,且q>0,则记+q的值

为.

7.（7分）如图所示，已知锐角△ABC中，AB=V10,BC=6,将△ABC绕点A逆时针旋

转至AADE位置，恰好使得CELBC于C,且CE=BC,连接BD,贝UBD的长

为.

8.（7分）我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作国，又把尤-印称为x

的小数部分，记作{x},则有x=[x]+{x}.如：[2.4]=2,{2.4}=0.4,2.4=[2.4]+{2.4}；[-

2.4]=-3,{-2.4}=0.6,-2.4—[-2.4]+{-2.4},则下列说法正确的是（填序

号）.

①[1-V5]=-2；

②如[如+1]=-2,则实数m的取值范围是-6<m<4；

③若l<|x[<2且{%}=V2—1,则x=±V2；

④方程5印+2={无}+4x的实数解有4个.

9.（7分）如果一个四位自然数砺的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足万+方=

be,那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428,；14+28=42,1428是“神

奇数”；又如四位数3526,因为35+26W52,.•.3526不是“神奇数”.若一个“神奇数”

的前三个数字组成的三位数击与后三个数字组成的三位数bid的和能被9整除，则满足

条件的所有“神奇数”的平均数是.

10.（7分）如图所示，平面直角坐标系中，四边形04BC是矩形，点A在第一象限，点、B、

C在第二象限，SAOAB=9V2,将△048沿OB翻折至△OA'B,反比例函数y=-52恰

好经过点8和点A',连接A'C交x轴于点M,则点M的坐标

为

二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分）

11.（10分）近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家

出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星

球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团

的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个.

（1）十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？

（2）十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动.其中星球大战的单价下降了5

4

元，精灵天团的单价下降了？"％.小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战

购买数量在十月份基础上增加了5m%,精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了4m%,

结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求机的值.

12.（15分）如图1,四边形A2C。是边长为4的正方形，两对角线交点为。，有两个动点

E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿A8边从A向点B运动，点F

以每秒2个单位长度的速度沿折线一C方向运动，当其中一点到达终点时另一点也

随之停止运动.设运动时间为/秒，△Z）。F的面积为yi,的面积为"（yiWO,yi

WO）.

（1）请直接写出以、y2关于/的函数表达式，并注明自变量f的取值范围.

（2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数yi的一条性

质.

（3）结合函数图象，求出△DOF和△BEF面积相等时的t的

4-----1------r----i------1

13.（15分）如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中

写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3机的筒车。。按逆时针方向每分钟转1

圈，筒车与水面分别交于点A、B,筒车的轴心。距离水面的高度0C长为24小筒车

上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.（1）浮出

水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？

（2）若接水槽所在直线是O。的切线，且与直线A8交于点M，已知M0=8抗，求

盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点尸恰好在直

线上）？

（参考数据sin37.5°弋0.6,cos37.5°心0.8,sin220=cos68°«sinl7°=cos73°心

o

14.（20分）平面直角坐标系中，抛物线y=-耳/+5+6（a，b均为常数）与y轴相交于

点A,与x轴相交于8（-38，0）、C（百，0）两点，连接A8,过点C作C。〃A8交抛

物线于点D

（1）求出该抛物线的函数表达式及点。的坐标；

（2）如图1,已知点G是线段上方抛物线上一点，过点G作G尸〃y轴交于尸,

在线段AC和线段CD上分别有两个动点K、L且满足KL=2,M是KL的中点，当GP+DP

取得最大值时，在线段上是否存在一点K,使得RP+RM的值最小？若存在，请求出

P点的坐标以及RP+RM的最小值；若不存在，请说明理由.

（3）如图2,E是线段8。上一定点，且满足。£：。8=4百：9,连接AE,将线段AE

沿y轴向下平移6个单位至族，连接EF,T是线段上一动点，点A、X同时绕点T

逆时针旋转90°,应对点分别是A'.H'.在旋转过程中，当AEA'H'是直角三角

形时，请直接写出此时A的坐

标.

一动点，以AD为边在AD的右侧作一个等边△ADE.

(1)当与8c所夹锐角为45°时，求的长.

(2)如图2,连接BE,取BE中点F,再连接AF、DF.

①求证：AB=V3XF+DF-,

②在射线AC上另有一动点P,且AP=C。，连接BP.当4D+BP的值最小时，求出此时

四边形ACDF的面

积.图3

2024年重庆市渝中区巴蜀中学保送生数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（每题7分，共70分）

1.（7分）有1、2、-2三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求

了倒数；小颖分别对这三个数求了-2次幕.将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选

7

一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为—.

—27―

【解答】解：|1|=1,|2|=2,|-2|=2,

11

1、2、-2的倒数分别为1、一、-4，

22

-2

「2=1,2=i（-2）-2=

画树状图为：

开始

共有27种等可能的结果，其中乘积恰好为整数的结果数为7,

所以乘积恰好为整数的概率=务

7

故答案为：—.

2.(7分)已知a—)=1,则[矶%5)一『©+晟的值为八

aa—乙az—4a+4@+4-------

【解答】解.产(20-5)_2]-____U_

U胖口,用牛.La_2aZJ.Q2_4Q+4a+4

2a2-5a(a-2)211

—[------------(a+2)]•-------；-----―----

ci—2(a+4)(a—4)a+4

_2a2_5a-(a2—4)一(a—2)2_11

a-2(a+4)(a-4)a+4

a2-5a+4(a-2)211

=--------•-----------―---

a-2(Q+4)(Q-4)a+4

_(a-l)(a-4)一(a-2)?__n_

a—2(a+4)(a-4)a+4

_(a—1)(。—2)11

—a+4a+4

_Q2—3a+2—11

—a+4

_3a—9

=a+4'

..1i

.a—=1,

a

••Cl-1=4,

1—3a—8_u—3d—8_-2a—8_-2(a+4)__

当次-1=时,

aa+4—a+4-a+4—a+4—

故答案为：-2.

3.（7分）如图，在平行四边形A5CZ）中，AC是对角线，ZCAB=90°,以点A为圆心,

以A3的长为半径作OA,交BC边于点E,交AC于点凡连接。石.且乙4。七=30°,

AO=6,则阴影部分的面积为一竽一|三

【解答】（1）解：连接

•/四边形ABCD是平行四边形,

：.AD=BC,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEBf

9：AE=AB,

：./AEB=NABC,

：.ZDAE=ZABC,

：.AAED^ABAC(SAS),

AZACB=ZADE=30°,BC=AD=6

AZABC=60°,AB=^BC=3,

9：AB=AE=3,

・•・△ABE是等边三角形，

:.AE=BE,NEAB=60°,

VZCAB=90°,

：.ZCAE=900-ZEAB=90°-60°=30°,ZACB=90°-ZB=9Q°-60°=30°,

：.ZCAE=ZACB,

：.AE=CE,

:.CE=BE,

S/\ABC=^AB*AC=x3x3A/3=

._l_9V3

••Sc/\ACE—'^Sc/\ABC——~，

9：ZCAE=30°,AE=3,

.0307rx323

・扇形-25Q=彳n，

•C_Cc_9733

・・3阴影—b^ACE-3扇形[TJ

工心公.心生9A/33

故答案为：二—一厂.

B

4.（7分）将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2

得到的大正方形的面积为5,图3得到的图形的外轮廓的周长为4+4而，则图1中sin

ZCEB=

4

5

由题意可知：图2得到的大正方形的面积为5,

所以每一个直角三角形的斜边长为有，

在图3中，图形的外轮廓的周长为4+4西，

BE=AH=CF=DG=1,

设OH=x,则OO=OA=x+l,

在RtZV)。//中，由勾股定理可得：

x12+(x+I)2=(V5)2,

解得：Al=1,X2=-2(舍去)，

...在图一中，过点C作CHL3E,

CD=1,ED=2,

•.•四边形ABEC是菱形，

1

・•・菱形的面积=今CBXEA=BEXCH=4,

1「

即：一x2X4=V^xCH,

2

解得：CH=W，

在RtZXCEH中，smZCEH=^=^,

图1

（x-THW—1

5.（7分）若关于x的一元一次不等式组出+1x、］有解且至多有6个整数解，且关于

Q—4〉T

y的分式方程」一+3=二丝的解是整数，则所有满足条件的整数机的值之和为-6

y-ii-y

（x-m<-l（X<m-l

【解答】解：解关于X的一元一次不等式组1虫工一乙〉_1，得_6'

根据题意得，-6<m-1<1,

-5<m<2,

解关于y的分式方程六+3=言，得>=岛，

:分式方程的解为整数，-5<2且二一41,

m+3

•••满足条件的整数m的值为-4,-2,

•••所有满足条件的整数m的值之和是-4-2=-6.

故答案为：-6.

6.（7分）若实数p、q,满足-J+—=8/q?一=8,且q>0,则—+q的值为—V33_.

口勺p乙p乙

11

【解答】解：•若实数p、q,满足病+笆=&q2-q=8,

.•・=和一夕是一元二次方程/+工=8,即/+工一8=0,的两根，

pz

11广1

.・・-7—q=—1，-7•（-Q）=-8即一^•q=8,

；・（*+口）2=e-a?+4号.q=1+32=33,

V^>0,

1

+Q>0,

pz

+q=

pz

7.（7分）如图所示，已知锐角△ABC中，AB=V10,BC=6,将△ABC绕点A逆时针旋

转至△ADE位置，恰好使得CE_LBC于C,且CE=BC,连接BD,则BD的长为—....

【解答】解：过点A作AGLBC,AFLCE,如图:

口

・・•根据旋转的性质可得AE=AC,

:・CF=EF=3,

•：CE_LBC,

・•・四边形AFCG是矩形，

：.AG=3,

根据勾股定理BG=V10-9=1,

：.AF=CG=5.

在RtZXACG中，AC=V52+32=V34,

U

：AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAEf

.ABAD

••—,

ACAE

AABD^AACE,

•_B_D____A_Bpn__B__D____V_1_0

CEAC6V34

8.（7分）我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x],又把x-㈤称为x

的小数部分，记作{元},则有x=[x]+{尤}.如：[2.4]=2,{2.4}=0.4,2.4=[2.4]+{2.4}；[-

2.4]=-3,{-2.4}=0.6,-2.4=[-2.4]+{-2.4},则下列说法正确的是①（填序

号）.

①[1-V5]=-2；

②如[如+1]=-2,则实数m的取值范围是-6/机<4；

③若l<|x[<2且{x}=V2—1,则久=±V2；

④方程5印+2={尤}+4x的实数解有4个.

【解答】解：①；2<而<3,

-3<-V5<-2,

-2<1-V5<-1,

/.[1-V5]=-2,

因此①是正确的；

1

②[2爪+1]=—2,

-2<5"z+l<-1,

解得-6Wm<-4,

因此②是错误的；

③,.,1<国<2,

当尤<0时，-2<尤<-1,

••[x]=-2,

V{x}=V2-1,

.■.x=[x]+{x}=-2+V2-1=-3+V2,

当尤>0时，l<x<2,

[x]=1,

\'{x}=V2-l,

*'•x=[x]+{x}=14-V2-1—

综上，x的值为-3+/或VL

因此③是错误的；

@".'x=[.r]+{x},51Al+2={X}+4X,

A5[x]+2={x）+4[x]+4{%},

：.5{x}=[x]+2,

V0^{X}<1,

・・・0W5{x}V5,

.•.0^[x]+2<5,

-2W[x]<3,则田的值为-2或-1或0或1或2,

当印=-2时，5{尤}=-2+2=0,

.•.{尤}=0,

••・兀=印+{%}=-2+0=-2；

当1X1=-1时,5{x}=-1+2=1,

，{%}=0.2,

.\x=[x]+{x}=-1+0.2=-0.8；

当[x]=0时，5{x}=0+2=2,

・•・{%}=0.4,

.•・x=[x]+{x}=0+0.4=0.4；

当[%]=1时,5{x}=l+2=3,

;・{%}=0.6,

.\x=[x]+{x]=1+0.6=1.6；

当国=2时，5{x}=2+2=4,

・'・{%}=0.8,

.*.x=[x]+{x}=24-0.8=2.8,

综上，方程5印+2={x}+4x的实数解有-2,-0.8,0.4,1.6,2.8,共5个,

因此④是错误的.

故答案为：①.

9.（7分）如果一个四位自然数砺的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足前+万=

瓦,那么称这个四位数为“神奇数”，例如:四位数1428,♦.14+28=42,，1428是“神

奇数”；又如四位数3526,因为35+26W52,r.3526不是“神奇数”.若一个“神奇数”

的前三个数字组成的三位数次与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足

条件的所有“神奇数”的平均数是4725.

【解答】解：由题意可得，“神奇数”的千位上的数字为a,百位上的数字为b,十位上

的数字为c,个位上的数字为土

**.(10〃+/?)+(10c+d)=10b+c.

10(2-9/?+9c+d=0,

•\d=9b-10a-9c.

___—>

Vabc=100a+10b+c,bed=100b+10c+d.

___T

/.abc+bed=(lOOtz+lOfo+c)+(lOOb+lOc+d)

=100<2+110/?+11c+d

=100tz+110Z?+11c+9Z?-10a-9c

=90Q+119/7+2C.

___T

:赤与bed的和能被9整除，

.90a+119b+2c90a+117b+2b+2c2（b+c）

••==30Q+13Z?HQ•

999

；.b+c是9的倍数，

'.b+c=9.

\'d=9b-10a-9c=9Qb-c）-10a,a,b,c,d均为1到9之间的数，

；.b=8时，c=l,a—6,d=3；

6=7时，c=2,a=4,1=5；

b^6日寸，c=3,a=2,7.

这些“神奇数”为：6813,4725,2637.

，这些“神奇数”的平均数为：6813+4；5+2637

故答案为：4725.

10.（7分）如图所示，平面直角坐标系中，四边形0nBe是矩形，点A在第一象限，点、B、

C在第二象限，SAOAB=9V2,将△042沿02翻折至△OA'B,反比例函数y=-号生恰

好经过点2和点A',连接A'C交x轴于点则点〃的坐标为_（—孚，0）_.

【解答】解：过点A作力。轴于£>,AGLOB于G,过点8作BELx轴于E,BF1

交。A的延长线于R过C作CHLOB于X,如图所示：

四边形OABC为矩形，且SM）AB=9vL

••S/\OBCS/\OAB—9^2^f

VWAOAB沿OB翻折至△OA'B,

：.S^OA'B=S^OAB=9V2,ZBA'O=90°,

••S/^OA'B—SAOAB—SAOBC—9A/2,

根据反比例函数比例系数的几何意义得：SAOBE=SAOAD=1■|-12V2I=6VL

：A'O_Lx轴，8EJ_尤轴，

四边形ABED为梯形，

VS^OA'B=SAOBE+S梯形ABE。-S^OA'D=S梯形A'BED=9迎,

设A（a,-埒2），B[b,匚烂），其中a<6<0,

-12V2

则4。=a—,0D=-a,BE=-12J2/6,OE=b,DE=OD-OE=b-a,

梯形A,BED=|CA'D+BE>DE=1(-•(a—6)=9位,

1I3

•・代+万)(□口)=-矛

整理得：2/-2房+3漏=0,

即(2。+6)(a-26)=0,

'：a<b<0,

2〃+/?V0,

.\a-2b=0,

••ct~~2b,

・,•点A(2b,—•

设直线OB的表达式为：y—mx,

将代入尸小,得：m=-12f

¥°马h

・,•直线OB的表达式为：y=---2-x，

[1

：.S^OA'B=少小AG=9vLS^OAC=^OB・CH=9VL

11

：.-OB^G=*OB・CH,

22

：.A'G=CHf

又,.・AG_L05,CHLOB,

・•・四边形ACHG为矩形,

：.A'C//OB,

设直线A'C的表达式为：y=tx+n,

・,•直线A'C的表达式为：入y=-----2-x+九，

将点A(2b,一耳勺代入y=一^^%十几，得：荏=写

・,・直线AC的表达式为：丫=一号？％+丹尼，

vy,L-p,12-/218^/2^^八n-4-31

对于y=——^2~x4——^―,当y=0时，x=2b

Q

・••点M的坐标为0),

・・・A7)_Lx轴，BF±DA\

：.ZA'DO=ZBFA1=90°,ZFBA'+ZFA,B=90°,

9：ZBA'O=90°,

：.ZFA'B+ZDA'O=90°,

：.ZDA'O=ZFBA\

：.AA'OD^ABA'F,

：.BF：A'D=A,F：OD,

：A（2b,一誓）,B（b,一第,

：.BF=-b,A'D=—罕，A'F=——（—竽）=—罕，OD=a=-2b,

；.（—6）：（—半）=（—竽）：（—26）,

整理得：/=36,

•'•b--V6,b=*>（不合题意，舍去），

33V6

b=------,

22

点"的坐标为（—孚，0）.

故答案为：（—竽，0）.

二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分）

11.（10分）近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家

出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星

球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团

的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个.

（1）十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？

（2）十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动.其中星球大战的单价下降了5

4-

元，精灵天团的单价下降了丁%7.小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战

购买数量在十月份基础上增加了5/77%,精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了4m%,

结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求m的值.

【解答】解：（1）设小王购买的星球大战的盲盒单价为尤元，则精灵天团的盲盒单价为

（x+10）元，

由题意得：—+1=7^-

x光+10

解得：xi=65,X2=40,

经检验，xi=65,X2=4O都是原方程的解，但％2=40不符合题意，舍去,

・・x~~65，

.,.x+10=65+10=75,

答：小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元;

,一，260260375375

（2）由（1）可知，---=----=4,--------=------=5,

X65%+1075

由题意得：（65-5）X4（1+5/27%）+75（1一前％）X5（1+4加％）=260+375+208,

整理得：m2-200帆+1900=0,

解得：%1=10,相2=190（不合题意，舍去）.

答：机的值为10.

12.（15分）如图1,四边形A8C。是边长为4的正方形，两对角线交点为。，有两个动点

E、产同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点8运动，点P

以每秒2个单位长度的速度沿折线A-O-C方向运动，当其中一点到达终点时另一点也

随之停止运动.设运动时间为f秒，△。。尸的面积为yi,△2EF的面积为"（yiWO,y2

WO）.

（1）请直接写出yi、”关于1的函数表达式，并注明自变量f的取值范围.

（2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数yi的一条性

质.

（3）结合函数图象，求出△DOF和△BEF面积相等时的t的

【解答】解：（1）根据题意可知：当点尸在上时，AF=2t,

：.DF=AD-AF=4-2tf

・・•四边形ABC。是边长为4的正方形，。是正方形的中心，

1

•••△。0厂的面积为尹=2。尸><2=4-It(0W/V2),

'：AE=t,

：.BE=4-t,

・•・ABEF的面积为"=•AF=](4—t)•2t=4t-d(0W/V2),

当点尸在。。上时，DF=2t-4,

尸的面积为户=扣尸义2=>⑵-4)X2=2/-4(2</<4),

11

；SABEF=^BEX4=/(4-t)X4=8-2t,

；.y2=8-It(2<f<4)；

综上所述：yi关于t的函数表达式为yi=[4-2£(°-t<2\

(2t-4(2<t<4)

t<2)

”关于t的函数表达式为”=「"+阳°-;

18-2t(2<t<4)

(2)如图，即为所求函数的图象，

函数yi的一条性质为：0Wf<2时，y随f的增大而减小，或2W/W4时，y随f的增大而

增大；

(3)由函数图象可知：当△。。尸和△2EF面积相等时，f=3-逐或3.

13.(15分)如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中

写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3m的筒车。。按逆时针方向每分钟转1

圈，筒车与水面分别交于点A、B,筒车的轴心。距离水面的高度OC长为2.4加，筒车

上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒尸刚浮出水面时开始计算时间.(1)浮出

水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？

（2）若接水槽MN所在直线是。。的切线，且与直线交于点已知MO=8m,求

盛水筒尸从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽MN中（即点尸恰好在直

线MN上）？

（参考数据sin37.5°心0.6,cos37.5°-0.8,sin22°=cos68°«sinl7°=cos73°心

o

【解答】解：（1）连接。4,OP,过点尸作尸OLOC,垂足为。，如图:

盛水简尸浮出水面2.5秒后，此时NAOP=2.5X6=15°,

24

VcosZAOC=^=0.8,

AZAOC^31.5°,

/.ZPOC=ZAOC+ZAOP=37.5°+15°=52.5°,

：・4OPD=37.5°,

在RtZkPO。中，OD=OP・sin37.5°=3X0.6=1.8机，

/.2.4-1.8=0.6机，

答：此时盛水简P距离水面的高度06w.

（2）如图，因为点P在。。上，且与。。相切，所以当尸在直线上时，此时P

是切点，

H

在中，cosZPOM==

，NPOM=68°.

在RtA0cM中，cosZCOM=器=等=0.3,

：./C0M=13°,

AZP0H=180°-ZPOM-ZCOM=180-68°-73°=39°,

39°,

；•需要的时间为W=6.5（秒），

答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒尸恰好在直线MV上.

14.（20分）平面直角坐标系中，抛物线y=-/%2+ax+6（a,b均为常数）与y轴相交于

点A,与x轴相交于2（-3,，0）、C（V3,0）两点，连接A8,过点C作交抛

物线于点D.

（1）求出该抛物线的函数表达式及点。的坐标；

（2）如图1,已知点G是线段48上方抛物线上一点，过点G作GP〃y轴交于P,

在线段AC和线段CD上分别有两个动点K、L,且满足KL=2,M是KL的中点，当GP+DP

取得最大值时，在线段AB上是否存在一点R,使得RP+RM的值最小？若存在，请求出

尸点的坐标以及RP+RM的最小值；若不存在，请说明理由.

（3）如图2,E是线段8。上一定点，且满足OE：OB=4V3：9,连接AE,将线段AE

沿y轴向下平移6个单位至斯，连接ERT是线段EP上一动点，点A、X同时绕点T

逆时针旋转90°,应对点分别是A'.H'.在旋转过程中，当AEA'H'是直角三角

形时，请直接写出此时A'的坐

标

yy

【解答】解：(i)由题意得，

y=_\(%+3A/3)(%—V3)=—\%+3,

AA(0,3),

a/口「_OA_

・・tanNAA6C=彳^=

9：CD//AB,

：.tanZBCD=tanZABC=易

-1

设点。(M，-^(m+3V3)(m-V3)),

.3—THy/3

••7二.——,

-(m+3V3)(m-V3)3

.*.m=-4A/3,

•»y——可X(—4A/3^+3X(—4\/3—V3)——5,

：.D(-4V3,-5)；

(2)如图1,

V3

t—1),贝!JPD=2(yp-yn)=2(—t—1+5)

,GP+OP最大,

V3V33

—X(—―)—1=-

3'2"2

•p(乃3)

・・P~2)9

作点尸关于A3的对称点P,PP'交AB于V,作PW_LPG于W,

：.ZIPfP=ZIPPr=30°,

：.ZPrIW=60°,

VtanZACB=铝=V3,

AZACB=60°,

：.ZBAC=90°，

：.P'V=PV=AC=2OC=2V3,

：.PP'=4V3,

：.P'W=^PP'=2V3,PW=^-PP'=X4V3=6,

亨—2旧=—苧，-1+6=1,

VZACD^ZACB+ZBCP^60°+30°=90°，点M是KL的中点,

CM=1,

...点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，

连接CP,交A8于R,交OC于此时3P+RM最小,

'：CP'=J(一婴一百乃+(当2=后,

.•.BP+RM的最小值为：V57-1：

(3)如图2,

：.OE=4,

：.E(-4,0),F(-4,-6,),H(0,-3),

点A、H绕点E,尸逆时针旋转90°分别至X,Y,及S,T,

：.X(-7,4),y(-13,-2),S(-l,4),r(-7,-2),

；.xy的解析式为：y=x+ll,直线ST的解析式为：y=x+5,

寸巴％=-4代入y=x+5得，y=l,止匕时NA'H1E=-90°,

当y=l时，x+ll=l,

.•.x=-10,

AA/i(-10,1),

设A'(H-11,九)，H'(n-5,n)此时A'H'的中点T(〃-8,n),

当ET=：A'H'=3时，NA'EH'=90°,

:.(n-8+4)2+n2=32,

・・・〃=4+72

2

・"11=匚警

-18+V24+V2-18-V24-V2

.-.A72（----------，--------）,A'3<-----------，-------）,

2222