2024年中考数学一轮复习：一元二次方程（讲义）（解析版）

第07讲一元二次方程

目录

题型12应用根的判别式证明方程根的

一、考情分析情况

题型13应用根的判别式求代数式的取

二、知识建构值范围

考点一一元二次方程的相关概念题型14与根的判别式有关的新定义问

题型01识别一元二次方程题

题型02由一元一次方程的概念求参数考点三一元二次方程根与系数的关系

的值题型01由根与系数的关系直接求代数

题型03一元二次方程的一般式式的值

题型04由一元二次方程的解求参数的题型02由根与系数的关系和方程的解

值通过代换求代数式的值

题型05由一元二次方程的解求代数式题型03由根与系数的关系和方程的解

的值通过降次求代数式的值

题型04由方程两根满足关系求字母或

题型06已知一元二次方程的一个根，求

另一个根代数式的值

考点二解一元二次方程题型05不解方程由根与系数的关系判

题型01用直接开平方法解一元二次方断根的正负

程题型06由方程两根的不等关系确定字

题型02利用配方法解一元二次方程母系数的取值范围

题型03利用因式分解法解一元二次方题型07与根与系数有关的新定义问题

程题型08构造一元二次方程求代数式的

题型04利用公式法解一元二次方程值

题型05利用换元法解一元二次方程题型09根与系数的关系和根的判别式

题型06选用合适的方法解一元二次方的综合应用

程考点四一元二次方程的应用

题型07错看或错解一元二次方程问题题型01分裂（传播）问题

题型08配方法的应用题型02碰面（循环）问题

题型09判断不含字母的一元二次方程题型03增长率问题

的根的情况题型04营销问题

题型10判断含字母的一元二次方程根题型05工程问题

的情况题型06行程问题

题型11由方程根的情况确定字母的值题型07与图形有有关的问题

或取值范围

考点要求新课标要求命题预测

本考点内容以考查一元二

一元二次方程的相

>理解一元二次方程的相关概念.

关概念次方程的相关概念、解一元二次方

程、根的判别式、韦达定理（根与

>理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解

系数的关系）、一元二次方程的应

一元二次方程的解法解数字系数的一元二次方程；

用题为主，既有单独考查，也有和

法>会用一元二次方程根的判别式判别方程是否

有实根及两个实根是否相等；二次函数结合考察最值问题，年年

考查，分值为15分左右.

一元二次方程的根

>了解一元二次方程的根与系数的关系.预计2024年各地中考还将

与系数的关系

继续考查上述的几个题型，复习过

程中要多注意各基础考点的巩固，

一元二次方程的应>能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合特别是解法中公式法的公式，不要

用理性.和后续二次函数顶点坐标的纵坐

标公式记混了.

「哙只含有一个未知数，并且材数的最高次数是2的跑方程，叫做次方。题型01识别一元二次方程

题型02由一元二次方程的概念求参数的值

Y一元二次方程的相关概念）--1一般形式J一（af+bx+cRSO））题型。3m次方程的一般式

题型。4由一元二次方程的解求参数的值

［一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一^次方程的睥）题型05由一元二次方程的解求代数式的值

题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根

基本思路：通过"降次"，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得

到的两个解就是原方程的解.

直接开平方法1~心=6（启0）x：=-/

苴b<0时，方程无解

配方法(mx+a)2=b以---

L(当b2时)一(

解法题型01用直接开平方法解一元二次方程

题型02利用配方法解一元二次方程

题型03利用因式分解法解一元二次方程

因式分解法(ax+b)(cx+d)=0»=4，.V=-7

2题型04利用公式法解一元二次方程

题型05利用换元法解一元二次方程

T「公式法一I题型06选用合适的方法解一元二次方程

一元二次方程的解法适用所有/二(Z>2-4^C>0)

（题型07错看或错解一元二次方程问题

I题型08配方法的应用

1）当a=1,b为偶数，CHO时，首选配方法'

题型09判断不含字母的一元二次方程的根的情况

2）当b=0时，首选直接开平方法题型10判断含字母的一元二次方程根的情况

题型11由方程根的情况确定字母的值或取值范围

★一元二次方程解法选择当时，可选因式分解法或配方法

3）c=0题型12应用根的判别式证明方程根的情况

题型13应用根的判别式求代数式的取值范围

<4）当a=1,bwO,CHO时，可选配方法或因式分解法

题型14与根的判别式有关的新定义问题

（一元二次方程）5）当aw匚b/0,c"时，可选公式法或因式分解法

卜=b"4ac前提：a*0jlZ»2-4ac>0

根的判别式-A>0有两个不相等的实根

★根的情况与判别式的关系HA=o有两个相等的实根

A<0无实根

用一元二次方程解决实际问题的步骤：审、R歹人解、脸、答

题型。1分裂（传播）问题

变化率问题

一元二次方程的应用题型02碰面（循环）问题

•利扁和利润率问题题型03增长率问题

题型04营销问题

与一元二次方程有关应用题的常见类型面积问题题型05工程问题

《分裂（传播）问题）题型06行程问题

题型07与图形有有关的问题

碰面问题（循环T标版

考点一一元二次方程的相关概念

夯基•必备基础知识梳理

概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0（aW0）,

的相关概念其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解.

易混易错

1.如果明确了ax?+bx+c=0是一元二次方程，就隐含了aWO这个条件（当a=0时，不含有二次项，

即不是一元二次方程）.

2.一元二次方程必须具备三个条件：

①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.

3.在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断.

4.二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数

时,应先将方程化为一般形式.

5.一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明xl,x2.

提升-必考题型归纳

题型01识别一元二次方程

【例1】（2023•江西抚州•金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2—1=0B.2x+y=1C.x+-=3D.4x+5=6%

【答案】A

【提示】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫

一元二次方程，进行判断即可.

【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；

B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；

D、未知数的最高次数是1,故是一元一次方程，该选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含

未知数的项的最高次数是2.

【变式1T】（2023・四川成都•一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x—y=0B.ax2+2%-3=0

C.x2+2x+5=x（x-1）D.x2—1=0

【答案】D

【提示】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元

二次方程，逐项提示判断即可.

【详解】解：A、x2+x-y=0,二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

B、ax2+2x-3=0,当a=0时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；

C、/+2%+5=x（x-1）整理后得3%+5=0,不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

D、x2-1=0,是一元二次方程，故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程”是解题的关键.

题型02由一元二次方程的概念求参数的值

【例2】（2023南阳市一模）关于x的方程（zu+1）万阿+1一根刀+6=0是一元二次方程，则机的值是（）

A.-1B.3C.1D.1或一1

【答案】C

【提示】根据一元二次方程的定义，即可求解.

【详解】解：.••关于x的方程（6+1/问+1一a％+6=0是一元二次方程，

\m\+1=2且m+1A0,

解得：m=1.

故选C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整

式方程是一元二次方程是解题的关键.

【变式2-1］（2022上•辽宁沈阳.九年级期中）方程⑺-2）刀/-2+⑪+㈤尤+3=0是关于x的一元二次方

程，则m.

【答案】-2

【提示】根据一元二次方程的定义知，m2-2=2,且小一240,据此可以求得m的值.

【详解】解：：方程（?n-2）xm2-2+（5+m）x+3=0是关于久的一元二次方程，

m2—2=2,且m-2^0,

解得巾=-2；

故答案是：-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义.一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键.

题型03一元二次方程的一般式

［例3］（2022上•河南郑州•九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程3/=5%-1写成一般形式,

下列等式正确的是（）

A.3%2—5%—1=0B.3x2+5x—1=0

C.3x2—5%+1=0D.3久2+5%+i=o

【答案】C

【提示】把等号右边的式子移到等号左边即可解题.

【详解】解：3%2=5%-1

移项得：3产一5x+1=0

故选C.

【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握移项变号的基本步骤.

【变式3-1]（2023・广东东莞・东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4久2+8%=25化成a/+版+©=0

的形式，则a,b,c的值分别为（）

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.1,2,25

【答案】C

【提示】将4/+8x=25移项化为一元二次方程的一般式即可求解.

【详解】解：将原方程化为一般形式得：4/+8x-25=0,

/.a=4,b—8,c=—25,

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键.

【变式3-2].（2021上•山西晋中•九年级阶段练习）若一元二次方程的二次项系数为1,常数项为0,它的

一个根为2,则该方程为.

【答案】X2—2x=0/-2X+X2=0

【提示】直接利用已知要求得出符合题意的方程.

【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：/-2尸0.

故答案为：X2-2X=0.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键.

【变式3-3X2023集贤县•九年级期中）已知关于x的一元二次方程（a-l）x2+x+a2-1=。的常数项是0,

则a的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.|

【答案】B

【提示】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可.

【详解】解：由题意，卜2一?=?,

解得：CL——If

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键.

题型04由一元二次方程的解求参数的值

【例4】（2022•广东・中考真题）若％=1是方程——2x+a=0的根，贝Ua=.

【答案】1

【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把户1代入方程得到a的值.

【详解】把x=l代入方程/—2x+a=0,得l-2+a=0,

解得a=l,

故答案为：1.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，

就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.

【变式4-1]（2021•湖南长沙•中考真题）若关于x的方程/一日一12=0的一个根为3,贝味的值为

【答案】-1

【提示】将％=3代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程即可得.

【详解】解：由题意，将x=3代入方程/一日―12=0得：32-3k-12=0,

解得k=—1,

故答案为：-L

【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键.

方法技巧

利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数取

值的其他隐含条件.

题型05由一元二次方程的解求代数式的值

【例5】（2023•甘肃陇南•一模）关于久的一元二次方程2尢。-2+7n=4的解为久=1,贝!]a+ni的值为（）

A.9B.8C.6D.4

【答案】C

【提示】根据一元二次方程的概念可求出a的值，根据解为％=1可求出山的值，由此即可求解.

【详解】解：关于久的一元二次方程2久即2+6=4,

：.a-2=2,解得，a=4,

一元二次方程2/+m=4,

:解为％=1,

2xI2+m=4,解得，m=2,

a+m=4+2—6,

故选：c.

【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值

的方法是解题的关键.

【变式5-1]（2023•北京海淀•校考模拟预测）如果％=-1是方程/++n=0的一个根，那么m、n的大

小关系是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.不确定的

【答案】A

【分析】把方程的解代入方程，得到的”的关系式，判断加，”的大小.

【详解】解：把刀=一1代入方程有：l-m+n=0

/.m—n=1>0

'.m>n.

故选：A.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到处"的关系式，是解题的关键.

【变式5-2X2023渭南市月考）若关于x的方程a久2+-1=0的一个解为x=1,则2023-a-b=

【答案】2022

【分析】先把方程的解代入方程，得到a+6=1,再求代数式的值.

【详解】解：把x=1代入方程ax?+bx—1=0得a+b—1=0,

即a+b=1,

所以2023-a-b=2023-（a+b）=2023-1=2022.

故答案为：2022.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键.

【变式5-3]（2023•广东佛山•校考一模）已知a是方程2/—5x-7=0的一个根，则代数式4a2-10a的值

是.

【答案】14

【分析】根据方程的根的定义，把久=a代入方程求出2a2-5a-7-0即可解答；

【详解】解：是方程2--5x-7=。的一个根，

2a2-5a-7=0,

整理得，2a2-5a=7,

：.4a2-10a=2（2a2-5a）=14,

故答案是：14.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的概

念是解题的关键.

题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根

[例6]（2022•广西贵港•中考真题）若x=-2是一元二次方程/+2x+爪=0的一个根，则方程的另一个

根及机的值分别是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【答案】B

【提示】直接把x=-2代入方程，可求出机的值，再解方程，即可求出另一个根.

【详解】解：根据题意，

".'x=—2是一元二次方程/+2x+m=0的一个根，

把久=-2代入产+2x+m=0,则

（-2产+2x（-2）+m=0,

解得：m=0；

'.x2+2x=0,

x（x+2）=0,

=—2,x=0,

二方程的另一个根是x=0；

故选：B

【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算.

【变式6-1]（2023宁德市一模）关于龙的一元二次方程一一2依-5=0的一个根是1,则这个方程的另一

个根是.

【答案】-5

【提示】根据方程的一个根1代入方程求出％,得到一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】解：.•.关于x的一元二次方程/—2日—5=0的一个根是1,

/.I--5=0,

：.k=-2,

.".%2+4%—5=0,

解得XI=1»%2=-5,

方程的另一个根是-5.

故答案为：-5.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键.

【变式6-2]（2023遵义市第十一中三模）若关于x的一元二次方程/—履—2=0的一个根为％=1,则这

个一元二次方程的另一个根为.

【答案】-2

【提示】由题目已知41是方程的根，代入方程后求出人的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题.

【详解】解：将％=1代入一元二次方程,一丘一2=0有：1一卜一2=0,k=-l,

方程/+%-2=0

(%+2)(x-1)=0

即方程的另一个根为x=-2

故本题的答案为-2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其

中利用己知根代入方程求出未知系数是解题的关键.

考点二解一元二次方程

夯基-必备基础知识梳理

基本思路通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，

得到的两个解就是原方程的解.

特征步骤

2

直接形如ax=b(a=1)方程两边同时除以a,得x?=2

a

开平0)的一元二次方2)两边分别开方得xl=区x2=-他

程

方法

1)移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

2)二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

可配成3)配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为

解29

一配方(mx+a)=b(mx+a)=b(b>0)的形式;

元形式的

法

二一元二次方程4)求解：判断右边等式符号，开平方并求解.

次【注意】：①当b〈0时，方程无解

方解

程法②当b20时，方程的根是*=四生

的m

方

可化成1)将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；

法

因式(ax+b)(cx+d)=02)将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

分解形式的3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

法一元二次方程4)求解.

口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.

1)把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其

化为整数，方便计算)；

2）求出b?-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；

公式适用所有

3）如果b4ac20,将a、b、c的值代入求根公式：x—；

法一元二次方程2a

4）最后求出Xp$2

一元二次方程ax^+bx+cR（aWO）的解法选择：

1）当a=l,b为偶数，c=0时，首选配方法；

2）当b=0时，首选直接开平方法；

3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；

4）当a=l,bWO,cWO时，可选配方法或因式分解法；

5）当aWl,bWO,cWO时，可选公式法或因式分解法.

根的判别式一般地，式子b?-4ac叫做一元二次方程ax?+bx+c=0（aH0）根的判别式，

通常用希腊字母△表示，即A=b2-4ac.

△

>0方程ax?+bx+c-0（aW0）有两个不相等的实根:x-2a

根的情况

△二0方程ax?+bx+c=0（a。0）有两个相等的实根：x=x=-^

与判别式t2

的关系

△<0方程ax?+bx+c=0(aW0)无实根

易混易错

1.用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且

它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

2.利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含

有未知数的式子，以免丢根，需通过移项，将方程右边化为0.

9

3.求根公式的使用条件：aWO且b"-4ac00.

4.使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值.

5.利用判别式可以判断方程的根的情况，反之，当方程：1）有两个不相等的实数根时，A〉。；

2）有两个相等的实数根时，△=（）;

3）没有实数根时，M0.

6.一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根.

提升-必考题型归纳

题型01用直接开平方法解一元二次方程

[例1](2023•天津西青・二模)方程(久+6)2-9=0的两个根是()

A•%1=3,%2=9B.%]——3,%2=9

C.勺=3,x2=—9D./=-3,%2=—9

【答案】D

【提示】根据直接开平方法求解即可.

【详解】解：(x+6)2-9=0,

(x+6尸=9,

x+6—±3,

X]—■31%2=-9，

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键.

【变式1T】(2023•浙江杭州・一模)已知一元二次方程(久-2)2=3的两根为a、b,且a>b,则2a+b的值

为.

【答案】6+V3/V3+6

【提示】先利用直接开平方法解方程得到a=2+百，b=2-V3,然后把它们代入2a+b中计算即可.

【详解】解：(久一2)2=3,

x—2=+V3,

解得久1=2+V3.x2—2—V3,

■方程(x—2)2=3的两根为a、b,且a>b,

a—2+V3,b—2—V3,

2a+b=2(2+V3)+2-V3=6+V3.

故答案为：6+V3.

【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

【变式1-2](2023•齐齐哈尔市模拟)解关于x的方程：4(2%-5)2=9(3久-I)2.

【答案】%i=x2=1

【提示】变形后利用直接开方法解方程即可.

【详解】整理得：[2(2%-5)]2=[3(3久-I)]2,

.\2(2x-5)=±3(3%-1),

.*.2(2%-5)=3(3%—1)或2(2x-5)=-3(3x-1),

・7.

••X、—~»%2—1•

【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解题关键是熟记直接开平方法的解方程的步骤，准确进

行计算即可.

题型02利用配方法解一元二次方程

【例2】（2022•甘肃武威・中考真题）用配方法解