2024年人教版初中数学九年级下册全册教案

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

教学内容26.1.1反比例函数课时1

1.感悟实际生活中的数量关系，形成数感，能用符号表示数量关系，培养符

号意识，提升抽象能力.

核心素养2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，养成有条理的思维习惯，会用

目标待定系数法求解析式，通过运算促进数学推理能力.

3.理解与运用反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件建立反比例函数

模型，增强应用意识.

1.理解反比例函数的概念；

知识目标2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；

3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.

1.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；

教学重点

2.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.

教学难点理解反比例函数的概念.

教学准备课件

教学过程主要师生活动设计意图

一、新课一、创设情境导入新知

导入

观看视频，思考问题.

设计意图：通过美丽的城

市灯光视频，吸引学生的

课堂注意力；利用跨学科

知识引入，感受数学在实

际生活和其他学科的广泛

1....J应用，激发学习兴趣.

思考:生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现

舞台灯光的效果.在电压U一定的情况下，当

R变大时，电流/变小，灯光就变暗；相反，当

R变小时，电流I变大，灯光变亮.你能写出

这些量之间的关系式吗？

二、探究二、探究新知

新知知识点一：反比例函数的概念

合作探究

探究1:下列问题中，变量间具有函数关系吗？如设计意图：回顾函数解析

果有，请写出它们的解析式.式的求法，锻炼学生的实

践能力和抽象能力，培养

（1）京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均自主学习习惯.

速度■（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间

力（单位：h）的变化而变化；

（2）某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩

形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：

m）的变化而变化；

（3）已知北京市的总面积为1.68X104km：人均

占有面积S（km7人）随全市总人口n（单位：

人）的变化而变化.

师生活动：学生独立思考列出解析式，教师巡视，

选学生作答，其他同学判断正误.

⑴心…粤；⑶里山

，X外

问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共

同特点？

设计意图：培养学生的观

师生活动:学生独立思考共同作答,教师顺势总结.察能力和归纳总结能力，

发展推理能力.

都具有分式的形式,其中分子是非零常数.

定义总结

反比例函数

一般地，形如y上，（4为常数，"W0）的

V

函数，叫做反比例函数，其中X是自变量，y是

函数.

思考：反比例函数除了了='（AW0）的自变量

X的取值范围是什么？

设计意图：培养自主学习

师生活动:学生独立思考积极发言,教师补充总结.和分析的能力，加深对反

比例函数取值范围的理

预设1：因为X作为分母，不能等于零，所以自解.

变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

预设2：但实际问题中，应根据具体情况来确定反

比例函数自变量的取值范围.

定义总结

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（X

和力，并且含有未知数的项的次数都是h像这

样的方程叫做二元一次方程.

想一想：设计意图：发展发散性思

反比例函数除了可以用y=-（4W0）的形式维，提高解题技巧.

X

表示，还有没有其他表达方式？

师生活动：学生独立思考，教师总结.

反比例函数的三种表达方式（注意30）：

l

y,y二kx,xy-k.

X

设计意图：通过练习巩固

对反比例函数概念的理

练习下列函数是不是反比例函数？若是，请指出

解.

k的值.

歹=3x—1

y=3x-1

X

y=一一

3

1

y=-----

llx

1

尸？

师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他

同学判断正误.

设计意图：通过例题，进一

步掌握反比例函数概念，

例1已知函数、=(m-1)v-'是反比例函锻炼应用能力，提高解题

数，求力的值.技巧.

师生活动：教师引导学生分析解题思路，

因为歹=(加-1)X^2是反比例函数，

所以1加+2布—4=—1,

1m—1ro.

学生独立完成计算，教师巡视.

方法总结

方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量

的次数为一1,且系数不等于0.

设计意图：锻炼学生利用

练习反比例函数的概念求未知

数的能力.

1.当/«=时，＞=是反比例函数.

2.已知函数y='),)是反比例函数，

X

则k必须满足________________.

知识点二：确定反比例函数的解析式

设计意图：通过例题，让学

例2已知y是x的反比例函数，并且当x=2

生在练习中学习用待定系

时，y=6.

数法求解析式.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)当x=4时，求y的值.

师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独

立完成计算.

提示：依题意设1-.把x=2和y=6代

X

入上式，就可求出常数k的值.这就是待定系数

法.

归纳：

用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：

①设出含有待定系数的反比例函数解析式；

②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析

式，得到关于待定系数的方程；

③解方程，求出待定系数；

④写出反比例函数解析式.

设计意图：巩固用待定系

数法求解析式的步骤，锻

练习炼运用能力.

已知y与x+1成反比例，并且当x=3时，y

=4.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)当x=7时，求y的值.

师生活动：学生独立完成计算，选学生板书.设计意图：锻炼学生的抽

象能力，学习根据实际问

题中的条件建立反比例函

知识点三：建立简单的反比例函数模型数模型，并解决实际问题.

例3人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶

中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增

力口，视野变窄.当车速为50km/h时，视野为80

度，如果视野f(度)是车速■(km/h)的反比

例函数，求f关于/的函数解析式，并计算当车

速为100km/h时，视野的度数.

师生活动：学生在教师的提示下分析解题思路，独

立完成计算.设计意图：锻炼学生根据

实际问题中的条件建立反

比例函数模型的能力，渗

透数形结合思想.

例4如图，已知菱形ABCD的面积为180平方厘

米，设它的两条对角线AC,劭的长分别为xcm,

ycm.写出变量y与x之间的关系式，并指出它

是什么函数.

A

三、当堂

练习

设计意图：考查学生对反

比例函数概念的掌握.

GC

师生活动：学生独立思考完成计算.

三、当堂练习

设计意图：考查对反比例

1.下列函数中，y是x的反比例函数的是()函数概念的掌握，锻炼抽

11象能力.

A.y=--B.y=-

21v

11

C.y------D.y=1一

2.下列实例中，变量x和y成反比例函数关系设计意图：考查学生用待

的是_____.定系数法求解析式，以及

①x人共饮水10kg,平均每人饮水ykg；②底利用该反比例函数求值的

面半径为xm,高为ym的圆柱形水桶的体积为能力.

3

10m;③用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm,做

成圆的半径为ycm；④在水龙头前接一桶水，放

水的速度为xL/s,接满一桶水的时间为ys.

设计意图：考查学生能根

据实际问题中的条件建立

3.已知变量y与x成反比例，且当x二3时，反比例函数模型，并解决

y--4.实际问题的能力.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)当y=6时，求x的值.

4.小明家离学校1000m,每天他往返于两地之

间，有时步行，有时骑车.假设小明每天上学时的

平均速度为v(m/min),所用的时间为t(min).

(1)写出变量/和t之间的函数关系式；

(2)小明星期二步行上学用了25min,星期三骑

自行车上学用了8min,那么他星期三上学时的平

均速度比星期二快多少？

板书设计26.1.1反比例函数

jr

一般地，形如y=，（"为常数，AWO）的函数，叫做反比例函数，其中

x是自变量，y是函数.

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善夕（□识思维导图.

反比例函数：定义/三种

表达方式

课后小结用待定系数法求反比例函

数解析式

根据实际问题建立反比例

II函数模型

本课内容是继正比例函数、一次函数之后，二次函数学习之前的又一类型

教学反思函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并

进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想.

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质

教学内容第1课时反比例函数的图象和性质课时1

1.会用描点的方法画反比例函数的图象，让学生在数形结合的基础上进一步

建立几何直观，助力学生把握问题的本质.

核心素养2.能够通过寻找共同性，简单的归纳进而发现结论，养成有条理的思维习惯，

目标发展推理意识.

3.理解反比例函数图象的性质，学会用数学语言分析信息与数量关系，感悟

数学模型的普适性.

1.会用描点的方法画反比例函数的图象；

知识目标

2.理解反比例函数图象的性质.

1.会用描点的方法画反比例函数的图象；

教学重点

2.理解反比例函数图象的性质.

1.会用描点的方法画反比例函数的图象；

教学难点

2.理解反比例函数图象的性质.

教学准备课件

教学过程主要师生活动设计意图

一、新课一、创设情境导入新知

导入

观看视频，思考问题.

设计意图：通过美丽的城

世界军人运动会上，我国军人代表雄姿英发!市灯光视频，吸引学生的

课堂注意力；利用跨学科

知识引入，感受数学在实

际生活和其他学科的广泛

应用，激发学习兴趣.

思考：回顾我们上一课的学习内容，你能写出200

m自由泳比赛中，游泳所用的时间t(s)和游泳

速度v(m/s)之间的数量关系吗？

试一试,你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？

二、探究二、探究新知

新知知识点一：反比例函数的图象和性质

合作探究

例1:画出反比例函数「"与I=匚的图象.

设计意图：回顾函数图象

XX

的绘制步骤，锻炼学生的

师生活动：教师引导学生回顾函数图象的画法，学作图能力，培养自主学习

生独立完成作图.习惯.

函数图像的作图步骤是怎么样的？

预设：列表一描点一连线.

提示：需要注意的是在反比例函数中自变量X不

能为0.

解：列表如下:

X~6-5~4-3—2-1123456

6

y=X--1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21

12

—2-2.4-3-4-6-12126432.42

y=—X

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐

标系内描绘出相应的点.

连线：用光滑的曲

线顺次连接各点，

即可得函数I=6

X

与I=2的图象.

X

思考：观察这两个函数图象，回答问题：

(1)每个函数图象分别位于哪些象限？设计意图：培养学生的观

察能力和归纳总结能力，

(2)在每一个象限内随着x的增大，y如何变化？

发展推理能力.

你能由它们的解析式说明理由吗？

(3)对于反比例函数(A>0),考虑问题

X

(1)(2),你能得出同样的结论吗？

师生活动:教师独立思考共同作答，教师总结归纳.

归纳

反比例函数(A>0)的图象和性质：

•由两条曲线组标，且分别位于第一、三象限它们

与x轴、y轴都不相交；

•在每个象限内，y随x的增大而减小.

练习L反比例函数'的图象大致是

设计意图：通过练习巩固

()

学生对k>0时的反比例

函数图像性质的理解.

师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他

同学判断正误.

设计意图：通过练习加深

例2反比例函数1的图象上有两点A(不，对k>Q时的反比例函数

X

珀，8(吊，为)，且46均在该函数图象的第一图像性质的记忆，锻炼应

用能力.

象限部分，若Xi>X2,则为与为的大小关系为

()

A.yi>y2B.y,=C.yi<y2D.无法确定

师生活动：教师引导学生分析解题思路如下，

分析：因为8>0,且48两点均在该函数图象

的第一象限部分上，根据为>泾，可知％,为的大

小关系.

学生独立思考共同作答.

设计意图：培养学生的观

观察与思考（察能力和归纳总结能力，

当k=-2,—4,—6时，反比例函数的发展推理能力.

图象有哪些共同特征？

师生活动：学生独立思考积极发言，教师选几名学

生回答问题，根据学生的回答完成总结.

归纳

反比例函数1A（A<0）的图象和性质：

•由两条曲线组晟，且分别位于第二、四象限它们

与x轴、y轴都不相交；

•在每个象限内，y随x的增大而增大.

设计意图：通过练习巩固

学生对A<0时的反比例

练习2.点（2,%和（3,㈤在函数的图象函数图像性质的理解.

X

上，则%K（填或

师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他

同学判断正误.

设计意图：通过练习加深

对A>0时的反比例函数

例3已知反比例函数i=（八1）「‘一，在每一

图像性质的记忆，锻炼应

个象限内，y随x的增大而增大，求a的值.

用能力.

师生活动：教师引导学生分析解题思路，根据反比

例函数的性质判断A的符号，学生独立完成计算.

设计意图：培养学生的观

察能力和归纳总结能力，

练习已知反比例函数1（1朋在每一个

发展推理能力.

象限内，y随着x的增大而减小，求m的值.

师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板

书，教师巡视.

四、当堂

练习

三、当堂练习

设计意图：考查学生对反

1.反比例函数，1'的图象在()比例函数图象的性质的掌

X握.

A.第一、第二象限B.第一、第三象限

C.第二、第三象限D.第二、第四象限

设计意图：考查对反比例

函数图象的性质的掌握，

2.在同一直角坐标系中，函数了=2矛与=

渗透数形结合思想.

的图象大致是()

ABCD设计意图：考查学生用反

比例函数图象的性质解未

知数的能力.

3.已知反比例函数1：的图象在第一、三

X

象限内，则m的取值范围是________.

设计意图：考查学生用反

比例函数图象的性质解未

知数的能力.

4.已知反比例函数y=m严一,它的两个分支分

别在第一、第三象限，求m的值.

第1课时反比例函数的图象和性质

归纳

反比例函数1卜(4>0)的图象和性质：

•由两条曲线组晟，且分别位于第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交；

・在每个象限内，y随x的增大而减小.

板书设计反比例函数y=-(Y0)的图象和性质：

•由两条曲线组标，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；

・在每个象限内，y随x的增大而增大.

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.

k

反比例函数、=-(^#0)

k左>0k<0

课后小结图象位于第一、图象位于第二、

图象第三象限第四象限

在每一个象限在每一个象限

性质内，y随x的内，y随.丫的

增大而减小增大而增大

本节课是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念的基础上，并掌

教学反思握了研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。反比例函数是

初中阶段研究的第二个具体函数，也是学生学习的第一种非线型函数。

26.1.2反比例函数的图象和性质

第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用

教学内容第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用课时1

1.通过合作探究，使学生进一步理解和掌握反比彳列函数及其图象与性质，发

展几何直观.

核心素养2.领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法，

目标强化数形结合思想.

3.培养学生用数学语言讨论问题，阐述数据信息-引分析思路，通过数据信息

追寻其中的意义.

1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；

2.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想

知识目标

方法；

3.探索反比例函数和一次函数，几何图形以及图形面积的综合应用.

1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；

教学重点

2.领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.

教学难点理解和掌握反比例函数及其图象与性质.

教学准备课件

教学过程主要师生活动设计意图

一、新课一、复习回顾导入新知

导入

复习引入

问题1反比例函数的图象是什么？

问题2：反比例函数的性质与A有怎样的关系？设计意图：通过复习回顾，

巩固学生对反比例函数的

师生活动：学生独立思考，共同回答.图像和性质的掌握，为后

面学习它的综合运用做准

预设1：双曲线.备.

预设2：当孑＞0时，两条曲线分别位于第一、

三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

当"〈0时，两条曲线分别位于第二、四

象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.

二、探究二、探究新知

新知知识点一：用待定系数法求反比例函数的解析式

合作探究

例1：已知反比例函数的图象经过点A(2,6).

(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增

大如何变化？

(2)点6(3,4),^4-)，D(2,5)是

25

否在这个函数的图象上？

设计意图：通过前面的学

师生活动：学生回顾函数图象的性质，共同回答问

习，学生已经掌握待定系

题(1)；教师引导学生思考待定系数法的解题步骤，

数法求解析式，这里则是

学生独立完成计算.

锻炼学生的运算能力和应

用能力，发展迁移思想.

解：(1)因为反比例函数图象经过的点A(2,6)

在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象

限；

在每一个象限内，y随x的增大而减小.

(2)设这个反比例函数的解析式为1='，因为

1

点/(2,6)在其图象上，所以，有:，解得k

=12.所以该反比例函数的解析式为^

因为点B,C的坐标都满足该解析式，而点2的

坐标不满足，所以点B,C在这个函数的图象上，

点D不在这个函数的图象上.

设计意图：通过练习巩固

练习1.己知反比例函数1=’的图象经过点

用待定系数法求反比例函

X

数解析式的解题步骤.

A(2,3).

(1)求这个函数的解析式；

(2)判断点6(-1,6),C(3,2)是否在这个函

数的图象上，并说明理由；

(3)当一3<x<-1时，求y的取值范围.

师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生板

书，教师巡视.

知识点二：反比例函数图象和性质的综合

例2如图，是反比例函数।图象的一支.

X

根据图象，回答下列问题：设计意图：通过回顾，培养

(1)图象的另一支位于哪个象限？m的取值范围学生综合应用反比例函数

是什么？的图象和性质解决问题的

(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(xi,yi)能力，锻炼综合运用能力.

和点B(田，㈤.如果xi>x2,那么71和必有

怎样的大小关系？

师生活动：学生独立思考，选一名学生回答问题

(1),其他同学判断正误；在教师的引导下共同回

答问题⑵.

设计意图：通过练习巩固

反比例函数图象和性质的

练习2.如图所示是反比例函数的图象,综合应用，培养有逻辑有

则次的值可以是()条理的解题思路.

A.-1B.3J

O1X

r

C.1D.0

师生活动：选一名学生回答问题并说明解题思路,

其他同学判断补充.

知识点三：反比例函数解析式中A的几何意义

合作探究设计意图：锻炼解题能力,

培养自主学习习惯.

1.在反比例函数)1的图象上分别取点P,Q

向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为5,W的

矩形，填写下页表格：

P(2,2),0(4,1)

国的值

丛的值

风与$2

的关系

猜想加，

s2与左

的关系

4

2.若在反比例函数1—中也用同样的方法分

X

别取P,Q两点，填写表格：

S］与&的猜想S1，$2与攵

0的值Sp的值关系的关系

P(-l,4),

。(一2,2)

师生活动：学生独立思考，共同作答完成填空.

设计意图：培养学生的观

察能力和归纳总结能力，

猜想发展推理能力.

由前面的探究过程，可以提出什么样的猜想？

师生活动：学生独立思考、积极发言，共同作答，

教师顺势总结：

若点P是反比例函数।图象上的任意一点，

X

过点P作PA±x轴于点A,PBLy轴于点B,

则矩形AOBP的面积与k的关系是

设计意图：锻炼学生的证

S矩形aaap=k\.

明能力，培养讲道理、有条

理的数学思维.

追问：你能证明这个猜想吗？请就孑〈0的情况

给出证明.

师生活动：学生独立思考完成证明，选一名学生板

书，教师巡视.

证明：设点户的坐标为(a,8).

:点P(a,6)在函数1="的图象上，

X

--------------------------------------

,BPab-k.

若点〃在第二象限，则水0,6>0,

/.S矩形AOBP-PB*PA--a•b--ab=­k；

若点尸在第四象限，则力0,伙0,

**•S矩形AOBP~PB•PA=a,(—Z?)——ab——

k.

综上,S矩形加印-k\.

归纳

对于反比例函数V-',

点Q是其图象上的任意一点，过点Q作QALy

轴于点A,轴于点B,则矩形/加0的面积

与k的关系是S矩形加制二k\.

推论：△3。和的面积与A的关系是SAQAO

_|iI

一Oc/XQBO------

设计意图：考查学生对反

比例函数解析式中A的几

何意义的掌握.

做一做

如图，在函数\/(x>0)的图象上有三点A,

B,C,过这三点分.向x轴、y轴作垂线，过每

一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形

的面积分别为S,SB,SC,贝1

1

A.S>S»ScB.S&S《Sc\\,

C.SkSFSCD.S《S&SB

师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他设计意图：巩固对反比例

同学判断正误.函数解析式中k的几何意

义的理解，锻炼运用能力.

例3如图，点/在反比例函数i-”的图象上，

X

ACVx轴于点C,且的面积为2,求该反

比例函数的解析式.

设计意图：锻炼运用反比

例函数解析式中k的几何

师生活动：学生独立思考，选一名学生回答，其他

意义解题的能力，渗透数

同学判断正误.

形结合思想.

练习3.如图，过反比例函数）="图象上的一点

X

R作PALx轴于4若△加的面积为6,则k

师生活动：学生独立思考并计算，教师巡视；选一

名学生回答并说明解题思路.

设计意图：强化数形结合

思想，培养学生用数学语

知识点四：反比例函数与一次函数的综合言讨论问题，阐述数据信

息与分析思路.

合作探究

此

3.在同一坐标系中，函数11和y=左x+6

X

的图象大致如下，则左、左、6各应满足什么条件？

①②

设计意图：锻炼学生综合

应用反比例函数与一次函

数的函数图像及性质解决

问题的能力.

师生活动：学生独立思考后跟随教师的引导，分析

不同图象下左、左、6各应满足的条件.

例4函数y=kx~k与='(AWO)的图象

大致

是()

设计意图：进一步掌握综

合应用反比例函数与一次

函数的函数图像及性质解

决问题的解题方法.

师生活动:教师引导学生分析解题思路一一由于两

个函数解析式都含有相同的系数k,可对k的正

负性进行分类讨论，得出符合题意的答案，师生共

同解决问题.

练习4.在同一直角坐标系中，函数二三与y=

ax+1(aWO)的图象可能是()

设计意图：考查学生对综

合运用反比例函数的图象

和性质解题的能力.

师生活动：学生独立思考，共同作答.

三、当堂练习

1.如图，尸是反比例函数I的图象上一点,

---------------------------<----------------

过点?作PBLx轴于点B,连接0P,且△戚的设计意图：考查对用待定

系数法求反比例函数解析

面积为2,则次的值为()

式的掌握.

A.4B.2

C.-2D.不确定设计意图：考查对反比例

函数和一次函数的综合应

用.

2.反比例函数］="的图象与一次函数y=2x

+1的图象的一个交点是(1,心,则反比例函数的

解析式是_______.

3.如图，直线y=Lx+6与反比例函数,

(x>0)交于A,6两点，其横坐标分别为1和5,

则不等式k\X+b>k的解集是________.设计意图：考查学生用反

X,比例函数在几何图形以及

图形面积中的综合应用.

4.如图，反比例函数।,与一次函数y二一

X

X+2的图象交于A,B两点.

(1)求4夕两点的坐标；

(2)求△/四的面积.

X

第2课时反比例函数的图象和性质的综合应用

板书设计

无

课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.

反图综

变性