2024年中考数学一轮复习：几何图形的初步（讲义）（解析版）

第15讲几何图形的初步

目录

题型02钟面角的计算

一、考情分析题型03方向角的表示

二、知识建构题型04角平分线的相关计算

考点一认识几何图形题型05求一个角的余角、补角

题型01几何图形的识别题型06与余角、补角有关的计算

题型02几何体点、棱、面之间的关系考点四相交线

题型03判断几何体的截面形状题型01点到直线的距离

题型04判断几何体的展开图题型02利用对顶角、邻补角的性质求解

题型05由展开图计算几何体的表面积或体积题型03判断同位角、内错角、同旁内角

题型06正方体展开图的识别考点五平行线

题型07补一个面使其成为正方体的展开面题型01平行公理的应用

题型08正方体相对两面上的字或图案题型02利用平行线的判定进行证明

题型09与七巧板有关的计算题型03求平行线之间的距离

考点二直线、射线、线段的相关概念题型04平行线判定的实际应用

题型01画直线、射线、线段题型05由平行线的性质求角度

题型02求直线、线段的数量题型06由平行线的性质解决折叠问题

题型03求直线相交点的个数题型07平行线的性质在实际生活的应用

题型04直线的性质题型08利用平行线的性质解决三角板问题

题型05线段的性质题型09根据平行线性质与判定求角度

题型06与线段中点有关的计算题型10根据平行线性质与判定证明

考点三角的相关概念

题型01度、分、秒的换算

考点要求新课标要求命题预测

认识几何图>通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和

该专题内容是初中几何

形点等概念.

的基础，在中考数学中属于

直线、射线、基础考点，年年都会考查，

>会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.

线段的相关分值为8分左右，预计2024

>掌握基本事实:两点确定一条直线和两点之间线段最短.

概念年各地中考还将出现.

>理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离.

大部分地区在选择、填

>理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单空题中考察可能性较大，主

角的相关概位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差.要考察平行线的性质和判

念>理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或定、方位角、角度的大小等

等角）的余角、同（或）的补的性质.知识，这些知识点考查较容

>理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直易，另外平行线的性质可能

线的垂线.在综合题中出现，考查学生

>掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线综合能力，比如：作平行的

相交线

垂直.辅助线，构造特殊四边形，

>理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.此类题目有一定难度，需要

>识别同位角、内错角、同旁内角.学生灵活掌握.对本专题的

>理解平行线的概念.复习也直接影响后续对其他

平行线>掌握平行线的性质与判定定理.几何图形的学习，需要考生

>了解平行于同一条直线的两条直线平行.细心对待.

平面图形各部分在同一平面

图形1立体图形各部分不在同二赢

题型01几何图形的识别

题型02几何体点、棱、面之间的关系

”一四一”共6种

题型03判断几何体的截面形状

题型04判断几何体的展开图

题型05由展开图计算几何体的表箭只或体积

认识几何图形正方体展开图“三个二"共1种题型06正方体展开图的识别

“二个三”共1种题型07补一个面使其成为正方体的展开面

题型08正方体相对两面上的字或图案

"凸""凹""田"不能有题型09与七巧板有关的计算

几何图形的组成点、线'面、体

题型01画直线、射线、线段

题型02求直线、线段的数量

题型03求直线相交点的个数

题型04直线的性质

题型05线段的性质

直线、射线、线段题型06与线段中点有关的计算

直线的性质两点确定一条直线

的相关概念

线段的性质两点之间，线段最短

两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.

线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点.

【静态】由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角

定义

【动态】由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形

角的分类锐角、直角、钝角、平角、周角

用三个大写字母表示

几用一个大写字母表示题型01度、分、秒的换算

角的表示方法题型02钟面角的计算

何用一例字表示

题型03方向角的表示

图

角的相用一个希腊字母表示题型04角平分线的相关计算

形关概念题型05求一个角的余角、补角

度、分、秒r=60';1'=60";10=3600";1"=(1/60)1"=(1/3600)°题型06与余角、补角有关的计算

的的运算方法

1周角=2平角=4直角=360°

初

角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.

步

余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角

补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角

在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行

垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互

相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.

相交线垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简题型01点到直线的距离

称垂线段最短.题型02利用对顶角、邻|卜角的性质求解

题型03判断同位角、内错角、同旁内角

相交线点到直线的距离：直缈—点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

对顶角对顶角相等

相交线形成的角邻补角和为180°

同位角、内错角、同旁内角

定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符

号"II"表示.

平行公理（唯一性）：经过直线点，有且只有一条直线与这条直线

平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两

条直线也互相平行.

题型01平行公理的应用

同位角相等题型02利用平行线的判定进行证明

题型03求平行线之间的距离

平行线的性质两直线平行内错角相等

题型04平行线判定的实际应用

同旁内角互补题型05由平行线的性质求角度

平行线题型06由平行线的性质解决折叠问题

同位角相等，两直线平行.题型07平行线的性质在实际生活的应用

内错角相等，两直线平行题型08利用平行线的性质解决三角板问题

平行线的判定题型09根据平行线性质与判定求角度

同旁内角互补，两直线平行题型10根据平行线性质与判定证明

垂直于同一期的两直线互相平行

概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这

两条平行线之间的距离.

平行线之间的距离性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等;

2）平行线间的距离处处相等.

考点一认识几何图形

・夯基•必备基础知识梳理

几何图形的概念：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.

立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.

平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.

正方体展开图(共计11种)：

⑸1(6)⑺(8)

(9)(10)(11)

口诀：1)“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意，

2)“三个二”成阶梯，

3)“二个三”“日”相连，异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.

几何图形的组成：1)点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.

2)线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.

3)面：包围着体的是面，分为平面和曲面.

4)体：几何体也简称体.

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.

【扩展】

名称顶点数(V)面数(F)棱数(E)存在关系

三棱锥446

长方体8612V+F-E=2

正八面体6812

正十二面体201230

1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.

.提升-必考题型幽

题型01几何图形的识别

[例1]（2023•山东临沂•统考一模）下列几何体中，是棱锥的为（）

【答案】A

【分析】分别判断选项的几何题即可得到答案.

【详解】解：A.图形中的几何体是棱锥，故此选项符合题意；

B.图形中的几何体是正方体，故此选项不符合题意；

C.图形中的几何体是圆锥，故此选项不符合题意；

D.图形中的几何体是圆柱，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了几何体的识别，掌握各几何体的特征是解题的关键.

【变式1-11（2023•北京西城•统考一模）下面几何体中，是圆柱的是（

D.

【答案】B

【分析】根据圆柱的特征，即可解答.

【详解】解：A.是正方体，故不符合题意；

B.是圆柱，故符合题意；

C.是圆锥，故不符合题意；

D.是球体，故不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键.

【变式1-2]（2023•江苏镇江•校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型

并描述它的特征.小乐:它有4个面是三角形;小欣:它有6条棱•则该几何体模型的形状可能是（）

A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱

【答案】A

【分析】根据几何体有4个面是三角形，有6条棱，进行判断即可.

【详解】解：：几何体有4个面是三角形，

几何体不能是棱柱（棱柱侧面均为四边形，只有三棱柱上下底面是三角形）；

又：几何体有6条棱，

，选项中只有A选项符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查几何体的判断.熟练掌握常见几何体的特征，是解题的关键.

题型02几何体点、棱、面之间的关系

【例2】（2020•山东枣庄・中考真题）欧拉（£Mer,1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，

他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数

（Vertex）、楔数E（Edge）、面数尸（々atsurface'）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公

式.

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称三棱锥三棱柱正方体正八面体

（2）分析表中的数据，你能发现人区尸之间有什么关系吗？请写出关系式:

【答案】（1）表格详见解析；（2）V+F-E^2

【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；

（2）从特殊到一般探究规律即可.

（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数人棱数艮面数户之间存在关系式：V+F-E=2.

【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于

中考常考题型.

题型03判断几何体的截面形状

[例3]（2023•河南信阳•二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面

的形状不可能是（）

【答案】A

【分析】根据圆柱体的截面形状，判断即可.

【详解】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形，

所以，一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，则水面的形状不可能是三角形.

故选：A.

【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握圆柱体的截面形状是解题的关键.

【变式3-1]（2023•江苏南京•校联考三模）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按不

同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（）

A.圆面B.矩形面

C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面

【答案】C

【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论.

【详解】解：当圆柱桶竖直放置时，液面形状为圆形，故选项A不符合题意；

当圆柱桶水平放置时，液面为矩形，故选项B不符合题意；

无论圆柱桶怎样放置，圆柱桶内的水平面不可能呈现出梯形面，故选项C符合题意；

当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则液面为椭圆的一部分，若液面不经过底面，则液面为椭圆，故

选项D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆柱的结构特征.关键是理解用平面去截圆柱体，所得到截面.

【变式3-2]（2023•四川成都•统考一模）分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何

体共有（）

【答案】C

【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可.

【详解】解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形,

用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形，

所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特是解题的关键.

【变式3-3］（2023•广东深圳•统考一模）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程

中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（）

A.三角形B.正方形C.六边形D.七边形

【答案】D

【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，

因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案；

【详解】解：：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得

三角形，

二截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，

故选D.

【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线.

题型04判断几何体的展开图

【例4】（2023•山西忻州•校联考模拟预测）下列图形中，为圆锥的侧面展开图的是（）

【答案】B

【分析】根据立体图形的特点及张开图的特点即可求解.

【详解】解：A、是棱锥的侧面展开图，不符合题意；

B、是圆锥的侧面展开图，符合题意；

C、是圆台的侧面展开图，不符合题意；

D、是圆柱的侧面展开图，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查立体图形的展开图的识别，掌握圆锥、棱锥、圆柱，圆台的特点及张开图的特点是

解题的关键.

【变式4-1］（2023•湖南长沙•统考三模）如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是

A.正三棱柱B.正三棱锥C.圆柱D.圆锥

【答案】A

【分析】由表面展开图得，这个几何体是正三棱柱.

【详解】解：由表面展开图得，这个几何体是正三棱柱，

故选：A.

【点睛】本题考查了几何体的表面展开图，解题的关键是熟记几何体的表面展开图的特征.

【变式4-2]（2023•江西九江•校考模拟预测）将如图所示的圆锥的侧面展开，则点4和点6在展开图中

的相对位置正确的是（）

【答案】C

【分析】根据点8在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后,点8应在扇形的半径上，且4方间距离为扇面的

一半，故可解答.

【详解】解：点方在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后,点6应在扇形的半径上，且4方间距离为扇面的

一半,

故选：C

【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，考核了学生的空间想象能力.

【变式4-3X2023•北京通州•统考一模）如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（）

四棱锥C.四棱柱D.三棱柱

【答案】D

【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱.

【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱.

故选：D.

【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合

立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键.

【变式4-4]（2023•河北石家庄•统考一模）将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在

一起，然后铺平，则得到的图形不可熊是（）

【答案】D

【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可.

【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意;

B、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；

C、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；

D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键.

题型05由展开图计算几何体的表面积或体积

【例5】（2023•河北保定•统考二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺

寸如图所示（单位：dm）,则其体积为（)

A.60dm3B.72dm3C.74dm3D.94dm3

【答案】A

【分析】设长方体底面的长和宽分别xdm,ydm,根据其平面展开图的相关数据可得关于x、y的二元一次方

程组，然后根据长方体的体积公式求解即可.

【详解】解：设长方体底面的长和宽分别xdm,ydm,

由平面图可知，｛；上二,解得二:；

故鱼缸的体积为4x5x3=60（dm3）.

故选A.

【点睛】本题考查了长方体的平面展开图以及二元一次方程组等知识，弄清长方体的展开图与圆长方体中

长、宽、高的关系是解题的关键.

【变式5-11（2023•黑龙江大庆•大庆一中校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积

为（）

A.7TB.V3?rC.—7TD.—71

23

【答案】D

【分析】由题意知，该几何体为圆锥，如图，则BC=（x2=1,AB=2,乙4c2=90。，在RtAZCB中,

由勾股定理得，AC=W,则几何体的体积V=（S/1=：x兀x百，计算求解即可.

【详解】解：由题意知，该几何体为圆锥，如图，则BC=2x2=l,AB=2,N2CB=90。，

在RtAACB中，由勾股定理得，AC=7AB2—BC2=W，

几何体的体积V=3sh=|x7TxV3=彳兀，

故选：D.

【点睛】本题考查了根据圆锥的展开图求圆锥体积，勾股定理.解题的关键在于确定几何体的形状.

【变式5-2］（2022•河北石家庄•统考一模）相同规格（长为14,宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部

分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所

得长方体体积分别记为：咋和吆.下列说法正确的是：（）

【答案】A

【分析】由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为a,长方体的高为b,则。丝；8

求出a,6的值，然后求体积即可；同理求出乙方案中长方体的体积，比较大小即可.

【详解】解：由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为a,长方体的高为b

则｛?fl

12a+b=14

解得，

・••昨=2x2x10=40

设乙方案中长方体箱子的正方形底面的边长为Q,长方体的高为b

则产：*34

Ia+2b=8

解叫::

・・./乙=6x6x1=36

V40>36

・・・P甲>卜乙

故选A.

【点睛】本题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用.解题的关键在于求出长方体的高，

底面正方形的边长.

【变式5-3]（2023•江苏宿迁・统考二模）在^ABC中，（C=90°,AC=3fBC=4,以48所在直线为轴,

把△ZBC旋转1周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为.

【答案】声

【分析】先求出直角三角形斜边2B的长，然后再求出斜边上的高，最后根据扇形面积公式进行求解即可.

【详解】解：过点C作CD1AB于点D,

Vzf=90°,AC=3,BC=4,

22

：.AB=y/AC+BC=5f

,厂「ACxBC3X412

・・CD=------==——,

AB55

...该几何体的表面积为：|X2Xy7TX（3+4）=y7T.

故答案为：yTT.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，准确计算.

【变式5-4］（2023•江苏扬州•统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形.根据

图中标示的长度，此长方体的表面积为.

【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后计算长方体的表面积即可.

【详解】解：设原长方体底面边长为a,长方体高为b,

15=3a,2a+b=26,

解得Q—5,b—16,

••.长方体的表面积为：5x5x2+5x16x4=370,

故答案为：370.

【点睛】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

【变式5-5］（2022•贵州贵阳•统考三模）如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后

把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36dm2.原来这个

圆柱的体积是dm3.

【答案】367r

【分析】增加的面积等于底面半径乘以高，再乘以2,由此可以计算出圆柱的底面半径，进而可以算出圆柱

的体积.

【详解】解：圆柱的底面半径为：36+2+9=2（分米），

故圆柱的体积为：7TX22x9=36兀（立方分米），

故答案：36兀.

【点睛】本题考查圆柱的体积，长方形的面积，长方体的表面积，掌握圆周的体积公式是解决本题的关键.

题型06正方体展开图的识别

【答案】D

【分析】根据已知正方体图形，利用排除法选出正确答案，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必

不相对.

【详解】根据己知正方体图形，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对.

利用排除法可得D选项正确

故选：D

【点睛】判断一个平面图形是不是某立体图形的平面展开图，需要从底面和侧面的情况进行全面的分析，

反之相同，在分析过程中需谨记，相邻必不相对.此类题目的解答有两种思路：①根据已知立体图形，利

用排除法选出正确答案；②将选项中的展开图还原成成立体图形与已知立体图形比较得出正确答案.

【答案】B

【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断，也可

对展开图进行还原成正方体进行判断.

【详解】解：A.可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；

B.不可以作为一个正方体的展开图，符合题意；

C.可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；

D.可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题考查正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一

线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）

判断也可.

【变式6-2］（2023•江苏南京•统考二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，

不熊作为纸盒剩余部分的展开图的是（）

【答案】C

【分析】根据正方体展开图的特征，由条件结合图形验证是否能拼成正方体，逐项判断即可得出结论.

【详解】解：根据正方体的展开图的特征可知：

A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，所以A选项正确；

B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，所以B选项正确；

C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，所以C选项不正确；

D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，所以D选项正确；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的各种形式，是解题的关键.

题型07补一个面使其成为正方体的展开面

【例7】（2022•吉林长春•统考一模）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小

正方形组合后，不熊构成正方体的表面展开图的是（）

【答案】D

【分析】根据正方体的展开图判断即可得出答案.

【详解】解：①②③都可以构成正方体的表面展开图，它们都属于“141”型，故A,B,C选项不符合题意;

④不可以构成正方体的表面展开图，因为出现了“田”字，故D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的11种展开图是解题的关键.

【变式7-1]（2023•浙江•模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方

形拼接而成的.现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域

恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（）

⑦⑥⑤

⑧④

⑨②③

①

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1-4-1型共6种，1-3-2型共3种，2-2-2型一种，3-3型

一种，由此判定找出答案即可.

【详解】解：根据题意可得：

补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，

共6个，

故选：D.

【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型「4-1型，2-3T型，2-2-2

型，3-3型.以及口诀“凹、田应弃之”.

【变式7-2]（2022•湖北恩施•统考二模）在如图所示的正方形网格中，其中阴影部分的5个小正方形是

一个正方体的表面展开图的一部分.现在从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的

表面展开图的概率是（）

【答案】D

【分析】由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中

选一块，再根据概率公式解答即可.

【详解】解：因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开

图的一部分，

所以剩下7个小正方形.

在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，

因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是:.

故选：D.

【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本题

的关键.

【变式7-31（2022•广东深圳•坪山中学校考模拟预测）如图，方格纸（每个小正方形边长都相同）中5

个白色小正方形已剪掉，在剩余七个小正方形中再剪去1个正方形，恰好使余下部分能折成一个正方体的

概率是.

①

②⑤

⑥r©

【答案】।

【分析】根据正方体的11种展开图的模型求解，即可得到答案.

【详解】解：由正方体的n种展开图的模型可知，把图中的⑥或⑦剪去，余下部分能折成一个正方体,

即概率为不

故答案为：

【点睛】本题考查了正方体的展开图，概率公式，熟记正方体的11种展开图的模型是解题关键

题型08正方体相对两面上的字或图案

【例8】（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图，点P,Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P,Q在

正方体上的位置标记正确的是（）

PD.包

【答案】C

【分析】根据正方体展开图直接判断即可得到答案；

【详解】解：由图像可得，

P,Q在相对的两面，且与相邻正方形顶点重合，故P,Q在同一条棱上，

故选C；

【点睛】本题考查正方体展开图，解题的关键是熟练掌握展开图的相对相邻面及相邻棱之间的关系.

【变式8-1]（2023•河南信阳•校考三模）习近平总书记在党的二十大报告中提出：“新时代十年的伟大

变革，在党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史、中华民族发展史上具有里程碑意义”将

“二”“十”“大”“里”“程”“碑”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，下图是它的一种展开

图，则在原正方体中，与“里”字所在面相对的面上的汉字是（）

大里।程

m

A.十B.二C.程D.碑

【答案】B

【分析】将正方体的展开图还原成立体图，即可求解

【详解】解：若以“大”字作为正方体的底面

可知：“十”、“碑”为前后两个面；

“二”、“里”为左右两个面；

“程”、“大”为上下两个面.

故选：B

【点睛】本题考查正方体展开图相对两个面上的字.将展开图还原成立体图是解题关键.

【变式8-2]（2023•河南信阳•校考三模）下列正方体的展开图中，每个面上都有一个汉字，则“口”的

【答案】D

【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法逐项判断即可.

【详解】解：A、“口”的对面是“洗”，故A不符合题意；

B、“口”的对面是“勤”，故B不符合题意；

C、“口”的对面是“洗”，故C不符合题意；

D、“口”的对面是“手”，故D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解

题的关键.

【变式8-3]（2023•湖北恩施•校考模拟预测）有一个正方体，6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,

有3个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记6的对面的数字为a,2的对面的数字为b,那么a+b

C.8D.11

【答案】B

【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6,从而2的

对面的数字是4,从而可得答案.

【详解】解：从3个小立方体上的数可知,

与写有数字1的面相邻的面上数字是2,3,4,6,

所以数字1面对数字5,

与写有数字3的面相邻的面上数字是1,2,4,5,

所以立方体面上数字3对6.

故立方体面上数字2对4.

则a=3,6=4,

那么a+6=3+4=7.

故选B.

【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，解题的关键是按照相邻和所给图形得到相对面的数

字.

【变式8-4]（2023•山东青岛•统考二模）如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图

形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（)

【答案】B

【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的结构.由正方体可以看出，有图案的三个面两

两相邻.

【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的结构.由正方体可以看出，有图案的三个

面两两相邻；

A、C、D选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B选项折成正方体后，有图案的三个面两

两相邻；

故选：B.

【点睛】正方体展开图“1-4-1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻.关

键是明白有图案的三个面两两相邻.

【变式8-5］（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图，已知一个正方体是三个面分别标有O、◎、※三种

图案，则它的展开图可能是（）

【答案】A

【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可.

【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，

选项A中“O面”“◎面”“※面”的对面都是“空白”，故选项A符合题意；

选项B中的“◎面”与“※面”是对面，与题意矛盾，故选项B不符合题意；

选项C中的“O面”与“◎面”是对面，与题意矛盾，故选项C不符合题意；

选项D中的“◎面”与“※面”是对面，与题意矛盾，故选项D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查正方体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答本题的关键.

方法技巧

正方体展开图相对面的确定方法：1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面;

2）“Z”字型图案中，两端点处的两个面是相对面.

题型09与七巧板有关的计算

【例9】（2023•江