小学数学竞赛 容斥原理之重叠问题（二）

r-7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;

2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.

日1磔上颔）跟廖彘

一'两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把

两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：AB^A+B-A3（其中符号““读作"并“，相当于中文"和''或者"或'’的意思；符号“”

读作“交”，相当于中文“且''的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下:A表示小圆

部分，3表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆

部分，3表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB,即阴影面积.

1.先包含——A+B

重叠部分A8计算了2次，多加了1次;

2.再排除——A+B-AB

把多加了1次的重叠部分AB减去.

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A3的并集A8的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合43的元素个数，然后加起来，即先求A+B（意思是把A、3的一切元素都“包含“进

来，加在一起）；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A3（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.

二、三量重叠问题

A类、8类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+3类元素个数+C类元素个数-既是A类又是3类

的元素个数-既是3类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、3类、C类的元

素个数.用符号表示为：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示8的元素的个数,

大圆表示C的元素的个数.

1.先包含：A+B+C

aflBPIc重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次.

2.再排除：A+B+C-AB-BC-AC

重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A+3+C-

AB-BC-AC计算时都被减掉了.

再包含：A+B+C—AB—BC-AC+ABC,

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.

目Mt

模块一、三量重叠问题

【例1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报

纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有户。

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】总共有（30+34+40）+2=52户居民，订丙和乙的有52-30=22户。

【答案】22户

【例2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共

有26人，手中有蓝旗的共有18人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人.而手中只有红、黄

两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么

这个班共有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如图，用A圆表示手中有红旗的，3圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有

红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，

手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：04+26+18）—9+4+3）—

6x2=50（人）.

【答案】50人

【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4

人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好.问：既爱打

篮球又爱打排球的有几人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人.根据包含排除法，

42=（26+17+19）-（9+4+既爱打篮球又爱打排球的人数）+0,得到既爱打篮球又爱打排球的人数

为：49-42=7（A）.

【答案】7人

［例3］四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组,

参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数

的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小

组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组成集

合G.三者都参加的学生有z人.有BC|=46,|A|=24,|B|=20,|C|=3.5,|AC|=7|ABC\,

\BC\=21ABC\,|AB|=10.

因为|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC\+\ABC\,

所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,

即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有3x7=21人.

【答案】21人

【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组，35

人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,

参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，

语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A,参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人

组成集合C.

⑶=25,阳=35,口=27,忸C|=12,|AB\=8,|AC\=9,|ABC|=4.

|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC\+\ABC\.

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项.即

这个班有62人.

【答案】62人

【巩固】光明小学组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有42人，

参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛

的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛

的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人

加起来，共是42+55+33=130人.把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋

和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人

被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：

130—（18+10+9）+5=98（人）.

或者根据学过的公式：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC,参加棋类比赛的总

人数为：42+55+33—18—10—9+5=98（人）.

【答案】98人

【例4】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍

于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参

加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没

有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人.

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】西城实验

【解析】设只参加合唱的有尤人，那么只参加跳舞的人数为3x,由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳

舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50-10=40人，即

X+3JC=40,得x=10,所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加

三种节目的人比只参加合唱的人少7人“，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时

参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的''有：40-10—10—3=17人.

【答案】17人

【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中，爱好体育的55人，爱

好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育

和文艺的17人.问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】只是A类和8类的元素个数，有别于容斥原理n中的既是A类又是B类的元数个数.依题意，画图

如下.设只爱好科学和文艺两项的有x人.由容斥原理，列方程得

55+56+51-a7+15)-(4+15)-(x+15)+15=100

即55+56+51—17—4—x—15x2=100

lll-x=100

x=ll只爱好体育的有：55-17-15-4=19(A).

【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。

【例5】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人

带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士

蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问：

（1）三种都带了的有几人？

⑵只带了一种的有几个？

【考点】三量重叠问题【难度】4星

【解析】如图，用A圆表示带汉堡的人,B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人.

⑴根据包含排除法，总人数=（带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数）-（带汉堡、鸡

腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数）+三种都带了的人数，即

10—（6+6+4—（3+2+1T三种者F带了的人数，得三种都带了的人数为：10—10=0（人）.

（2）求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即10-（3+2+1）=4（人）.只带了一种

的有4人.

【答案】（1）0人，（2）4人

【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的

各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都

要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】略

【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数=（要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人

数）-（要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数）+三种都要的人数，即至

少要了一种饮料的人数为：（5+5+5）—G+2+2）+l=9（人）.10-9=1（人），所以其中有1人这三种

饮料都没有要.

【例6】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会,

至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格，

那么，⑴数学成绩优秀的有几个学生？

⑵有几个人既会游泳，又会滑冰？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】⑴有6个数学不及格，那么及格的有：25-6=19（人），即最多不会超过19人会这三项运动之一.而

又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：（17+13+8）+2=19（人）至少会这三项运动之一.于

是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩

下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的.

⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑

冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会

游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车.所以，全班有19-17=2（人）既会游泳又会滑冰.

【答案】（1）0人，（2）2人

【巩固】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组

的有15人，参加3组的人数仅次于A组，参加C组、。组的人数相同，参加E组的人数最少，只

有4人.那么，参加3组的有人.

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】填空

【解析】参加3,C,。三组的总人数是36-15-4=17（人），C,。每组至少5人，当C,。每组6人时,

3组为5人，不符合题意，所以参加8组的有17-5-5=7（人）.

【答案】7人

【例7】五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文

小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学

参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数

的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人

有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于4,那么仅参加语文与自然小

组的人数则大于等于20,而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意

矛盾，所以参加3个小组的人数为2.仅参加语文与自然小组的人数为10,于是仅参加语文与

自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与语

文以及仅参加数学的.由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人.

【答案】5人

【例8】在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的

人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人

摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100,你能回

答下列问题吗？

①有

人摘了山莓；

②有

人同时摘了三种水果；

③有

人只摘了山莓；

④有

人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；

⑤有

人只摘了草莓.

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空

【解析】如图，根据题意有

A=2C

G-C=3

B—E=4

A+D+C=50

D=ll

C+D+F+G=&）

A+B+E=4O

代入求解：A=26,B=9,C=13,D=ll,E=5,尸=20,G=16

所以①有A+D+E+G=26+l1+5+16=58（人）摘了山莓；

②有16人同时摘了三种水果；

③有26人只摘了山莓；

④有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；

⑤有9人只摘了草莓.

【答案】①有58（人）摘了山莓；②有16人同时摘了三种水果；

③有26人只摘了山莓；④有20人摘了李子和草莓，而没有摘山莓;

⑤有9人只摘了草莓.

【例9】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪

三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之

一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参加其它项目，参加标

枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x,只参加长跑和标枪的人数为y,

只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有“人.那么有以下方程组：

由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人

参加其它项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x,只参加

长跑和标枪的人数为y,只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有〃人.那么有以下方程组：

x+y+n=2

＜尤+z+w=3

z+y+"=4

将3条等式相加则有2(x+y+z)+3n=9,由这个等式可以得到，”必须是奇数，所以，〃只能是1或

3、5、7.......,如果论3时x、y、z中会出现负数.所以〃=1,这样可以求得x=0,y=l,z=2.由此可得

到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2x1=40人.

将3条等式相加则有2(x+y+z)+3力=9,由这个等式可以得到，w必须是奇数，所以，w只能是1或

3、5、7.......,如果这3时无、y、z中会出现负数.所以力=1,这样可以求得x=0,y=l,z=2.由此可得

到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2x1=40人.

【答案】40人

模块二、四个量的重叠问题

【例10］养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有

头。

【考点】四个量的重叠问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】解：公牛有2007-1105=902头，公黄牛有902-200=702头，母黄牛有1506-702=804头

【答案】8(M头

【例1。一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和

英语书共有16本，语文书和英语书共有17本：有一种书恰好有9本，这种书是书。

【考点】四个量的重叠问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】迎春杯，四年级，初赛，5题

【解析】如果数学书有x本，那么英语书有16-x本，语文书有17-(16-x)=x+l本，历史书为

35-(x+16-x+x+l)=18-x本，其中有可能出现相等的有x和16-x,x和18-x因为它们奇偶性相同.为了

不相等，x邦且若9,有此得到16-x不等于8和7,x+1不等于9和10,18-x不等于10和9,只有

16-x可以等于9,所以英语书有9本.

【答案】英语

7-7-2.容斥原理之重叠问题(二)

即3住啜盛目附

3.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

4.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.

旦Me挺S更彘

一'两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把

两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：AB=A+B-A3（其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”

读作“交”，相当于中文“且''的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下:A表示小圆

部分，3表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB,即阴影面积.图示如下:A表示小圆

部分，3表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB,即阴影面积.

1.先包含——A+B

重叠部分A8计算了2次，多加了1次;

2.再排除——A+B-AB

把多加了1次的重叠部分AB减去.

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A8的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合45的元素个数，然后加起来，即先求A+3（意思是把43的一切元素都“包含”进

来，加在一起）；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A3（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.

二'三量重叠问题

A类、3类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+3类元素个数+C类元素个数-既是A类又是3类

的元素个数-既是3类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、3类、C类的元

素个数.用符号表示为：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.图示如下：

NRIB

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示8的元素的个数,

大圆表示C的元素的个数.

1.先包含：A+B+C

■fvnc重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次.

2.再排除：A+B+C-AB-BC-AC

重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A+3+C-

AB-BC-AC计算时都被减掉了.

再包含：A+B+C-AB-BC-AC+ABC.

在解答有关包含排除问题时，我们常常莉用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.

模块一、三量重叠问题

【例12】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报

纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有户。

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】总共有(30+34+40)+2=52户居民，订丙和乙的有52-30=22户。

【答案】22户

【例13】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共

有26人，手中有蓝旗的共有18人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人.而手中只有红、黄

两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么

这个班共有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如图，用A圆表示手中有红旗的，3圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有

红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，

手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：64+26+18)-(9+4+3)-

6x2=50(人).

【答案】50人

【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4

人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好.问：既爱打

篮球又爱打排球的有几人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人.根据包含排除法，

42=(26+17+19)-(9+4+既爱打篮球又爱打排球的人数)+0,得到既爱打篮球又爱打排球的人数

为：49-42=7(A).

【答案】7人

【例141四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组,

参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数

的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小

组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组成集

合G.三者都参加的学生有z人.有B。卜46,国=24,同=20,口=3.5,|AC|=7|ABC\,

\BC\=21ABC\,|AB|=10.

因为|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC\+\ABC\,

所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,

即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有3x7=21人.

【答案】21人

【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组，35

人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，

参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，

语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

A自然|5美术

\a吾

【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A,参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人

组成集合C.

.=25,网=35,州=27,忸C|=12,|AB\=8,|AC|=9,|ABC|=4.

|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC|+|ABC\.

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项.即

这个班有62人.

【答案】62人

【巩固】光明小学组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有42人，

参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛

的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛

的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人

加起来，共是42+55+33=130人.把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋

和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人

被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：

130—(18+10+9)+5=98(人).

或者根据学过的公式：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC,参加棋类比赛的总

人数为：42+55+33-18-10-9+5=98(A).

【答案】98人

【例151新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍

于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参

加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没

有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有人.

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】西城实验

【解析】设只参加合唱的有无人，那么只参加跳舞的人数为3x,由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳

舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50-10=40人，即

x+3x=40,得x=10,所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加

三种节目的人比只参加合唱的人少7人“，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时

参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的''有：40-10—10—3=17人.

【答案】17人

【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中，爱好体育的55人，爱

好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育

和文艺的17人.问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】只是A类和8类的元素个数，有别于容斥原理n中的既是A类又是8类的元数个数.依题意，画图

如下.设只爱好科学和文艺两项的有x人.由容斥原理，列方程得

55+56+51—(17+15)—(4+15)—(x+15)+15=100

即55+56+51-17-4-x-15x2=100

lll-x=100

x=U只爱好体育的有：55-17-15-4=19(A).

【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。

【例16】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人

带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士

蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问：

（1）三种都带了的有几人？

⑵只带了一种的有几个？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】如图，用A圆表示带汉堡的人,3圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人.

（1）根据包含排除法，总人数=（带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数）-（带汉堡、鸡

腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数）+三种都带了的人数，即

10—（6+6+4—（3+2+1T三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10—10=0（人）.

（2）求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即10-（3+2+1）=4（人）.只带了一种

的有4人.

【答案】（1）0人，（2）4人

【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的

各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都

要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】略

【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数=（要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人

数）-（要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数）+三种都要的人数，即至

少要了一种饮料的人数为：6+5+5）—（3+2+2）+1=9（人）.10-9=1（人），所以其中有1人这三种

饮料都没有要.

【例17】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会,

至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格，

那么，⑴数学成绩优秀的有几个学生？

⑵有几个人既会游泳，又会滑冰？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】⑴有6个数学不及格，那么及格的有：25-6=19（人），即最多不会超过19人会这三项运动之一.而

又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：（17+13+8）+2=19（人）至少会这三项运动之一.于

是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩

下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的.

⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑

冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会

游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车.所以，全班有19-17=2（人）既会游泳又会滑冰.

【答案】（1）0人，（2）2人

【巩固】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组

的有15人，参加3组的人数仅次于A组，参加C组、。组的人数相同，参加E组的人数最少，只

有4人.那么，参加3组的有人.

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】填空

【解析】参加8,C,。三组的总人数是36-15-4=17（人），C,。每组至少5人，当C,。每组6人时，

3组为5人，不符合题意，所以参加3组的有17—5-5=7（人）.

【答案】7人

【例18】五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文

小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学

参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数

的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人

有多少人？

【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答

【解析】参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于4,那么仅参加语文与自然小

组的人数则大于等于20,而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意

矛盾，所以参加3个小组的人数为2.仅参加语文与自然小组的人数为10,于是仅参加语文与

自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与语

文以及仅参加数学的.由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人.

【答案】5人

【例19】在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的

人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人

摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100,你能回

答

T5

①有

人摘了山莓；

②有

人同时摘了三种水果；

③有