四川省达州市大竹中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理

PAGEPAGE11四川省达州市大竹中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理满分150分，完卷时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知集合A={x|x2−4=0}，则下列关系式表示正确的是

A.⌀∈A B.−2=A C.2∈A D.{−2,2}⫋A命题“∃x∈(0,+∞)，x+1x≥3”的否定是A.∃x∈(0,+∞)，x+1x≤3 B.∃x∈(0,+∞)，x+1x<3

C.∀x∈(0,+∞)，若复数z满意z+(3−4i)=1，则z的虚部是

A.4i B.4 C.-4i D.−4已知物体位移S(单位：米和时间t(单位：秒满意：S=t3−2t+1，则该物体在t=1时刻的瞬时速度为A.1米/秒 B.2米/秒 C.3米/秒 D.4米/秒已知f(x)=sin(x+π6)，f'(x)为f(x)A.33 B.32 C.12用数学归纳法证明1n+1+1n+2+⋯+12nA.只增加一项12(k+1)B.增加两项12k+1和12k+2

C.增加两项12k+1和12k+2将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)图象，则函数的解析式是(    )A.g(x)=sin(2x+π3) B.g(x)=sin(2x−如图，F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆A.22B.34C.23在正方体ABCD−A'B'C'D'中，二面角A−B'C−D'的余弦值是(    )12 B.−12 C.1若数列{an}满意1an+1−1an=d(n∈N∗A.2 B.2 C.22 D.函数f(x)在定义域(0,+∞)内恒满意f(x)<xf'(x)<3f(x)，其中f'(x)为f(x)的导函数，则(    )A.116<f(3)f(4)<964 B.已知函数f(x)=(ln x+1−ax2)(ex−2m−ax2A. B.

C.(12(1−ln2),1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）双曲线x2−y22=1为加速推动科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采纳分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研实力访谈已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数______．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当已知，，是平面对量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满意，则的最小值是.．三、解答题（本大题共6小题，共70分）设命题p：实数x满意(x−a)(x−3a)<0(其中a>0)，命题q：实数x满意2<x≤3．

(1)若a=1，p、q都为真，求实数x的取值范围；

(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=x3−3x．

(1)求曲线f(x)在x=0处的切线方程；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A−2cos Ccos B=2c−ab．

(1)求sinCsinA的值；

(2)如图，在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、BC的中点．

(I)求证：平面EFG//平面VCD；

(II)当二面角V−BC−A、V−DC−A分别为45°、30°时，求直线VB与平面EFG所成的角的正弦值．已知ΔABC的顶点A(1,0)，点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．(1)求C点的轨迹Γ的方程；(2)已知轨迹Γ上的不同两点M，N与P(1,2)的连线的斜率之和为4，求证：直线MN过定点．

设函数f(x)=x2，(Ⅰ)当a=b=1时，若g(x)⩽2x+m恒成立，求m的取值范围．(Ⅱ)设G(x)=f(x)+2−g(x)有两个零点x1,x摸索究G'(x0参考答案1.选择题CCBACCBDCDCB2.填空题13.y=±2x．17.解：(1)由已知(x−a)(x−3a)<0，又a>0，所以a<x<3a，

当a=1时，命题p：1<x<3，又命题q：2<x≤3，

因为p、q都为真，所以实数x的取值范围为2<x<3；

(2)设A={x|a<x<3a}，B={x|2<x≤3}，

因为q是p的充分不必要条件，所以B⫋A，

则有a≤23a>3，解得1<a≤2，

所以实数a的取值范围1<a≤218.解：(1)依据正弦定理，得2sinC−sinAsinB=cosA−2cosCcosB，

即(cos A−2cos C)sin B=(2sin C−sin A)cos B，

化简得sin(A+B)=2sin(B+C)，

即sin C=2sin A，所以sinCsinA=2．

(2)由(1)得c=2a，由余弦定理得4=a2+4a2−4a2×14，解得a=1，c=2．

因为cosB=14，且0<B<π20.解：(I)∵E、F、G分别为VA、VB、BC的中点，∴EF//AB，FG//VC，

又ABCD是矩形，∴AB//CD，∴EF//CD，

又∵EF⊄平面VCD，FG⊄平面VCD

∴EF//平面VCD，FG//平面VCD，

又EF∩FG=F，∴平面EFG//平面VCD.

(II)∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD．

则∠VDA为二面角V−DC−A的平面角，∠VDA=30°．

同理∠VBA=45°.

建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，设VA=VB=1，BC=3，

则V(0,0，1)，B(0,1，0)，D(3,0，0)，C(3,1，0)

设平面EFG的法向量为n=(x,y，z)，

则n亦为平面VCD的法向量．

∵DC=(0,1，0)，VC=(3,1，−1)，

∴y=03x+y−z=0

则向量n=(1,0，3)为平面EFG的一个法向量

设直线故直线VB与平面EFG所成的角

的正弦值为21解：(1)设C(x,y)(y≠0)，因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B(−x,0)，

由|AB|=|AC|，得(x+1)2=(x−1)2+y2，

化简得y2=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2=4x(y≠0)．

(2)证明：设直线MN的方程为x=my+n，M(x1,y1)，N(x22.【答案】解：Ⅰ)g(x)=lnx+x．

问题转化为

lnx−x≤m，马上可．

设hℎx=lnx−x，所以hℎ'(x)=1x−1=1−xx，

∴当0<x<1h(x)在x=1时取得最大值，h(1