专题06特殊四边形及圆的相关证明与计算-（全国通 用）（原卷版）

专题06特殊四边形及圆的相关证明与计算考向1与圆有关的证明与计算【母题来源】2021年中考内江卷【母题题文】（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．【试题解析】（1）证明：如图，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3，如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴AD＝2，在Rt△ADB中，cos∠DAB，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴DF2，∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB2×22；（3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，在Rt△AEM中，AM＝AE•cos60°＝3，EM＝AE•sin60°，∴MB＝AB﹣AM＝4，∴BE．【命题意图】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力。【命题方向】考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．【得分要点】解决与圆有关的证明与计算的常用方法:(1)有切线时,一般连接圆心与切点,利用切线的性质、圆周角定理及其推论等解决问题.(2)判断直线是圆的切线有两种方法:①如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心,证明直线与半径垂直,即“有交点,作半径,证垂直”;②如果直线与圆没有明确的交点,则过圆心作该直线的垂线,证明垂线段等于半径,即“无交点,作垂直,证相等”.(3)证明线段相等时,一般通过证三角形全等或“等角对等边”或等量代换等来解决.(4)求线段的长度,一般通过勾股定理、相似三角形、解直角三角形等来解决.考向2圆背景下的特殊四边形的动态探究问题【母题来源】2021年中考通辽卷【母题题文】（2021•通辽）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．【试题解析】（1）证明：连接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD过O，∴PD是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∴∠APO＝∠AOP，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°．【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【命题方向】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．【得分要点】圆背景下特殊四边形动态探究题的考查方式与解题方法:(1)常见的考查方式:①通过线段的长判定四边形的形状;②通过角度的大小判定四边形的形状.(2)解此类题的一般方法:①假设四边形为所要求的特殊四边形;②根据特殊四边形的性质,结合已知条件,求出相关线段的长度或角的度数;③检验所求线段的长度或角的度数是否满足题意.考向3四边形背景下的特殊四边形的动态探究问题【母题来源】2021年中考青岛卷【母题题文】已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cms．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当PQ⊥BD时，求t的值；（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当PQ＝PM时，求t的值；（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【试题解析】（1）如图1中，由题意，BP＝DQ＝t（cm），在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BAD＝90°，∴BD10（cm），∵PQ⊥BD，∴∠PQB＝90°，∴cos∠PBQ，∴，∴t，答：当PQ⊥BD时，t的值为．（2）如图2中，过点P作PO⊥QM于点O．在等腰Rt△ADE中，AD＝AE＝6，∠EAD＝90°，∴BE＝AB+AE＝8+6＝14（cm），∵QM∥BE，∴∠POH＝∠PAH＝∠OHA＝90°，∴四边形OPAH是矩形，∴PO＝AH，∵QM∥EB，∴∠DQM＝∠QDM，∵∠QDM＝∠QDM，∴△DQM∽△DBE，∴，∴，∴QMt（cm），∵QN∥BC，∴∠DNQ＝∠C＝90°，∵∠CDB＝∠CDB，∴△NDQ∽△CDB，∴，∴，∴DNt（cm），QNt（cm）．∴S＝S四边形DQPM+S△DNQ（PQ+DH）•QMQN•ND（HA+DH）•QMQN•ND•AD•QMQN•ND6tttt2t．∴S与t之间的函数关系式为：St2t（0＜t＜8）．（3）如图3中，延长NQ交BE于点G．由（1）（2）可知DC∥AB，∠DNQ＝90°，PO⊥QM，∵∠DNQ＝∠NGA＝∠BAD＝90°，∴四边形NGAD是矩形，∴BG＝CN＝（8t）（cm），同理可证，四边形PGQO是矩形，∴QO＝PG＝BP﹣CN＝t﹣（8t）＝（t﹣8）（cm），∴tt﹣8，∴t，答：当PQ＝PM时，t的值为．（4）存在．理由：如图4中，由（2）得DNt，QMt，∵QN∥BC，QM∥BE，∴∠DNQ＝∠NQH＝∠NDH＝90°，∴四边形NQHD是矩形，∴QH＝DNt，且∠QHD＝90°，∴∠QHA＝∠DAE＝90°，∵∠AWE＝∠QWD，∴△HQW∽△AEW，同理可证△MHW∽△PAW，∴，，∴，∴，∴t，经检验，t是分式方程的解，答：在运动过程中，t的值为时，∠AWE＝∠QWD．【命题意图】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力【命题方向】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【得分要点】四边形背景下特殊四边形动态探究题的考查方式与解题方法:(1)常见考查方式:通过探究动点的运动时间或位置来判定四边形的形状;(2)解此类题的一般方法:以题目所要求的特殊四边形为条件,进行逆推,求解相应问题.1．（2021•东胜区一模）如图，点D、E在以AB为直径的⊙O上，AE与BC交于点F，∠DAC＝∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是上一点，BD＝AD，BE＝1，求DF的长．2．（2021•南关区校级二模）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，BD，则菱形ABCD的面积为．3．（2021•河南模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是AB下方的圆上一点，点C是优弧的中点，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点E，连接OC，OD，CB，BD．（1）求证：BD∥OC；（2）若AB＝6，填空：①当BE＝时，四边形ODBC是菱形；②当BE＝时，S△BCES△ABC．4．（2021•栾川县三模）某数学兴趣小组进行了一次有趣的数学探究：如图①所示，在钝角∠AOB的边OB上任取一点C，过点C作CE∥OA，以点C为圆心，CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，在上任取一点P，作射线OP，交射线CE于点F，当点P在上移动时，点F也随之移动，是否存在某个时刻，∠AOF恰好等于∠AOB呢？经过试验、猜想、推理验证，他们发现：当PF与OC满足某种数量关系时，∠AOF∠AOB．请你根据以上信息，把如下不完整的“图②”和“已知”补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图②，点C在钝角∠AOB的边OB上，CE∥OA，以点C为圆心、CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，点P在上，射线OP交CE于点F，（填PF与OC的数量关系）．求证：∠AOF∠AOB．5．（2021•南阳模拟）小亮在学习中遇到如下一个问题：如图1，点C是半圆AmB上一动点，线段AB＝6，CD平分∠ACB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连接BD．当△BCD为等腰三角形时，求线段AC的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC的长度作为自变量x，BC，BD和CD的长度都是x的函数，分别记为yBC，yBD和yCD．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点C在半圆AmB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC，BC，BD的长度，得到下表的几组对应值：AC01.02.03.04.04.55.05.56BC65.95.75.24.5a3.32.40BD65.04.23.744.55.36.38.5①上表中a的值是4.0；②操作中发现，“无需测量线段CD的长度即可得到yCD关于x的函数解析式”．请直接写出yCD关于x的函数解析式．（2）小亮已在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD的图象，如图2所示．①请在同一坐标系中画出函数yBC和yCD的图象；②结合图象直接写出当△BCD为等腰三角形时，线段AC长度的近似值（结果保留一位小数）．（3）小亮观察发现，函数yBD的图象有最低点．请你直接写出线段BD长度的最小值（写出精确值）．6．（2021•姑苏区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M，N分别在AB，BC上，BM＝3x，BN＝4x（0＜x＜1）．把△MBN绕点M旋转，得到△MEF，点E落在线段MN上．（1）求证：MN∥AC；（2）若点E在∠BCA的平分线上，求BM的长；（3）若△MEF与△ABC重叠部分图形的周长为，求x的值．7．（2021•徐州模拟）如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：（1）a＝．（2）当x为何值时，△APQ的面积为6cm2；（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点．8．（2021•南关区校级二模）如图，等腰△ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一