专题07 锐角三角函数的实际应用-

专题07锐角三角函数的实际应用考向1仰、俯角问题【母题来源】2021年中考郴州卷【母题题文】如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，【试题解析】过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：则四边形AMBN是矩形，∴AN＝BM，BN＝MA，∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2=BM∴设BM＝x米，则AM＝2x米，∴AB=BM2+A∴AN＝BM＝215（米），BN＝AM＝425（米），在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，∴△BCN是等腰直角三角形，∴CN＝BN＝425（米），∴AC＝AN+CN＝215+425=63答：观光电梯AC的高度约为141.1米．【命题意图】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【命题方向】考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键，一般安排在解答题的中档位置．【得分要点】解决锐角三角函数实际应用题的一般步骤:(1)审题:弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度等概念,将实际问题转化为数学问题;(2)构造直角三角形:有时需要通过作辅助线,或分割成直角三角形和矩形;(3)解直角三角形:根据已知条件,选用合适的锐角三角函数解直角三角形;(4)检验:检验得到符合实际要求的解,并按题目要求的精确度确定答案.考向2坡角、坡度问题【母题来源】2021年中考巴中卷【母题题文】学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．【试题解析】（1）延长BA交CG于点E，则BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴AE=12AC=12×在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BE＝CE•tan∠BCE＝63×∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴CD＝DE﹣CE=BEtan∠【命题意图】解直角三角形及其应用；应用意识．【命题方向】考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键，一般安排在中档题位置．【得分要点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．考向3方向角问题【母题来源】2021年中考遂宁卷【母题题文】小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．【试题解析】（1）设AD与BC交于点F，由题意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBF＝60°，∴∠BFA＝∠EBF＝60°，∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°；（2）过点B作BG⊥AD于G．∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，AG＝BG＝20×sin45°=102在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，∴BF=BGsin60∵∠C＝∠CAD＝30°，∴CF＝AF＝AG+FG＝（102+∴BC＝BF+CF＝（102+106答：两棵银杏树B、C之间的距离为（102+106【命题意图】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【命题方向】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是构建含特殊角的直角三角形，一般安排在中档题位置．【得分要点】解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．1．（2021•封丘县二模）2021年3月1日，我国第一部流域保护法﹣﹣《中华人民共和国长江保护法》正式实施．作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工作的痛点，长江保护法最大的特点就是“生态优先、绿色发展”的国家战略被写入法律．已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？（结果精确到0.1，2≈1.41，sin37°≈35，cos37°≈2．（2021•金州区一模）如图，测量船在点D处，测得小岛最东端（A点处）的方向角为北偏西67.5°，最西端（B点处）的方向角为北偏西30°，已知此时船到直线AB的距离是2000米，根据以上数据，求出小岛东西长度AB的距离．（结果取整数，参考数据：2≈1.41，33．（2021•涡阳县模拟）三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：如图①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．利用这个结论可求解下列问题：例：在△ABC中，已知a＝23，b＝22，c=6+2解：∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，cosA=b∴∠A＝60°．【应用新知】如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为23海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里，求此时C处到灯塔B的距离．4．（2021•全椒县二模）海上测绘船沿正北方向航行，在A点观察东北方向的岛屿的西端M在A点的北偏东36.9°方向航行4km后到达B点，测得该岛屿东端N在B点的北偏东67.4°方向，又航行6km后到达C点，测得该岛屿正好在C点的正东方向（即C，M，N在同一直线上）求该岛屿东西两端M，N之间的距离．（参考数据：sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75，sin67.4°≈0.92，tan67.4°≈2.40）5．（2021•新野县三模）许昌市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如图1．广场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四闕”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑．某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图2为测量示意图，MN为服务中心的对称轴，在地面的AB处架设测角仪，测得旅游服务中心的最高点D的仰角45°，利用无人机在点B的正上方57.8米处的点C处测得点D的俯角为32°，测角仪的高度AB＝1.6米，FH＝17.2米，DE＝19.8米．（1）求旅游服务中心的高度为多少米？（结果精确到0.1m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，2≈（2）兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为36.8m，请用物理知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？6．（2021•梁园区二模）大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，2≈1.4，3≈1.7，7．（2021•胶州市一模）2020年6月23日，北斗卫星最后一颗全球组网卫星发射成功．运载火箭从地面A处（忽略发射塔高度）竖直向上发射，当运载火箭到达点B处时，地面D处的雷达站测得B处仰角为37°，BD＝50km．10秒后，运载火箭直线上升到达点C处，此时地面E处一观测点测得C处的仰角为56°，已知点A，D，E在同一条直线上，并且D，E两处相距15km，求运载火箭从B处到C处时的平均速度（单位：km/s）．（参考数值：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin56°8．（2021•榆阳区模拟）如图，已知雕塑底座AB为12.8米，小军及其小组成员想利用所学知识测量塑像的高度BE，测量方法如下：在地面上的点C处测得塑像顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝7.2米，从点D测得塑像底端B的仰角为45°，已知点A、B、E在同一条垂直于地面的直线上，点C、D、A在一条直线上．请你根据以上信息，求塑像的高度BE．（参考数据：2≈1.41，38．（2021•漳浦县模拟）某中学到天福石雕园开展研学实践活动，在参观了“民族英雄郑成功”雕像后．小颖想测量“民族英雄郑成功”雕像AB的高度，如图，她在雕像前C处用测倾器测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的D处用测倾器测得顶端A的仰角为30°，已知CD＝8m，求雕像AB的高度．（3≈9．（2021•洛阳二模）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°=35，cos37°=45，tan37°10．（2021•河南模拟）“南水北调工程”（中线）有一段堤坝如图所示，其横断面为梯形ABCD，高DH＝10米，斜坡CD的坡度是1：1，但是，为了建设高铁线路，电力部门要在堤坝的正上方通过一组高压线，且高压线的最低点P与点D，H在同一条直线上（PD⊥AD），∠PCD＝26°．（1）求斜坡CD的