2025届高考数学二轮总复习第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题五概率与统计第三讲课时跟踪检测十五随机变量及其分布列理含解析

PAGE第一部分高考层级专题突破层级二7个实力专题师生共研专题五概率与统计第三讲随机变量及其分布列课时跟踪检测(十五)随机变量及其分布列A卷1．(2024·广东省汕头市联考)在某市中学某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成果统计如图所示．(1)求这4000名考生的竞赛平均成果eq\o(x,\s\up6(－))(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可认为考生竞赛成果Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成果eq\o(x,\s\up6(－))和考生成果的方差s2，那么该区4000名考生成果超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？(3)假如用该区参赛考生成果的状况来估计全市参赛考生的成果状况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成果低于84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)(精确到0.001)．附：①s2＝204.75，eq\r(204.75)＝14.31；②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9545；③0.841354＝0.501.解：(1)由题意知，中点值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴eq\o(x,\s\up6(－))＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，∴4000名考生的竞赛平均成果eq\o(x,\s\up6(－))为70.5分．(2)依题意，Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ＝14.31，∴Z听从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝P(56.19<Z<84.81)＝0.6827，∴P(Z≥84.81)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865.∴竞赛成果超过84.81分(含84.81分)的人数估计为0.15865×4000＝634.6≈635.(3)全市竞赛考生成果低于84.81分的概率为1－0.15865＝0.84135.而ξ～B(4,0.84135)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－Ceq\o\al(4,4)×0.841354＝1－0.501＝0.499.2．(2024·洛阳模拟)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王准备到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，假如仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学学问为小王作出选择，并说明理由．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事务M，则P(M)＝eq\f(C\o\al(3,25),C\o\al(3,50))＝eq\f(23,196).(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a，当a＝38时，X＝38×6＝228，当a＝39时．X＝39×6＝234，当a＝40时，X＝40×6＝240，当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.所以X的全部可能取值为228,234,240,247,254.故X的分布列为X228234240247254Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)所以E(X)＝228×eq\f(1,10)＋234×eq\f(1,5)＋240×eq\f(1,5)＋247×eq\f(2,5)＋254×eq\f(1,10)＝241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7.所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)．由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．因为238.8<241.8，所以举荐小王去乙公司应聘．B卷1．第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场询问与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这1000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)调查发觉年龄在[20,40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的状况，其中有k名市民的年龄在[60,80]的概率为P(X＝k)，其中k＝0,1,2，…，20，当P(X＝k)最大时，求k的值．解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民年龄的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1＝54(岁)．设1000名市民年龄的中位数为x，则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x－50)＝0.5，解得x＝55，所以这1000名市民年龄的平均数为54岁，中位数为55岁．(2)由频率分布直方图可知，这1000名市民中年龄在[20,40)的市民共有(0.05＋0.10)×1000＝150(人)，所以关注智能办公的频率为eq\f(100,150)＝eq\f(2,3)，则从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，这300人中关注智能办公的人数为300×eq\f(2,3)＝200.故估计这300人中关注智能办公的人数为200.(3)设在抽取的20名市民中，年龄在[60,80]的人数为X，X听从二项分布，由频率分布直方图可知，年龄在[60,80]的频率为(0.025＋0.010)×10＝0.35，所以X～B(20,0.35)，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,20)0.35k(1－0.35)20－k，k＝0,1,2，…，20.设t＝eq\f(PX＝k,PX＝k－1)＝eq\f(C\o\al(k,20)0.35k0.6520－k,C\o\al(k－1,20)0.35k－10.6521－k)＝eq\f(721－k,13k)，k＝1,2，…，20.若t>1，则k<7.35，P(X＝k－1)<P(x＝k)；若t<1，则k>7.35，P(X＝k－1)>P(x＝k)．所以当k＝7时，P(X＝k)最大，即当P(X＝k)最大时，k的值为7.2．某校倡议为特困学生捐献，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现负责老师统计了连续5天售出矿泉水的箱数和捐款箱中的收入状况，列表如下：售出矿泉水量x/箱76656收入y/元165142148125150学校安排将所得的捐款以奖学金的形式嘉奖给得才兼备的特困生，规定：综合考核前20名的特困生获一等奖学金500元；综合考核21～50名的特困生获二等奖学金300元；综合考核50名以后的特困生不获得奖学金．(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱矿泉水时，预料捐款箱中的收入为多少元？(2)甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为eq\f(2,5)，获二等奖学金的概率均为eq\f(1,3)，不获得奖学金的概率均为eq\f(4,15)，已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立．求甲、乙两名学生所获得奖学金之和X的分布列及数学期望．附：回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)由表得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(7＋6＋6＋5＋6)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(165＋142＋148＋125＋150)＝146，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝49＋36＋36＋25＋36＝182，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝7×165＋6×142＋6×148＋5×125＋6×150＝4420，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(4420－5×6×146,182－5×62)＝20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝146－20×6＝26，所以线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝20x＋26，当x＝9时，eq\o(y,\s\up6(^))＝20×9＋26＝206，所以y的估计值为206元．(2)由题意得，X的可能取值为0,300,500,600,800，1000，则P(X＝0)＝eq\f(4,15)×eq\f(4,15)＝eq\f(16,225)；P(X＝300)＝2×eq\f(4,15)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,45)；P(X＝500)＝2×eq\f(2,5)×eq\f(4,15)＝eq\f(16,75)；P(X＝600)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)；P(X＝800)＝2×eq\f(2,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,15)；P(X＝1