2020高考数学二轮复习七随机变量、空间向量教学案理

专题七随机变量、空间向量

［江苏卷5年考情分析］

这两部分内容的教学课时较多，是高考的重点，近几年通常交替式考查，对于空间向量

的考查，以容易建立空间直角坐标系，计算空间角为主(2015年、2017年、2018年)，难度

一般；概率题重点考查离散型随机变量及其分布列、均值与方差、n次独立重复试验的模型

及二项分布等，难度中等偏难(2017年T23、2019年T23).既考查数学运算、逻辑推理，又

考查数学建模、数据分析等数学核心素养.

第一讲I随机变量与分布列

题型(一)

离散型随机变量的分布列及其期望

主要考查特殊事件的概率求解以及分布列与期望的求解.

［典例感悟］

［例1］(2019•南通等七市一模)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正

整数，如22,121,3553等.显然两位“回文数”共9个：11,22,33,99,现从9

个不同两位“回文数”中任取1个乘以4,其结果记为X；从9个不同两位“回文数”中任取

2个相加，其结果记为K

(1)求才为“回文数”的概率；

(2)设随机变量f表示X「两数中“回文数”的个数，求f的概率分布和数学期望

亚f).

［解］(D记"1是'回文数'”为事件A,9个不同两位“回文数”乘以4的值依次为

44,88,132,176,220,264,308,352,396,其中“回文数”有44,88.

2

所以事件力的概率为

(2)由题意知I,随机变量f的所有可能取值为0,1,2.

2

由(1)得产。)=&

设“y是'回文数’”为事件8,则事件46相互独立.

205

根据已知条件得，P(0=西=：.

P(f=0)=P(A)

(2、52

P(f=1)=P(A)尸(而+P(A)A^=|l-gjx-+-x

/u\/\/Q2510

P1<=2)=P(A)P(吩=-X-=—

yyoi

所以随机变量f的分布列为

012

284310

P

818181

匕…/八28,43.107

所以£(=0X—+1X—+2X—=-

oioioiy

［方法技巧］

求离散型随机变量分布列及期望的关键和步骤

由于离散型随机变量的数学期望是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题

的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所

以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率.具体步骤如下:

明确随机变量的意义及其所有可能的取值.71

W-

:根据事件的种类求随机变量的概率P（X=工,），

定型一！

：I=1,2,…

写出分布列X」"（这里可用分布列性

P-1|户2|一・

列表一

质：0<pi<1及加+及+…+力”=1检验是

否出错）

求闻一片据题□■录讦为数擘麻直成不

［演练冲关］

（2018•扬州考前调研）某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》

和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知48两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任

意选听一场.若1组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；6组2人

选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.

（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概

率;

(2)若从48两组中各任选2人，设/为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数,

求才的分布列和数学期望£0).

C2cl

解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件材，则尸(物=方

Cio

9121

左，故选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为右.

(2)才可能的取值为0,1,2,3,

*9

产(1=0)=CS=5OT

।

LiL"4c>3IL/.l5L>312

产(1=1)=ex-乐'

c：c/+c；3

p(x=2)='To,

,、CIC4C21

m=3)=_cS_=25,

所以/的分布列为:

0123

91231

P

5025W25

所以才的数学期望后⑶=0x2Q；+lX拄19+2*示3+3乂式16=£.

□UZo1UZo□

题型(二)〃次独立重复试验的模型及二项分布

主要考查对〃次独立重复试验的模型的识别以及二项分布模型公式的应用.

［典例感悟］

［例2］(2019•南京盐城二模)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A

到出口B,每遇到一个岔路口，每位游客选择任何一条道路行进是

等可能的.现有甲、乙、丙、丁4名游客结伴到旅游景区游玩，他

们从进口4的岔路口开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行

走，最后到出口6集合，设点，是其中的一个岔路口.

(1)求甲经过点C的概率；

(2)设这4名游客中恰有才名游客经过点C,求随机变量力的分布列和数学期望.

［解］(1)设“甲经过点^为事件.”，

从进口月出发时，甲选中间的路的概率为再从岔路到达点C的概率为

所以选择从中间一条路走到点c的概率

同理，选择从最右边的路走到点C的概率E

所以网协"+8=^44

故甲经过点C的概率为*

(2)随机变量才的所有可能取值为0,1,2,3,4,

则。^―汉辞乂图点，

尸g)=C：x®x®鹭

y=2)=琮义©黑舒=捺,

7V=4)=渭义(品电°=媪

所以¥的分布列为

01234

1632881

P

8181278181

数学期望双a=0X^+1X^+2X-^+3X^-+4X^-=1.

ololZIololo

［方法技巧］

二项分布的分布列及期望问题求解三步骤

第一步先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：即一次试验中只

判断有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试

二项验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成

分布功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布

第二步若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计

求概率算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少

第三步根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望

求期望公式求期望即可

［演练冲关］

(2018•苏北四市三调)将4本不同的书随机放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中.

(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；

(2)设随机变量才表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望£(心.

解：(1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中，共有4,=256种不同放

法.

记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件4

则事件A共包含A：=24个基本事件,

94R

所以以D=市=而

3

所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为何.

(2)法一：才的所有可能取值为0,1,2,3,4,

/、3"81,、CiX3327

以x=0)=甲=丽’必¥=1)=

4-64'

CiX3227,、C；X33

P(X=2)=^■=而不=3)=4'=64'

d__i_

2(X=4)=?=256-

所以/的分布列为

X01234

81272731

P

25664?2864256

O12707O1

所以1的数学期望为£O)=0X市+1X/2义南+3X就+4X标=1.

1_1Q

法二：每本书放入2号抽屉的概率为尸(0=『户(7)=1—1=*

根据题意1

4-k

所以P(X=A)=C\，k=0,1,2,3,4,

所以1的分布列为

01234

81272731

p

2566412864256

所以X的数学期望为以a=4X^=1.

题型(三)

概率与其他知识的综合

主要考查与概率或期望有关的综合问题或在复杂背景下的概率与期望的综合问题.

［典例感悟］

［例3］(2018•南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局.根据以往比

赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为称如果某人获胜的局数多于另一人，

则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为-5).

(1)求尸(2)与P(3)的值;

(2)试比较。(力与以〃+1)的大小，并证明你的结论.

［解］(1)若甲、乙比赛4局甲赢，则甲在4局比赛中至少胜3局，

所以P(2)=C©+啕=高

同理尸⑶=啕6+C0+CG)6/

(2)在2〃局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为〃+1局,

故P{ri)=喏®"+喏(32”+…+C咽筋

=(C^+a'L+...+(t)•©2”

=B(cM+c；“+…+C；：—(X)•

=*F).(第

--领'

所以夕(〃+1)=41—畀

CL⑵)！

/_40_4•)〃！

乂言一弟一(2〃+2)!

尹(n+1)!(/?+!)!

=__4(〃+1)z_=2"+1)

(2〃+2)(2/?+1)2/?+1

所以号>晟密，所以。(〃)<2("+1).

［方法技巧］

二项分布与二项式定理的交汇问题，其求解的一般思路是先利用二项分布求其户(〃)和

然后利用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法、

立体几何等知识交汇命题.

［演练冲关］

1.(2019•江苏高考)在平面直角坐标系Mr中,设点集4={(0,0),(1,0),(2,0),…,

(〃，0)},8={(0,1),(〃，1)),&={(0,2),(1,2),(2,2),(n,2)},令

版=4,U8,Ua.从集合掘中任取两个不同的点，用随机变量I表示它们之间的距离.

(1)当"=1时，求I的概率分布；

(2)对给定的正整数〃(〃23),求概率尸(后〃)(用〃表示).

解：(1)当〃=1时，力的所有可能取值是1,6，2,正

»的概率分布为p(1=1)=不=而，尸(x=q^)=不=而，

户《=2)飞=词P(X=佝飞=百

(2)设4(a,力和8(c,4是从北中取出的两个点.

因为P(后〃)=1一户0>〃)，所以仅需考虑X>n的情况.

①若6=&则4虑"，不存在冷〃的取法；

②若6=0,d=l,则AB=yj(a—e)2+l,

所以冷〃当且仅当力8=y///+1,此时a=0,c=〃或a=〃，c=0,有2种取法；

③若6=0,d=2,贝I」(a—c)+4+4.因为当z?23时，7(〃-1)、+4W〃,

所以尤>〃当且仅当4?=、,+4,此时a=0,或a=〃，。=0,有2种取法；

④若6=1,d=2,则48=7(a—0)2+1忘叫//+1,所以尤>〃当且仅当4?=y/d+1,

此时a=0,c=〃或a=〃，c=0,有2种取法.

综上，当上〃时，才的所有可能取值是N产+1和且—(1=)//+1)=六,P(X

.____2

=yln+4)=7^—.

C2//4-I

______6

因此，P(XWii)—1一户(才='〃''+1)—P(X=7#+4)—1—->—.

2.(2017•江苏高考)已知一个口袋中有0个白球，〃个黑球(疝，/?eN\庐2),这些球

除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,…，

川+〃的抽屉内，其中第4次取出的球放入编号为X的抽屉々=1,2,3,—,m+ri).

123・・・m+n

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

(2)随机变量才表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，以心是才的数学期望，证

明：£(Z><\,m+,n)~?17)-.

解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率。为：

CAY+n_1II

〃/〃+n

(2)证明：随机变量/的概率分布为:

1111

X1……

nn+1〃+2~kni-\~n

i1p/)-i「!)-1

iC75+1L>〃+w-i

P…・・・

弟五c0“

随机变量1的期望为:

p/；—1

E{X}=£〃+〃，k=n；•S-i

K

：Em+n,k=n\(—1)!

(/?—1)!(衣一〃)!,

(女一2)!

所以£(给£/+刀,k=n

L卅+“(77—1)!(女一〃)!

1(4一2)!

(77-1)CMv*如(n—2)!(k—n)!

]

2

(1+CW+C：-\--------2)

(〃一1)

]

©二；+*+/+…+-2)

(〃一1)c>”

]1

(〃一1)CM(cr+cr+-+c^-2)

1

(C7L+C7L)

(n—1)C：+"

n

p~1

V/JBH-tl—1n

(.n—1)(zzH-z?)(z?-1)'

艮"Wr•

［课时达标训练］

A组一一大题保分练

1.(2018•南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色

的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球.

(D若两个球颜色不同，求不同取法的种数;

(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量才，求随机变量才的概率分布

与数学期望.

解：⑴两个球颜色不同的情况共有CM『=96(种).

(2)随机变量才所有可能的值为0,1,2,3.

,、4•d1

内=0)=/-.，

P(x=1)=-

/(/3)g68,

所以随机变量才的概率分布列为

X0123

23J.

P

4848

所以EQC)=0x1+lxj+2x1+3x|=7.

4o4o4

2.(2019•苏锡常镇一模)从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这

批产品的不合格率为0.05,随机变量t表示这10件产品中的不合格产品的件数.

(1)问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率0(¥=2)”和"恰好有3件不合格的

概率2(4=3)”哪个大？

请说明理由；

(2)求随机变量I的数学期望以力.

解：；批量较大，.•.可以认为随机变量h8（10，0.05）.

（1）恰好有2件不合格的概率户（4=2）=C；°X0.052X0.95',

恰好有3件不合格的概率—（才=3）=C；°X0.053X0.957,

..?（才=2）C1X0.05以0.95857

'。（1=3）=C；oXO.053义0.95，=7>1'

.•.2（彳=2）>尸（X=3）,即恰好有2件不合格的概率大.

（2）令0=0.05,P{X=k）=A=Cfop*（l-p）10-\k=0,1,2,…，10.

随机变量X的概率分布为

X012・・・10

PCV(I-P)10c!op(i-P)9C?op2(1—p)8・・・

故E（X）-£10,k=Qkpk=10X0.05=0.5.

3.（2019•南通、泰州等七市三模）现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视

频学习两类，且这两类学习互不影响.已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，

每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分.经过抽样统计发现，文章

学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示.

表1

文章学习积分12345

1工111

概率

99962

数学期望.

解：（1）由题意知，获得的积分不低于9分的情形有:

文章学习积分3455

视频学习积分6646

因为两类学习互不影响，

所以概率^=-x-+-x-+-x-+-x-=-,

y乙0乙乙J乙乙3

5

所以每人每日学习积分不低于9分的概率为g.

(2)随机变量f的所有可能取值为0,1,2,3.

5

由(1)知每人每日学习积分不低于9分的概率为则

尸(f=0)=耻悬

,、,5(41280

一、2⑸24100

Hf=2)=ax同、§=谢；

"(。=3)=睚125

729,

所以随机变量4的概率分布为

0123

6480100125

P

729243243729

64,801c100,°1255

所以£(f)=0X729+1*243+2X243+3X729一3.

6

所以随机变量f的数学期望为亍

4.已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为今某实验小组对该种植物的种子进行发芽

试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独

立)，用f表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值.

(1)求随机变量f的概率分布和数学期望；

(2)求不等式fx+l>0的解集为R的概率.

解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,1,2,3,4,对应的未发芽的

种子数为4,3,2,1,0,

所以f的所有可能取值为0,2,4,

p（f=o）=c：x

尸(f=2)=C汉©义修)+C：x&x(|)若

产(§=4)=《义6)X'2'0l°x

I+c?x21=81-

所以随机变量f的概率分布为

024

84017

P

278181

数学期望£,(f)=0XS+2XM+4X^=臂.

Z(ololol

(2)由(1)知f的所有可能取值为0,2,4,

当f=0时，代入得1〉0,对xWR恒成立，即解集为R；

当f=2时，代入fx+l>0,得2/—2x+l>0,

即2(x—Bj+Jo,对xGR恒成立，即解集为R；

当4=4时，代入fx2T*+1>0,得4/-4x+l>0,其解集为舄，不满足题意.

64

所以不等式fz-6入+1>0的解集为区的概率产=尸(4=0)+尸(4=2)=莉.

ol

B组一一大题增分练

1.(2018•镇江期末)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是;,

该学生各学科等级成绩彼此独立.规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级

加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分.记％表示该生的加分数,

法表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值.

(D求％的数学期望；

(2)求法的分布列.

解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事件4,i=0,1,2,3,4.

%的可能取值为0,1,2,3,5.

贝…跳广.

8]272731

即/(4)=256,*4)=欣,P(A。=[28，尸(")=召p7^(4)=256，则4的分布列为

01235

81272731

P

2566412864256

…、81,27.27,3.1257

所以=0X—+lX—+2X—+3X—+5X—=—

(2)%的可能取值为0,2,4,则

27

户(友=0)—P{Ai)—,90；

izo

27315

。(九=2)=P(4)+P(4)=行+鼠=瓦；

/、，、，，、81,141

P(友=4)=尸(4)+-4)=痂+本=诉.

256256128

所以总的分布列为

X2024

271541

P

12832128

2.(2018•全国卷I)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户

之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取

20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的

概率都为p(0<p<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点R.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的网作为p的值.已

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付

25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为无求窃

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检

验？

解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为

f(p)=ciop,(1—p)

所以/(p)=C：o[2p(l—p)"-18/(1—p)"]

=2%?(1—p)"(1—lOp).

令/"(p)—O>得p—0.1.

当〃G(O,o.i)时，fS)>o；

当°C(0.1,1)时，f(p)<0.

所以f(p)的最大值点为Po=O.1.

(2)由(1)知，p=0.1.

①令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知K-5(180,0.1),才=20X2

+25K即X=40+25K所以£¥=£(40+25D=40+25£7=490.

②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.由于以＞400,故

应该对余下的产品作检验.

3.如图，设百，月，…，月为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，

现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量

S.

（1）求5=竽的概率；

（2）求S的分布列及数学期望E6.

解：（1）从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有森种不同选法，其中s=坐的

为有一个角是30°的直角三角形（如△△月月），共6X2=12种，

（2）S的所有可能取值为乎，乎，乎.S=乎的为顶角是120°的等腰三角形（如

△48月），共6种，

所以&乎稣=春

5=平的为等边三角形（如△ARA）,共2种,

g、，/3的21

所以《5=*|=您=m・

”,、=/佝123

又由⑴知/I5=2l=cf=5，

故S的分布列为

3m

5

424

OA3J_

10510

……#3,J33,3^319V5

所以£1($=4X—+2Xg+4Xy^=20-

4.(2019•全国卷I)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有

效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两

只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试

验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只

数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以

乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠

未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种

药的治愈率分别记为。和J3,一轮试验中甲药的得分记为X

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(i=0,1,…，8)表示“甲药的累计得分

为了时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则R=0,p=l,p,=a“T+3,+cr+i(/=l,

2,•••,7),其中a=P(>=—1),b—P{X—Q'),c—P^X—i).假设a=0.5,万=0.8.

①证明：明,+LP，}(/=0,1,2,7)为等比数列；

②求"，并根据P.的值解释这种试验方案的合理性.

解：(1)才的所有可能取值为一1,0,1.

"(4=-1)=(1-a)J3,尸(1=0)=a£+(l-a)(1-⑶，

产(才=1)=。(1一£).

所以X的分布列为

X-101

P(1—a)Ba£+(1—。)(1—£)a(1—£)

(2)①证明:由(1)得a=0.4,6=0.5,c—0.1,

因此pi=0.4PLi+0.5p,+0.lp,+i,

故0.1(jJi+i—pi)=0.4{pi—pi-i),

即A—4(p,—A-I).

又因为口一R=PI#0,所以{"+i—(/=0,1,2,…，7)是公比为4,首项为网的等

比数列.

②由①可得

A=R-R+R—R+…+0—R)+R

=（R—R）+（"一R）-I-----F（pi—A）=—-Pi.

3

由于"=1,故口=彳8_］，

所以P\—（PLP）+（R—R）+（R—Pi）+（0—R）

4"-1__1_

=3Pl=257'

口表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药

治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为口=与比0.0039,此时得出错误结论的概率非

常小，说明这种试验方案合理.

第二讲I运用空间向量求角

题型（一）运用空间向量求两直线所成的角

主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角.

［典例感悟］

［例1］（2019•南京盐城一模）如图，四棱锥848口中，底面/腼是矩

形，为，平面/及笫，AD=\,阳=/8=蛆，点£是棱阳的中点.

（1）求异面直线EC与切所成角的余弦值；

（2）求二面角层跖〃的余弦值.

［解］⑴因为必，底面被力，且底面为矩形，所以48,AD,

4P两两垂直，小、

以4为原点，AB,49,42所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示肽'》_

的空间直角坐标系，

又PA=AB=pAD=\,

所以庾0,0）,C（.,1,0）,D（0,1,0）,AO,0,⑫,

所以异面直线比与如所成角的余弦值为算.

BC=(0,1,0),"DC=(^2,0,0).

设平面兄%的法向量为m=(汨，/I,zi),

n\•比=0,慎汨+力

则＜所以42

5•荻=0,5=0,

得力=0,令小=1,则©=1,

所以平面跳C的一个法向量为m=(l,0,1).

设平面74%的法向量为112=(生,如Z2).

n1也1^2

ni•EC=0,%-短+%—+-Z2=0,

则〈所以《22

I®,DC=0,(y［2x2=0,

得及=0,令Z2=*,则及=1,

所以平面庞匕的一个法向量为m=(0,1,小).

所以c°s〈n”向=声禹'=坐

由图可知二面角层为钝二面角，

所以二面角3上〃的余弦值为一号.

0

［方法技巧］

1.两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a,6的方向向量分别为a,b,其夹角为，，则cosO=|cos.=

(其中0为异面直线a,晰成、

(的角0G(o,子

2.用向量法求异面直线所成角的四步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量;

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

［演练冲关］

(2019•苏北三市一模)如图，在三棱锥24?，中，“1J_平面454/

=90°,SiAC=AD=\,AB=2,£为勿的中点.

(1)求异面直线与a1所成角的余弦值；

(2)求二面角力-66的余弦值.

解：因为加J_平面46C,NCAB=90：所以可以以力为坐标原点，建

立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

^^<JAC=AD=1,AB=2,

所以4(0,0,0),C(l,0,0),6(0,2,0),Z?(0,0,1).

因为点《为线段龙的中点，所以40,1,

(1)1?=(0,1,~BC=[1,-2,0).

4

所以异面直线AE与理所成角的余弦值为鼻.

0

⑵设平面力◎'的法向量为m=(汨，yi,zi),

因为0,0),定=(0,L9，

1

'一A»1

所以m・AC=0,ni•AE=0,即乂=0且歹十万囱二。,

取yi=l,得©=—2,

所以m=(0,1,-2)是平面4圆的一个法向量.

设平面aF的法向量为112=(如度，Z2),

因为〃C=(1,—2,0),BE=fo,—1,

所以3•BC=0,n2•BE=0,

即及一2度=0且一用+；Z2=O,取现=1,

得矛2=2,Z2=2,

所以112=(2,1,2)是平面腔'的一个法向量.

F-f-,,,,\s•——3勺5

所以COS\Ilij112/—IIII—r-r~-r-•

/JiIIft也义也5

由图易知二面角小四片为钝二面角，

所以二面角4缪8的余弦值为一害.

题型(二)

运用空间向量求直线和平面所成的角

考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角.

［典例感悟］

［例2］(2019•常州期末)如图，在空间直角坐标系0-xyz

中，已知正四棱锥月儿？切的高0P=2,点B,〃和GA分别在“

轴和y轴上，且16=4，点M是棱用的中点.

(1)求直线4%与平面处6所成角的正弦值；

(2)求二面角小如■。的余弦值.

［解］(D设直线4"与平面用6所成的角为a,易知4(0,-1,0),8(1,0,0),2(0,

0,2),(0,；，1)，则46=(1,1,0),PA—(0,—1,—2),~^j=(0,|>lj.

n•AB=0,[x+y=0,

设平面为3的法向量为n=(x,y,z),所以<即\令x=2,

F八l-y-2z=0,

in•PA=0,

得y=-2,z=l,所以n=(2,—2,1)是平面及国的一个法向量，

z?•4V24713

所以sina=|cos<n,AM)|=

\n\*\AM\

故直线//与平面为8所成角的正弦值为生胆.

⑵设平面如C的法向量为m=(为，%,zi),易知C(0,1,0),则比1=(-1,1,0),

PB=30,-2),

n•BC=0,[―^i+yi=0,

所以彳得彳令小=2,得y=2,zi=l,所以m=(2,2,1)是

F八[汨-2©=0,

l/7i,PB=0,

平面物'的一个法向量，所以cos〈n,n,>=:n・m忐W

易知二面角〃阳为钝二面角，所以二面角4根。的余弦值为一1

［方法技巧］

直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线/的方向向量为e,平面。的法向量为n,直线/与平面。所成的

jr

角为两向量e与n的夹角为则有sin0=|cos"|0G~2

［演练冲关］

如图，在三棱锥门48c中，NAPB=9Q°,NPAB=60°,AB=BC=CA,平面片5_L平面

ABC.

(1)求直线％与平面46C所成的角的正弦值；

(2)求二面角B-AP-。的平面角的余弦值.

解：⑴如图，设加?的中点为〃，作尸。，48于点0,由//加=90°,