2024~2025学年第一学期福州市精师高中高二年级入学质量检测参考答案及评分标准

第第页2024~2025学年第一学期福州市精师优质高中高二年级入学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号12345678答案BDADAABC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。注意：全部选对的得6分，第9、10题选对其中一个选项得2分，第11题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。题号91011答案ACDBCDBC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．−3913．2173四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）解：（1）由图可得，EF=（2）由题意，|a则a⋅于是，由EF=−|=(1故|EF16．（本题满分15分，第一小题7分，第二小题8分）解：（1）因为底面ABCD是平行四边形，AC∩BD=O，所以AO=OC，BO=OD．又PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，又AC∩BD=O，AC,BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．设DO=t，则AO=2t，由PA2−A解得t=1（负值已舍去），则AO=2，DO=1．因为AD=5，所以AD2因为PO∩DO=O，PO,DO⊂平面PBD，所以AO⊥平面PBD．又AO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．（2）由（1）可知，OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C−2,0,0，B0,1,0，P0,0,2，所以BC设平面BCP的法向量为m=则m⋅BC=−2x−y=0m⋅由图可知，n=0,1,0是平面设二面角A−PC−B的大小为θ，易知θ为锐角，则cosθ=所以二面角A−PC−B的余弦值为6317．（本题满分15分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题5分）解：（1）当3PF=FB时，E、F、A、D四点共面，理由如下：证明：令3PF=FB，∵3PE=EC，即PFFB=PE又∵AD//BC，∴EF//AD，故E、F、A、D四点共面；（2）取AD的中点O，连接OB，OP，如图所示：∵△PAD为等边三角形，AD=2，∴OP⊥AD，AO=1，OP=3又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB⊂平面ABCD，∴OP⊥OB，∵PB⊥BC，BC//AD，∴AD⊥PB，∵OP⊥AD，且OP⊂平面POB，PB⊂平面POB，OP∩PB=P，∴AD⊥平面POB，∵OB⊂平面POB，∴OB⊥AD，在菱形ABCD中，AB=2，则OB=3，PB=设点A到平面PBC的距离为ℎ，则VA−PBC=V即13×1故点A到平面PBC的距离为62（3）由（2）得OA，OB，OP两两垂直，则建立以O为原点的空间直角坐标系O−xyz，则O(0,0,0)，P(0,0,3)，C(−2,3,0)，A(1,0,0)，E为线段PC上一点，设PE=tPC，则∴AE=(−2t−1,∵OP⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量为OP=(0,0,∴|cos解得t=1E(−2设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)则n⋅取y=−2，则x=0，z=1，∴平面ADE的法向量为n=(0，−2，1)设二面角E−AD−B的平面角为θ，则|cos由图知，二面角E−AD−B的平面角为锐角，故二面角E−AD−B的余弦值为5518．（本题满分17分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题7分）解：（1）设平面交上底面于BW，W在圆弧GP上，因为上下底面平行，故HQ//BW，又因为PF//平面BHQ，PF⊂平面PGF，平面BHQ∩平面PGF=BW，所以PF//BW，所以HQ//PF，由题意可知PF⊥PG,PF⊥GH，又GH∩PG=G，GH、PG⊂平面PGH，所以PF⊥平面PGH，所以HQ⊥平面PGH，又HQ⊂平面BHQ，平面BHQ⊥平面PGH.（2）由（1）知HQ⊥平面PGH，连接GQ，所以∠HGQ是直线GQ与平面PGH所成角，所以由题意tan∠HGQ=又由题意HQ⊥QE，HE=2，所以QE=HE2−HQ2=所以由HQ//PF知点P在圆弧GF中点上，故PG=PF=2所以WH=H因为PF//平面BHQ，所以点P到平面BHQ的距离即为F到平面BHQ的距离，又圆柱结构性质可知FC//BH,FC⊄平面BHQ，BH⊂平面BHQ，所以FC//平面BHQ，所以F到平面BHQ的距离即为C到平面BHQ的距离，设该距离为d，因为VC−BHQVB−HCQ又VC−BHQ=VB−HCQ，所以36d=1（3）过Q作QK垂直于底面，则由上知HQ⊥QE，所以可建立如图所示的分别以QE、QH、QK为x、y、z轴的空间直角坐标系Q−xyz，则Q0,0,0，设H0,b,0,Ea,0,0所以QH=设平面BHQ的法向量为m=x1所以m·QH=0m·QB=0设平面BEQ的法向量为n=x2所以n·QE=0n·QB=0设平面BHQ与平面BEQ的夹角为θ，则cosθ=且a2整理得9a所以a2b2=a24−a2=4a2−a419．（本题满分17分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题6分）解：（1）如图1，M′,N′分别是点M、N在线段AC上的投影，则M′为AO所以tan∠MAM′所以∠MAM′=∠NON′如图2，又因为AM⊄平面BDN，ON⊂平面BDN，所以AM∥平面BDN.（2）以O为原点，分别以OA→,OB→,O设E(2,0,t)(0≤t≤4)，所以DB→=(0